Mécanique du point : Exercices mecanique point materiel
Télécharger PDFUniversité Cadi Ayyad - Année Universitaire 2014/2015
Faculté des Sciences Semlalia - Marrakech
Département de Physique - Module de Mécanique du Point Matériel
Série N°3 - Filières SMP/SMC/SMA
Exercice 1
Un bateau de volume global Vb et de masse volumique ρb est attaché à un port maritime. Le volume du bateau plongé dans l’eau est Ve. Soit ρe la masse volumique de l’eau. Quelle est la condition pour que le bateau flotte sur l’eau ?
Exercice 2
Particule chargée dans une région où règne un champ magnétique constant
Une particule M de charge q et de masse m est soumise à l’action d’un champ magnétique constant B. Soit R(O, XYZ) un référentiel galiléen muni de la base orthonormée directe (i, j, k) telle que B = Bk. La vitesse initiale de la particule est v0 = v0⊥ + v0//, telles que v0⊥ = v0xi + v0yj, la projection de la vitesse sur le plan (OXY), et v0// = v0zk, la composante de la vitesse parallèle au champ magnétique. On note ωc = qB/m.
On néglige l’action du poids devant l’action du champ magnétique.
1. Expression de la force FB subie par la particule
Donner l’expression de la force FB à laquelle la particule est soumise par l’action du champ magnétique.
2. Application du PFD et démonstration que v// est constante
Appliquer le principe fondamental de la dynamique (PFD) et montrer que v// est une constante du mouvement.
3. Expression de d(vM/R)/dt et démonstration que v⊥ est constante
Exprimer d(vM/R)/dt et en déduire que le module v = k vM/R k est constant. En déduire que v⊥ est aussi une constante du mouvement.
4. Projection du PFD et équations différentielles
Projeter le PFD dans la base cartésienne et en déduire les équations différentielles pour vx, vy et vz.
5. Résolution des équations et trajectoire
Résoudre les équations précédentes et montrer que les équations horaires du mouvement sont : x = v0⊥/ωc sin(ωc t) y = v0⊥/ωc (1 − cos(ωc t)) z = v0// t avec x(0) = y(0) = z(0) = 0 et v0 = v0⊥ + v0//, v0⊥ étant la composante perpendiculaire.
Quelle est la nature de la trajectoire ?
Exercice 3
Masselotte en rotation sur une tige
Une masselotte ponctuelle M, de masse m, peut glisser sans frottement sur une tige (T) perpendiculaire en O à l’axe vertical Oz. Soit R0 (Ox0y0z0) un repère galiléen fixe orthonormé direct. Soient (i0, j0, k0) la base cartésienne associée. Soit R (Oxyz) un repère orthonormé lié à la tige (T) muni de la base (i, j, k). L’axe Oz est entraîné par un moteur qui fait tourner la tige (T) à la vitesse angulaire constante ω dans le plan horizontal Ox0y0.
La masselotte est repérée par ses coordonnées polaires (ρ, φ) dans R0.
À l’instant initial t = 0, la tige (T) est confondue avec l’axe Ox0 et la masselotte est lancée depuis le point O avec une vitesse v0 = v0i0.
1. Bilan des forces et relation fondamentale de la dynamique
Effectuer le bilan des forces agissant sur M dans le repère R et exprimer la relation fondamentale de la dynamique dans la base (i, j, k).
2. Équation horaire du mouvement ρ(t) et réaction de la tige
Déterminer l’équation horaire du mouvement ρ(t) et les composantes de la réaction de la tige (T) sur M.
3. Vitesse VM/R0 et théorème du moment cinétique
Établir la vitesse VM/R0. Par application du théorème du moment cinétique en O dans R0, retrouver les composantes de la réaction de (T) sur M.
4. Calcul de tB pour un obstacle à distance D
À la distance D de O, on place au point B un obstacle fixe sur (T). À l’instant tB, la masselotte M vient buter sur B. Si la tige effectue un tour complet en 16 secondes, avec v0 = 0,393 m·s−1 et D = 2,3 m, calculer tB.
5. Réaction de l’obstacle sur la masselotte
Exprimer la réaction RH de (B) sur M quand la masselotte est arrêtée par (B).
Exercice 4
Forces de frottement solide
Un homme tire une caisse M de bas en haut d’une colline dont la forme est assimilée à un cercle de rayon R0 et de centre O. Il exerce une force de traction T constante en norme et faisant un angle α avec le sol.
1. Travail de la force T sur le trajet
Calculer le travail de T sur le trajet.
2. Réaction normale du sol sur la caisse
Sachant que l’homme se déplace à une vitesse constante v0, déterminer la réaction normale du sol sur la caisse RN en fonction de m, g, φ, T, α, R0 et v0.
3. Travail de la force de frottement selon Coulomb
En utilisant la loi de Coulomb, |RT| = f |RN|, f étant une constante, déterminer le travail de la force de frottement.
Exercice 5
Force de frottement fluide
Un cycliste se déplace sur une ligne droite et fournit une puissance mécanique constante P. Les forces de frottement de l’air sont proportionnelles au carré de la vitesse du cycliste : Ff = −kv2, k étant une constante positive. On néglige les forces de frottement du sol sur la roue. Le système formé par le cycliste et le vélo est considéré comme un point matériel. On choisit un axe horizontal Ox et le repère terrestre est supposé galiléen.
1. Équation différentielle du module de la vitesse
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique dans sa forme différentielle, établir l’équation différentielle que vérifie le module de la vitesse v et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : m v2 dv/dx = P − k v3.
2. Intégration de l’équation différentielle
En posant f(x) = P − k v3, en déduire l’équation différentielle vérifiée par f(x). Intégrer l’équation et en déduire l’expression du module de la vitesse v en fonction de x, si le module de la vitesse initiale du cycliste est v0.
FAQ
Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen ?
Un référentiel galiléen est un repère d’étude en mécanique où les lois de Newton s’appliquent. Il est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel supposé fixe (comme la Terre dans certains cas).
Comment interpréter la condition de flottabilité d’un bateau ?
La condition pour qu’un bateau flotte repose sur le principe d’Archimède : le poids du volume de fluide déplacé doit être égal au poids total du bateau. Cela se traduit par ρe Ve g = ρb Vb g, où ρe et ρb sont les masses volumiques de l’eau et du bateau respectivement.
Quelle est la différence entre frottement solide et fluide ?
Le frottement solide dépend de la nature des surfaces en contact (loi de Coulomb), tandis que le frottement fluide dépend de la vitesse et de la viscosité du milieu (comme l’air ou l’eau). Dans ce contexte, le frottement solide est constant, alors que le frottement fluide est proportionnel au carré de la vitesse.