Mécanique du point : Exercices mecanique oscillateur harmonique
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Ex-M5.1 : Sismographe
On considère un capteur d’amplitude constitué par un support et une masse reliés par un ressort et un amortisseur en parallèle.
L’amortisseur exerce en A la force : −→ FA = −h(−→ vA − −→ vB).
Le ressort exerce en C la force : −→ TC = −k(−→ DC − −→ D0C0).
Le support, le ressort et l’amortisseur sont de masse négligeable.
Le ressort a pour constante de raideur k et pour longueur à vide l0.
Questions
1) Déterminer l’équation que vérifie xe (position de la masse à l’équilibre dans R0 lorsque x1 = 0).
2) Écrire l’équation différentielle du mouvement de m dans R0.
Si on pose X = x − x1 − xe, montrer que l’équation peut se mettre sous la forme : ̈X + ω0Q ̇X + ω20 X = A sin(ωt⋆).
Résoudre cette équation.
Réponses
1) À l’équilibre, l’équation vérifiée par xe est : xe = l0 + (mg)/k + a.
2) Hors équilibre, le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) s’écrit : m ̈x = −k(x(t) + x1 − xe) − h( ̇x − ̇x1).
On obtient alors, avec A = bω2, ω0 = √(km) et Q = mω0/h, la solution : X(t) = Xm sin(ωt + φ), où Xm = A √(ω20 − ω2)2 + (ωω0Q)2 et φ = −(π/2) − arctan[Q(ωω0 − ω0ω)].
Au final : x(t) = X(t) + x1(t) + xe.
Ex-M5.2 : Déphasage de la vitesse par rapport à la force excitatrice
Soit m ̈x + h ̇x + kx = f(t) l’équation du mouvement d’un oscillateur soumis à une force excitatrice f(t) = Fm cos(ωt + ψ).
Calculer en régime forcé :
1) le déphasage φv de la vitesse v(t) par rapport à la force ; en particulier, montrer que : sinφv = (ω20ω − ω)Vm/Fm et cosφv = 2αVm/Fm.
2) le travail T fourni à chaque période T par la force à l’oscillateur.
Réponses
2) Partir du travail élémentaire fourni par la force excitatrice : δT = f(t).dx = f(t).v(t)dt = Fm cos(ωt + ψ).Vm cos(ωt + φv)dt = (FmVm/2) [cos(ψ − φv) + cos(2ωt + ψ + φv)].
Sur une période T = ∫T0 δT → T = (hVm2)/2T.
Ex-M5.3 : Oscillations forcées d’un véhicule sur une route ondulée
Une automobile est modélisée par une masse placée en M et reposant sur une roue de centre O, par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k mis en parallèle sur un amortisseur de coefficient de frottement h.
On examine le comportement du véhicule lorsqu’il a une vitesse v sur une route dont le profil impose au centre O de la roue une élongation zO(t) = a cos(2πx/λ) par rapport à sa position d’équilibre.
On rappelle qu’un amortisseur placé entre O et M exerce sur M une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse relative de M par rapport à O : −→ Fr = −h( ̇zM − ̇zO ) −→ ez.
Questions
1) Établir l’équation différentielle en z(t) du mouvement de la masse M lorsque le véhicule se déplace à vitesse constante v.
2) Déterminer l’amplitude du mouvement d’oscillation vertical du véhicule en régime permanent.
3) À quelle allure convient-il de rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible ?
Réponses
1) L’équation différentielle est : m ̈z = −k(z(t) − zO(t)) − h( ̇z − ̇zO), avec zO = a cos(ωt), où x = vt et ω = 2πv/λ.
En posant ω0 = √(km) et Q = mω0/h, on obtient : ̈z + ω0Q ̇z + ω20 z = ω20 zO(t) + ω0Q ̇zO(t).
2) L’amplitude en régime permanent est : Zm = a √[1 + (ωQ/ω0)2] / √[(1 − ω2/ω20)2 + (ωQ/ω0)2].
3) Pour minimiser l’amplitude, il faut rouler à la vitesse v = √(k/m) / (2π/λ).
Ex-M5.4 : Modélisation d’un haut-parleur
On modélise la partie mécanique d’un haut-parleur à l’aide d’une masse m se déplaçant horizontalement sans frottement le long de l’axe (O, −→ ex).
Cette masse est reliée à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k, ainsi qu’à un amortisseur fluide de constante f.
Elle est soumise à une force −→ F(t) = K i(t) −→ ex, où i(t) = Im cos(ωt) est le courant sinusoïdal entrant.
Données : m = 10 g, k = 15 000 N.m−1, K = 200 N.A−1, Im = 1 A.
Questions
1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par la position de la masse m.
2) La normaliser avec Q = 1/√2. Calculer alors la valeur du coefficient f.
3) Déterminer l’expression de la réponse forcée x(t) et la mettre sous la forme Xm cos(ωt + φ).
Donnée : ω = 6 280 rad.s−1.
4) Tracer l’allure de la courbe donnant ω → Xm(ω). En déduire la bande passante du système.
Réponses
1) L’équation différentielle est : ̈x + (f/m) ̇x + (k/m)x = (K/m) Im cos(ωt).
2) Avec ω0 = √(km) et Q = mω0/f = 1/√2, on trouve f ≈ 17,3 kg.s−1.
3) ω0 ≈ 1 225 rad.s−1, ω = 6 280 rad.s−1, Xm = 0,5 mm et φ ≈ −2,86 rad, soit : x(t) = 0,5.10−3 cos(6 280t − 2,86) (en mètres).
4) Xm(ω) = (KIm)/(mω20) √(1/2) ⇔ ωc = ω0.
Ex-M5.5 : Pourquoi le ciel est-il bleu ?
Thomson propose un modèle d’atome où chaque électron (M) est élastiquement lié à son noyau (O) par une force de rappel proportionnelle à la distance.
On suppose que l’électron est freiné par une force de frottement fluide proportionnelle à sa vitesse : −→ Fr = −h −→ v.
Le noyau O est fixe dans le référentiel d’étude supposé galiléen.
On étudie l’action d’une onde lumineuse caractérisée par un champ électrique −→ E(t) = E0 cos(ωt) −→ ex sur un électron d’un atome de l’atmosphère.
Données : m = 9,1.10−31 kg, e = 1,6.10−19 C, k = 100 N.m−1, h = 10−20 kg.s−1.
Questions
1) Écrire l’équation différentielle vectorielle du mouvement de l’électron, puis la normaliser.
2) Déterminer le régime forcé (solution particulière de l’équation différentielle).
3) Simplifier l’expression précédente en utilisant les longueurs d’onde du rayonnement visible (400 nm à 800 nm).
4) Expliquer pourquoi le ciel est bleu, sachant que l’électron diffuse dans toutes les directions un rayonnement dont la puissance moyenne est proportionnelle au carré de l’amplitude de son accélération.
Réponses
1) L’équation différentielle est : ̈−→ OM + ω0Q ̇−→ OM + ω20 −→ OM = −(e/m) −→ E(t), avec ω0 = √(km) et Q = mω0/h.
2) La solution en régime forcé est : −→ OM(t) = Xm cos(ωt + φ) −→ ex, où Xm = (eE0)/(mω20) / √[(ω20 − ω2)/ω20)2 + (1/Qω0)2] et φ = π/2 − arctan(Q(ωω0 − ω0ω)).
3) En utilisant λ = c.T = c.2π/ω, on compare ωb, ωr avec ω0 et on obtient : Xm ≃ (eE0)/(mω20) et φ ≃ π.
4) Comme ̈−→ OM ≃ (eω2)/(mω20) E0 cos(ωt) −→ ex, la puissance moyenne est proportionnelle à (amplitude de l’accélération)2.
On en déduit que <Pb>/<Pr> = (λr/λb)4 = 16.
FAQ
Q1 : Qu’est-ce qu’un régime sinusoïdal forcé ?
Un régime sinusoïdal forcé est un mouvement oscillatoire d’un système soumis à une excitation périodique (généralement sinusoïdale), où la réponse du système devient également sinusoïdale après un certain temps.
Q2 : Comment normaliser une équation différentielle ?
Normaliser une équation différentielle consiste à la mettre sous une forme standardisée, souvent en divisant par des termes caractéristiques comme la masse ou la raideur pour simplifier les coefficients.
Q3 : Pourquoi la diffusion de la lumière bleue est-elle plus intense que celle de la lumière rouge ?
La diffusion de la lumière dépend de la longueur d’onde : les courtes longueurs d’onde (comme le bleu) sont diffusées plus intensément que les longues (comme le rouge).