Td 1 mecanique du point rappel mathematiques - mécanique du

Mécanique du point : Td 1 mecanique du point rappel mathematiques

Télécharger PDF

Obtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique du point!

Vous souhaitez maîtriser Mécanique du point ? Ne cherchez plus, nous avons le pack bien choisi pour vous.

Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...

Télécharger pack

Année universitaire 2013-2014 TD N°1 : Mécanique du point Rappel Mathématiques

Exercice n°1 Dans le repère R(Oxyz) muni de la base orthonormée directe ),,(kjir rr

, on considère les trois vecteurs suivants : kjikjikjiOAr rrr rrr rr

534OC ; 24OB ; 23++=+−=−+=→→→ 1°/ Calculer les composantes des vecteurs .OB 3 OAet→→→ +CA 2°/ a) Calculer les produits scalaires→→ •OCOA, →→

•OCOBet )OB 3 ( →→→

+•OACA b) Calculer les produits vectoriels→→ ∧OBOA,→→ ∧OCOAet→→ ∧OCOB. c) Calculer les normes des vecteurs→ CA, )OB 3 (→→ +OAet→ OC. d) Déterminer le vecteur unitaire r

u porté par le vecteur)3 (→→ +OBOA. e) Calculer l’angle ).u, CA(→ r

3°/ a) Calculer la norme du produit vectoriel u CAr ∧

→ :

i) en utilisant le résultat 2°/e).

ii) en utilisant un calcul direct. b) que représente cette norme. 4°/ Représenter le vecteur →

OC et déterminer ses cosinus directeurs. 5°/ a) Calculer le produit mixte )OC,OB, OA(

→→→ et montrer qu’il est invariant par permutation circulaire. b) Que représente ce produit mixte. Exercice n°2 1°/ Montrer que la dérivée par rapport au temps d’un vecteur (fonction de t) de module constant est un vecteur qui lui est perpendiculaire. 2°/ On considère dans le plan (xOy) deux vecteurs unitaires perpendiculairer r

u et v

, tournant autour de Oz. En posant

(, )Ox u→ =r θ, calculerθθd vdet rrd ud

. Exercice n°3 Soient kt btbtrrrr r3 +j cos+i sin=

une fonction vectorielle et λ( )teat =− une fonction scalaire. Calculer ddt (λ r)

r pour t=0. ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Ecole Nationale des Sciences Appliquées Tanger

Exercice n°4 Repère cylindrique La position d’un point M est donnée en fonction du temps dans le repère R(O,x,y,z) par ses coordonnées cartésiennes )z,y,x(

. 1°/ Donner les expressions des coordonnées cylindriques (,,)ρφz du point M en fonction de ses coordonnées cartésiennes. 2°/ Exprimer les vecteurs unitaires de la base mobile (,, )rrr e e e

zρφ en fonction de

( , , )rr r

i j k

. 3°/ Exprimer le déplacement élémentaire→ OMd dans la base ( , , )rr r

i j k

puis dans la base( ,,) rrr

e e ezρφ . 4°/ Donner les expressions des éléments de volumes en coordonnées cartésiennes et cylindriques. Exercice n°5

Repère sphérique La position d’un point M est donnée en fonction du temps dans le repère R (O,x,y,z) par ses coordonnées sphériques ( , , )rθφ

. 1°/ Donner les expressions des coordonnées cartésiennes )z,y,x(

du point M en fonction de ses coordonnées sphériques

( , , )rθφ

. 2°/ Exprimer les vecteurs unitaires de la base mobile (,,) rrr

e e e

rθφ en fonction de

( , , )rr r

i j k

. 3°/ Exprimer le déplacement élémentaire→ OMd dans la base sphérique (,,) rrr

e e erθφ . 4°/ Donner l’expression de l’élément de volume en coordonnées sphériques. 5°/ Donner l’expression de l’élément de surface en coordonnées sphériques. Exercice n°6

Soient ),,(zyxV

une fonction scalaire quelconque etr f x y z( , , ) une fonction vectorielle donnée dans la base ( , , )rr r

i j k par ses trois composantes : zyxyzxfz, yzyx f, zxzyxfzyx 22223223 6215 25 6

1034++=++=++=

1°/ Calculer])([→→ −Vgradrot. 2°/ Calculer rot f→ r et conclure. 3°/ Déterminer la fonction scalaire ),,(zyxU dont dérive la fonction vectoriellef r

. (On donne

)0)0,0,0(=U

. Exercice n°7 Soit M un point de l’espace de coordonnées cylindriques

(,,)ρφz. En M est définie la fonction scalaire : 22

os sin),,(zczzf++=φρφρφρ. 1°/ Calculer la différentielle df. 2°/ Calculer grad f

→ dans la base),,( zeee rrrφρ .