Mécanique du point : Exercices mecanique point materiel
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Télécharger packUniversit ́e Cadi AyyadAnn ́ee Universitaire 2014/2015
Facult ́e des Sciences
Semlalia-Marrakech
D ́epartement de Physique
Module de M ́ecanique du Point Mat ́eriel
S ́erie N◦ 3
Fili`eres SMP/SMC/SMA
Exercice 1
Un bateau de volume globaleVb et de masse volumiqueρb est attach ́e `a un port maritime. Le volume
du bateau plong ́e dans l’eau estVe . Soitρe la masse volumique de l’eau. Quelle est la condition pour quele
bateau flotte sur l’eau ?
Exercice 2
particule chargée dans une région ou règne un
champ magnétique constant
Une particuleMde chargeqet de massemest soumise `a l’action d’un champ magn ́etique constant~ B.
SoitR(O, XY Z) un r ́ef ́erentiel galil ́een muni de la base orthonorm ́ee directe (~ i,~ j,~ k) telle que~ B=B~ k. La
vitesse initiale de la particule est~v0 =~v0⊥ +~v0// , telles que~v0⊥ =v0x ~i+v 0y~ j, la projection de la vitesse
sur le plan (OXY), et~v0// =v0z ~
k, la composante de la vitesse parall`ele au champ magn ́etique. On noteω c= qBm .
On n ́eglige l’action du poids devant l’action du champ magn ́etique.
1. Donner l’expression de la force~ FB `a laquelle la particule est soumise par l’action du champ magn ́e-tique. 2. Appliquer le PFD et montrer que~v// est une constante du mouvement.
3. Exprimer
d~v(M/R)dt R
et d ́eduire que le modulev=k~v(M/R)kest constant. En d ́eduire quev⊥ est
aussi une constante du mouvement.
4. Projeter le PFD dans la base cart ́esienne et d ́eduire les ́equations diff ́erentielles envx ,vy etvz .
5. R ́esoudre les ́equations pr ́ec ́edentes et montrer que les ́equations horaires du mouvement sont x=v 0⊥ω csinω ct y=v 0⊥ω c(1−cosω ct) z=v0// t
avecx(0) =y(0) =z(0) = 0 et~v0 =~v0⊥ +~v0// avec~v0⊥ =v0⊥ ~
i. Quelle la nature de la trajectoire ?
Exercice 3
Masselotte en rotation sur une tige
Une masselotte ponctuelleM, de massem, peut glisser
sans frottement sur une tige (T) perpendiculaire enO`a
l’axe verticalOz, voir figure ci-contre. SoitR0 (Ox0 y0 z0 )
un rep`ere galil ́een fixe orthonorm ́e direct. Soient (~ i0 ,~ j0 ,~ k0 )
la base cart ́esienne associ ́ee. SoitR(Oxyz) un rep`ere or-
thonorm ́e li ́e `a la tige (T) muni de la base (~ i,~ j,~ k). L’axe
Ozest entraˆın ́e par un moteur qui fait tourner la tige (T)
`a la vitesse angulaire constanteωdans le plan horizontalOx 0y 0
. La masselotte est r ́ep ́er ́ee par ses coordonn ́ees
polaires, (ρ, φ), dansR0 .0 y0 x z≡0 zO (T)x yM B tω=φ
A l’instant initialt= 0, la tige (T) est confondue avec l’axeOx0 et la masselote est lanc ́ee depuis le
pointOavec une vitesse~v0 =v0 ~io`uv 0
>0.
1. Effectuer le bilan des forces agissant surMdans le rep`ereRet exprimer la relation fondamentale
de la dynamique dans la base (~ i,~ j,~ k).
2. D ́eterminer l’ ́equation horaire du mouvementρ(t) et les composantes de la r ́eaction de la tige (T)surM. 3. Etablir la vitesse~ V(M/R0 ). Par application du th ́eor`eme du moment cin ́etique enOdansR0 ,
retrouver les composantes de la r ́eaction de (T) surM.
4. A la distanceDdeO, on place au pointBun obstacle (B) fix ́e sur (T). A l’instanttB , la masselote
Mvient buter sur (B). Si la tige effectue un tour complet en 16s, avecv0 = 0,393m·s−1 etD= 2.3m,
calculertB .
5. Exprimer la r ́eaction~ RH de (B) surMquand la masselotte est arrˆet ́ee par (B).
Exercice 4
Forces de frottement solide
Un homme tire une caisseMde bas en haut d’une colline dont la forme est assimil ́ee `a uncercle derayonR 0
, de centreO. Il exerce une force de traction~ Tconstante en norme et faisant un angleαavec le
sol, voir figure ci-contre.
1. Calculer le travail de~ Tsur le trajet.
2. Sachant que l’homme se d ́eplace `a une vitesse constantev0 , d ́e-
terminer la r ́eaction normale du sol sur la caisse~ RN en fonction
dem, g, φ, T, α, R0 etv0 .
3. En utilisant la loi de Coulomb,|~ RT |=f|~ RN |,f ́etant une
constante, d ́eterminer le travail de la force de frottement.v Bg mH MO TR α0 Rρ eφ eφ xy
Exercice 5
Force de frottement fluide
Un cycliste se d ́eplace sur une ligne droite et fournit une puissance m ́ecanique constanteP. Les forces de
frottement de l’air sont proportionnelles au carr ́e de la vitesse du cycliste~ Ff =−kv~v,k ́etant une constante
positive. On n ́eglige les forces de frottement du sol sur la roue. Le syst`eme form ́e par le cyscliste et le v ́elo
est consid ́er ́e comme un point mat ́eriel. On choisit un axe horizontalOxet le rep`ere terrestre est suppos ́e
galil ́een.
1. En appliquant le th ́eor`eme de l’ ́energie cin ́etique dans sa forme diff ́erentielle, ́etablir l’ ́equation diff ́e-
rentielle que v ́erifie le module de la vitessevet montrer qu’elle peut se mettre sous la formemv 2dv dx=P−kv 3. 2. En posantf(x) =P−kv3 , d ́eduire l’ ́equation diff ́erentielle v ́erifi ́ee parf(x). Int ́egrer l’ ́equation et
d ́eduire l’expression du module de la vitesseven fonction dex, si le module de la vitesse initiale du
cycliste estv0 .