Mécanique du point : Exercices mecanique oscillateur harmonique
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Télécharger packPTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Oscillateur harmonique amorti en r ́egime sinuso ̈ıdal forc ́eM5 Ex-M5.1Sismographe
on consid`ere un capteur d’amplitude constitu ́e par un
support et une massemreli ́es par un ressort et un amor-
tisseur en parall`ele.
L’amortisseur exerce enA:−→ FA =−h(−→ vA −−→ vB )
et le ressort exerce enC:−→ TC =−k(−−→ DC−−−−→ D0 C0 ).
Le support, le ressort et l’amortisseur sont de masse
n ́egligeable.
Le ressort a pour constante de raideurket pour lon-
gueur `a videl0 (not ́eeD0 C0 ).
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxO x (t)x xA BC DG hky cartera 1e x(t)g On suppose que le support est solidaire du carter d’une machine anim ́ee d’un mouvement si-
nuso ̈ıdal verticalx1 =bsinωtpar rapport `a un r ́ef ́erentiel galil ́eenR0 ((Oxy) ́etant li ́e `aR0 ).
1)D ́eterminer l’ ́equation que v ́erifiexe (position de la masse `a l’ ́equilibre dansR0 lorsquex 1
= 0).
2) ́
Ecrire l’ ́equation diff ́erentielle du mouvement demdansR0 .
Si on poseX=x−x1 −xe , montrer que l’ ́equation peut se mettre sous la forme : ̈X+ ω0 Q ̇X+ω 20 X=Asinωt⋆,
R ́esoudre cette ́equation. (Principe du sismographe.)
R ́ep : 1) ́
Ecrire, pour la massem, leP.F.D.`a l’ ́equilibre1,→xe =l0 +mg k+a 2) ́
Ecrire leP.F.D.hors ́equilibre2,;2,−1,→m ̈x=−k(x(t) +x1 −xe )−h( ̇x− ̇x1 ).
D’o`u⋆,avecA=bω2 ,ω0 =√ km etQ=mω 0h , de solutionX(t) =Xm sin(ωt+φ), avecXm =A √(ω 20 −ω2 )2 +( ωω0 Q) 2etφ=− π2 −arctan[ Q( ωω 0− ω0 ω)] . Au final :x(t) =X(t)+x1 (t)+xe .
Ex-M5.2D ́ephasage de la vitesse par rapport `a la force excitatrice
Soitm ̈x+h ̇x+kx=f(t) l’ ́equation du mouvement d’un oscillateur soumis `a une force excitatrice
f(t) =Fm cos(ωt+ψ).
→Calculer, en r ́egime forc ́e :
1)le d ́ephasageφv de la vitessev(t) par rapport `a la force ; en particulier, montrer que :sinφ v= (ω 20 ω−ω )V mF mm etcosφ v= 2αVm Fm m
(Que repr ́esententω0 ,Vm etα?)
2)la travailTfourni `a chaque p ́eriodeT, par la force `a l’oscillateur.
R ́ep : 2)Partir du travail ́el ́ementaire fourni par le force excitatrice :δT=f(t).dx=
f(t).v(t)dt=Fm cos(ωt+ψ).Vm cos(ωt+φ)dt=F mV m2 [cos(ψ−φ) + cos(2ωt+ψ+φ)]dt.
Sur une p ́eriodeT=∫ T0 δT...→ T=hV 2m 2T Ex-M5.3Oscillations forc ́ees d’un v ́ehicule sur une route ondul ́ee
Une automobile est sommairement mod ́elis ́ee par une massemplac ́ee en M et reposant sur une
roue de centreO, par l’interm ́ediaire d’un ressort de raideurkmis en parall`ele sur un amortisseur
de coefficient de frottementh. En routes circonstances, l’axeOMreste vertical.
On se propose d’examiner le comportement du v ́ehicule lorsqu’il a la vitessevsur une route26 page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
dont le profil impose au centreOde la roue une ́elongationz O
(t) =acos( 2πx λ) par rapport `a sa position d’ ́equilibre.
On rep`ere le mouvement de la masse par son ́elongationz(t) par rapport `a sa position d’ ́equilibre
quand le v ́ehicule est au repos.
On rappelle qu’un amortisseur plac ́e entreOetMexerce surMune force de frottement fluide
proportionnelle `a la vitesse relative deMpar rapport `aO:−→ Fr =−h( ̇zM − ̇zO )−→ ez .
1) ́
Etablir l’ ́equation diff ́erentielle enz(t)du mouvement de la masse , lorsque le v ́ehicule se
d ́eplace `a vitesse constantev.
2)D ́eterminer l’amplitude du mouvement d’oscillation vertical du v ́ehicule en r ́egime permanent.3) `
A quelle allure convient-il de rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible ?
R ́ep : 1)m ̈z=−k(z(t)−zO (t))−h( ̇z− ̇zO ), aveczO =acos(ωt), commex=v.tet en
posantω=2πv λ
; ̈z+ω 0
Q ̇z+ω2 0z=ω 20 zO (t) +ω 0
Q ̇zO (t), en posantω0 =√ km etQ=mω 0h ;2)Z m= a√ 1 +( ωQω 0) 2√ (1− ω2 ω2 0) 2+ (ω Qω0 )2 Ex-M5.4Mod ́elisation d’un haut-parleur
On mod ́elise la partie m ́ecanique d’un haut-parleur `a
l’aide d’une massem, se d ́epla ̧cant horizontalement
sans frottement le long de l’axe (O,−→ ex ). Cette masse
m, assimil ́ee `a un point mat ́erielM(m), est reli ́ee `a un
ressort de longueur `a videl0 et de raideurk, ainsi qu’`a
un amortisseur fluide de constantef. Elle est soumise
`a une force−→ F(t), impos ́ee par le couranti(t) entrant
dans le haut-parleur.
On a :F(t) =K i(t)−→ ex ,avecKune constante.
On travaille dans le r ́ef ́erentiel terrestre consid ́er ́e ga-
lil ́eenRg (O,−→ ex ,−→ ey ).
On suppose que le couranti(t) est sinuso ̈ıdal :i(t) =I mcos(ωt) Donn ́ees :m= 10g;k= 15 000N.m−1 ;K=200N.A −1etI m
= 1A.
1) ́
Ecrire l’ ́equation diff ́erentielle v ́erifi ́ee par la position de la massem.
2)La normaliser. On veutQ=1 √2 . Calculer alors la valeur du cœfficientf.
3)D ́eterminer l’expression de la r ́eponse forc ́eex(t) et la mettre sous la formeXm cos(ωt+φ).
Donn ́ee :ω= 6 280rad.s−1 4)Tracer l’allure de la courbe donnantω→Xm (ω). En d ́eduire la bande passante du syst`eme.
R ́ep : 1) ̈x+f m ̇x+k mx= Km Im cos(ωt) ;2)ω0 =√ km etQ=mω 0f =√ kmf A.N. :f≃17,3kg.s−1 (ouN.s.m−1 ) ;3)ω0 ≃1 225rad.s−1 ,ω= 6 280rad.s−1 ,Xm = 0,5mm
etφ=−164◦ =−2,86rad, soit :x(t) = 0,5.10−3 cos(6 280t−2,86) (enm) ;4)X m(ω c
) =KI mmω 20 1√ 1 +ω 4c ω4 0= Xm (max)√ 2⇔ω c=ω 0
jpqadri@gmail.com27
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PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Ex-M5.5Pourquoi le ciel est-il bleu ?
Thomsona propos ́e un mod`ele d’atome dans lequel chaque ́electron (M) est ́elastiquement li ́e `a
son noyau (O) (il est soumis `a une force de rappel passant par le centre del’atome ;−→ Fe =−k−−→ OM).
Nous supposerons que ce ́electron est frein ́e par une force de frottement de type fluide propor-
tionnelle `a sa vitesse−→ Fr =−h−→ vet que le centreOde l’atome est fixe dans le r ́ef ́erentiel d’ ́etude
suppos ́e galil ́een. Nous cherchons `a ́etudier l’action d’une onde lumineuse caract ́eris ́ee par un
champ ́electrique−→ E(t) =E0 cos(ωt)−→ ex , de pulsationω(provenant du Soleil) sur un ́electron
d’un atome de l’atmosph`ere, repr ́esent ́e `a l’aide du mod`ele deThomson.
6Donn ́ees :m= 9,1.10−31 kg;e= 1,6.10−19 C;k= 100N.m−1 ;h= 10−20 kg.s−1 .
1) ́
Ecrire l’ ́equation diff ́erentielle vectorielle du mouvement de l’ ́electron, puis la normaliser.
(« la normaliser »= comprendre qu’il faut l’écrire sous sa forme « canonique »).
2)Déterminer le régime forcé (solution particulière de l’équation différentielle).
3)Simplifier l’expression précédente sachant que le rayonnement visible provenant du Soleil
possède des longueurs d’onde s’étendant deλb = 400nm(bleu) àλr = 800nm(rouge), longueurs
d’onde du champ−→ E(t).
4)Sachant que l’électron diffuse dans toutes les directions un rayonnement dont la puissance
moyenne est proportionnelle au carré de l’amplitude de son accélération, expliquer pourquoi le
ciel est bleu.
Rép : 1) ̈−−→ OM+ω 0
Q ̇−−→ OM+ω2 0−−→ OM=−e m−→ E(t), avecω0 =√ kmetQ=mω 0h ;2)−−→ OM(t) =X m
cos(ωt+φ)−→ ex , avecXm =eE 0mω 20 1√ (ω 2ω 20 −1) 2+ 1Q 2ω 2ω 20 etφ=π 2
−arctanQ( ωω 0− ω0 ω) ;3)λ b/r= 2πcω b/r
(ÜCf CoursO1.I.1.a):λ=c.T=c.2π ω
), comparer les valeurs deωb ,ωr avec
celle deω0 , en déduire :Xm ≃eE 0mω 20 etφ≃π;4)Comme ̈−−→ OM≃eω 2mω 20 E0 cos(ωt)−→ ex , on a
<Pb/r >=K×(amplitude de l’accélération)2 =K( eω2 b/rmω 20 E0 )2 , soit
<Pb >
<Pr >= (λ rλ b) 4
= 16.28 page facebookpage facebook