Mécanique du point : Exercices mécanique du point matériel
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Télécharger packUniversit ́e Cadi AyyadAnn ́ee Universitaire 2014/2015
Facult ́e des Sciences
Semlalia-Marrakech
D ́epartement de Physique
Module de M ́ecanique du Point Mat ́eriel
S ́erie N◦ 2
Fili`eres SMA/SMC/SMP
Exercice 1
Flocons de neige
Le passager d’une voiture observe que la neige tombe en formant un angle de80 ◦
par rapport `a la verticale lorsque celui-ci roule `a une vitesse de 110 km h−1 .
Lorsque la voiture s’arrˆete au feu rouge, le passager regarde la neige tomber et
constate que celle-ci tombe verticalement. Calculer la vitesse de la neige par
rapport au sol puis par rapport `a la voiture qui roule `a 110 km h−1 .
Exercice 2
Pendule en mouvement
On consid`ere un point mat ́erielMsus-
pendu `a un fil inextensible de longueurl.
Le point de suspensionO1 du pendule ainsi
form ́e est en mouvement dans le r ́ef ́erentiel
R(O, XY Z) le long de l’axeOY. La posi-
tion deO1 est rep ́er ́ee pary. Le mouvement
deMa lieu dans le planOXY, voir figure
ci-contre. SoitR1 (O1 , X1 Y1 Z1 ) le r ́ef ́eren-
tiel d’origineO1 et dont les axes restent
constamment parall`eles `a ceux deR.O 1Y=Y X1 Xl yM 1O φ
Les expressions finales des grandeurs vectorielles doivent ˆetre ́etablies
dans la base cart ́esienne(~ i,~ j,~ k)associ ́ee `aR.
1. Calculer la vitesse et l’acc ́el ́eration deMdansR1 .
2. Calculer la vitesse d’entrainement, l’acc ́el ́eration d’entrainement et l’ac-
c ́el ́eration de Coriolis enMdu mouvement deR1 par rapportR.
3. En d ́eduire la vitesse et l’acc ́el ́eration deMdansR.
Exercice 3
Attachez vos ceintures ...
On se propose dans cet exercice d’ ́etudier le mouvement du vol d’un avion
parcourant une ligne rejoignant deux villes se trouvant surle mˆeme m ́eridien
On suppose que l’avion effectue le vol `a une hauteurhet `a une longitudeφ0 et
ce `a une vitessevconstante par rapport `a la surface terrestre.SoitR 0(OX 0Y 0Z 0
) le rep`ere g ́eocentrique etR1 (OX1 Y1 Z1 ) le rep`ere li ́e `a la
terre. L’avion est consid ́er ́e comme un point mat ́eriel, que l’on noteraM, rep ́er ́edansR 1
par les anglesθetφ, voir figure ci-contre. SoitRle rayon du globe
terrestre etωsa vitesse angulaire de rotation.
Exprimer tous les r ́esultats dans la base sph ́erique(~er , ~eθ , ~eφ ).
1. Etablir l’expression de la vitesse del’avion ~V(M/R 1
). En d ́eduire que ̇θ est constante.
2. Etablir l’expression de l’acc ́el ́eration
de l’avion~γ(MR1 ).
3. Quel est le vecteur rotation~ Ω(R1 /R) ?
4. Etablir les expressions de la vi-tesse ~
V(M/R) et de l’acc ́el ́eration
~γ(M/R). En d ́eduire l’effet de l’acc ́e-
l ́eration de Coriolis et celui de l’acc ́e-
l ́eration d’entrainement sur le mouve-
ment de l’avion.
5. Reprendre l’exercice si l’avion se d ́e-
place selon le parall`ele de latitudeλ0 .0 Xφ Rθ Mr eθ eφ eO 0i 0j 0k ): reféréntiel absolu0 Z0 Y0 R(O,X
): reféréntiel relatif1 Z1 Y1 (O,X1 R : latitudeθ-2 π
=λ : longitudeφ0 kω)= 0/R 1(RΩ Méridien
Parallèle1 X1 Y1 Z0 Z0 Y tω
Exercice 4
Arme à l’ancienne
L’une des armes utilis ́ee au Moyen-ˆ Age pour envoyer des charges lourdes
contre les murailles ́etait ce que l’on appelle “un tr ́ebuchet” ou le catapulte. Il
est compos ́e d’une poutreAB`a laquelle est fix ́ee un contrepoids en A. EnB
est attach ́ee une corde au bout de laquelle une poche contient le projectileM,
voir figure ci-contre.
SoitR(Oxyz) le rep`ere li ́e au sol etRB (Ax1 y1 z1 ) le rep`ere li ́e `a la poutre. Le
mouvement a lieu dans le plan (Oxy). La base polaire (~eρ , ~eφ ) est li ́ee `aRB . On
donneOB=aetBM=b.
Les grandeurs vectorielles doivent ˆetre exprim ́ees dans labase polaire(~eρ , ~eθ ).
1. Quel est le mouvement deRB par
rapport `aR? En d ́eduire le vecteur
rotation~ Ω(RB /R).
2. On suppose que la cordeBM
reste tendue. Etablir l’expression de~ V(M/RB ).
3. D ́eterminer le vecteur−−→ OMet d ́eduire
la vitesse d’entrainement~ Ve enM.
4. Le projectile est lˆach ́e lorsqueθ=π
etφ= 0
(AOBMvertical).
a-D ́eterminer la vitesse deMdansR, ~
V(M/R), en fonction dea, b, ̇φ
et ̇θ. b-Montrer que la vitesse obtenue est
plus grande que
s’il n’y avait qu’un
seul bras rigide de longueura+b. OB Aρ eφ eφ ba θ
M