Mécanique du point : Exercices mécanique du point matériel
Télécharger PDFUniversité Cadi Ayyad - Année Universitaire 2014/2015
Faculté des Sciences Semlalia - Marrakech
Département de Physique
Module de Mécanique du Point Matériel
Série No 2 - Filières SMA/SMC/SMP
Exercice 1 : Flocons de neige
Un passager d’une voiture observe que la neige tombe en formant un angle de 80° par rapport à la verticale lorsqu’il roule à une vitesse de 110 km/h. Lorsque la voiture s’arrête au feu rouge, le passager constate que la neige tombe verticalement. Calculer la vitesse de la neige par rapport au sol, puis par rapport à la voiture qui roule à 110 km/h.
Exercice 2 : Pendule en mouvement
On considère un point matériel M suspendu à un fil inextensible de longueur l. Le point de suspension O₁ du pendule est en mouvement dans le référentiel R(O, XYZ) le long de l’axe OY. La position de O₁ est repérée par y. Le mouvement de M a lieu dans le plan OXY.
Soit R₁(O₁, X₁Y₁Z₁) le référentiel d’origine O₁, dont les axes restent constamment parallèles à ceux de R, avec O₁Y = Y et X₁ = X. Les expressions finales des grandeurs vectorielles doivent être établies dans la base cartésienne (~i, ~j, ~k) associée à R.
1. Calculer la vitesse et l’accélération de M dans R₁.
2. Calculer la vitesse d’entraînement, l’accélération d’entraînement et l’accélération de Coriolis en M du mouvement de R₁ par rapport à R.
3. En déduire la vitesse et l’accélération de M dans R.
Exercice 3 : Attachez vos ceintures...
On étudie le mouvement d’un avion parcourant une ligne reliant deux villes situées sur le même méridien. L’avion vole à une hauteur h et à une longitude φ₀ avec une vitesse v constante par rapport à la surface terrestre.
Soit R₀(O, X₀Y₀Z₀) le référentiel géocentrique et R₁(O, X₁Y₁Z₁) le référentiel lié à la Terre. L’avion est considéré comme un point matériel M repéré dans R₁ par les angles θ et φ. R est le rayon du globe terrestre et ω sa vitesse angulaire de rotation.
Exprimer tous les résultats dans la base sphérique (~eᵣ, ~eθ, ~eφ).
1. Établir l’expression de la vitesse de l’avion ~V(M/R₁). En déduire que θ̇ est constante.
2. Établir l’expression de l’accélération de l’avion ~γ(M/R₁).
3. Quel est le vecteur rotation ~Ω(R₁/R₀) ?
4. Établir les expressions de la vitesse ~V(M/R) et de l’accélération ~γ(M/R). En déduire l’effet de l’accélération de Coriolis et celui de l’accélération d’entraînement sur le mouvement de l’avion.
5. Reprendre l’exercice si l’avion se déplace selon le parallèle de latitude λ₀.
Exercice 4 : Arme à l’ancienne
L’une des armes utilisées au Moyen Âge pour envoyer des charges lourdes contre les murailles était le trébuchet ou le catapulte. Il se compose d’une poutre AB à laquelle est fixé un contrepoids en A. En B est attachée une corde au bout de laquelle se trouve une poche contenant le projectile M.
Soit R(O, x, y, z) le référentiel lié au sol et R_B(A, x₁, y₁, z₁) le référentiel lié à la poutre. Le mouvement a lieu dans le plan (Oxy). La base polaire (~eρ, ~eφ) est liée à R_B. On donne OB = a et BM = b.
Les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base polaire (~eρ, ~eθ).
1. Quel est le mouvement de R_B par rapport à R ? En déduire le vecteur rotation ~Ω(R_B/R).
2. On suppose que la corde BM reste tendue. Établir l’expression de ~V(M/R_B).
3. Déterminer le vecteur → O_M et en déduire la vitesse d’entraînement ~V_e en M.
4. Le projectile est lâché lorsque θ = π et φ = 0 (AOBM vertical).
a. Déterminer la vitesse de M dans R, ~V(M/R), en fonction de a, b, φ̇ et θ̇.
b. Montrer que la vitesse obtenue est plus grande que s’il n’y avait qu’un seul bras rigide de longueur a + b.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un référentiel en mouvement dans la mécanique du point matériel ?
Un référentiel en mouvement est un système de coordonnées dont les axes se déplacent par rapport à un référentiel fixe. Cela permet d’étudier les mouvements relatifs entre deux systèmes.
2. Comment calculer la vitesse d’entraînement dans un référentiel mobile ?
La vitesse d’entraînement est donnée par le produit de la vitesse de rotation du référentiel mobile par le vecteur position du point étudié dans ce référentiel.
3. Quels sont les effets de l’accélération de Coriolis et d’entraînement sur un avion en vol ?
L’accélération de Coriolis influence la trajectoire de l’avion en raison de la rotation terrestre, tandis que l’accélération d’entraînement dépend du mouvement du référentiel lié à la Terre.