Mécanique du point : Td 1 mecanique du point rappel mathematiques
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Exercice n°1
Dans le repère R(Oxyz) muni de la base orthonormée directe (k, j, i), on considère les trois vecteurs suivants :
→OA = 3i + 4j + 5k
→OB = 2i + 3j + k
→OC = i + j + k
1°/ Calculer les composantes des vecteurs →OB, →OA et →CA + 2→OB
2°/ Produits scalaires
a) Calculer les produits scalaires →OA • →OC, →OB • →OA et →OB • →OC.
b) Calculer les produits vectoriels →OA ∧ →OB, →OC ∧ →OA et →OC ∧ →OB.
c) Calculer les normes des vecteurs →CA, →OA + 2→OB et →OC.
d) Déterminer le vecteur unitaire u porté par le vecteur →OA + 2→OB.
e) Calculer l’angle entre u et →CA.
3°/ Produit vectoriel et sa norme
a) Calculer la norme du produit vectoriel →u ∧ →CA en utilisant le résultat de la question 2°/e).
ii) en utilisant un calcul direct.
b) Que représente cette norme ?
4°/ Représentation du vecteur →OC et cosinus directeurs
Représenter le vecteur →OC et déterminer ses cosinus directeurs.
5°/ Produit mixte
a) Calculer le produit mixte (→OC, →OB, →OA) et montrer qu’il est invariant par permutation circulaire.
b) Que représente ce produit mixte ?
Exercice n°2
1°/ Montrer que la dérivée par rapport au temps d’un vecteur (fonction de t) de module constant est un vecteur qui lui est perpendiculaire.
2°/ On considère dans le plan (xOy) deux vecteurs unitaires perpendiculaires u et v, tournant autour de Oz. En posant →u = (cosθ, sinθ, 0) et →v = (-sinθ, cosθ, 0), calculer dθ/dt(→v) et dθ/dt(→u).
Exercice n°3
Soit la fonction vectorielle →r(t) = (cosλt)i + (sinλt)j + 3k et λ(t) = e-t une fonction scalaire. Calculer d/dt(λ→r) pour t = 0.
Exercice n°4 – Repère cylindrique
La position d’un point M est donnée en fonction du temps dans le repère R(O, x, y, z) par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).
1°/ Donner les expressions des coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) du point M en fonction de ses coordonnées cartésiennes.
2°/ Exprimer les vecteurs unitaires de la base mobile (eρ, eφ, ez) en fonction de (i, j, k).
3°/ Exprimer le déplacement élémentaire d→OM dans la base (i, j, k), puis dans la base (eρ, eφ, ez).
4°/ Donner les expressions des éléments de volume en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
Exercice n°5 – Repère sphérique
La position d’un point M est donnée en fonction du temps dans le repère R(O, x, y, z) par ses coordonnées sphériques (r, θ, φ).
1°/ Donner les expressions des coordonnées cartésiennes (x, y, z) du point M en fonction de ses coordonnées sphériques.
2°/ Exprimer les vecteurs unitaires de la base mobile (er, eθ, eφ) en fonction de (i, j, k).
3°/ Exprimer le déplacement élémentaire d→OM dans la base sphérique (er, eθ, eφ).
4°/ Donner l’expression de l’élément de volume en coordonnées sphériques.
5°/ Donner l’expression de l’élément de surface en coordonnées sphériques.
Exercice n°6
Soit une fonction scalaire V(x, y, z) quelconque et une fonction vectorielle →f(x, y, z) donnée dans la base (i, j, k) par ses trois composantes :
fx = 6x2y + 5z2y2 + 10z3 + 3
fy = 2xy2 + 2z3x + 25z6
fz = 4x2z + 5y2z + 6
1°/ Calculer →rot(→grad(V)).
2°/ Calculer →rot(→f) et conclure.
3°/ Déterminer la fonction scalaire U(x, y, z) dont dérive la fonction vectorielle →f (on donne U(0, 0, 0) = 0).
Exercice n°7
Soit M un point de l’espace de coordonnées cylindriques (ρ, φ, z). En M est définie la fonction scalaire :
f(ρ, φ, z) = ρ2 cos(2φ) + z2.
1°/ Calculer la différentielle df.
2°/ Calculer →grad(f) dans la base (eρ, eφ, ez).
FAQ
Qu’est-ce qu’un produit scalaire et à quoi sert-il ?
Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération qui donne un scalaire. Il mesure l’angle entre les vecteurs et permet de calculer des projections ou des normes.
Comment déterminer les cosinus directeurs d’un vecteur ?
Les cosinus directeurs d’un vecteur sont les cosinus des angles que ce vecteur forme avec les axes du repère. Ils s’obtiennent en divisant chaque composante du vecteur par sa norme.
Que signifie l’invariance par permutation circulaire d’un produit mixte ?
Un produit mixte (→a, →b, →c) est invariant par permutation circulaire si (→a, →b, →c) = (→b, →c, →a) = (→c, →a, →b). Cela reflète une propriété géométrique liée au volume du parallélépipède formé par ces vecteurs.