Mécanique du point : Td 1 mecanique du point
Télécharger PDFExercices de Mécanique du Point (STPI - 1ère Année)
I. Coordonnées et représentation de vecteurs
Dans un repère orthonormé (O ; £i, £j) tel que ||£i|| = ||£j|| = 1, on a les points A(5 ; 2) et B(–1 ; –2).
1. Coordonnées des vecteurs OA et OB
Les coordonnées des vecteurs OA et OB sont données par les positions des points A et B dans le repère.
2. Représentation graphique
Tracer les vecteurs OA et OB en utilisant les coordonnées fournies.
3. Vecteur AC et calcul des coordonnées de OC
Soit le vecteur AC = –10£i + 2£j.
a) Représentation du vecteur AC
Représenter graphiquement le vecteur AC en partant du point A.
b) Calcul des coordonnées de OC
Sachant que AC = AO + OC, calculer les coordonnées du vecteur OC.
c) Coordonnées du point C
En déduire les coordonnées du point C.
4. Coordonnées des vecteurs AB et BC
Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC en utilisant les positions des points A et B.
5. Propriétés du triangle ABC
Analyser les normes des vecteurs AB, AC et BC pour déterminer si le triangle ABC possède des propriétés particulières (par exemple, rectangle, isocèle, équilatéral). Justifier la réponse.
II. Simplification d’écritures vectorielles
Simplifier les expressions vectorielles suivantes :
a) AM + MN
Exprimer cette somme en fonction d’un vecteur unique.
b) MP + AM
Exprimer cette somme en fonction d’un vecteur unique.
c) OP + KO + NK
Exprimer cette somme en fonction d’un vecteur unique.
d) MN + NM
Simplifier cette expression en utilisant les propriétés des vecteurs.
e) MO + PM + OP
Exprimer cette somme en fonction d’un vecteur unique.
f) KN – ON + OK
Simplifier cette expression en utilisant les propriétés des vecteurs.
III. Représentation d’un vecteur linéaire
Soient deux vecteurs £u et £v. Représenter le vecteur 2£u – £v en utilisant les propriétés des combinaisons linéaires.
IV. Colinéarité de vecteurs
On donne un vecteur £u dans le plan et un vecteur £v tel que –4£u + 3£v = 0. Démontrer que les vecteurs £u et £v sont colinéaires.
V. Expression vectorielle et produit scalaire
1. Donner l’expression des vecteurs £A et £B dans la base (£i, £j).
2. Calculer la norme des vecteurs £A et £B.
3. Calculer le produit scalaire £A.£B de deux manières différentes.
4. Vérifier que l’angle entre £A et £B est de 68,2°.
VI. Vecteur unitaire et angles directeurs
Soit le vecteur £U = 2£i + 4£j – £k.
1. Vecteur unitaire £w porté par £U
Trouver un vecteur unitaire £w colinéaire à £U.
2. Angles directeurs de £U
Calculer les angles que fait le vecteur £U avec les axes positifs x, y et z.
VII. Force exprimée en combinaison linéaire
Une force de 50 N est appliquée dans la direction du vecteur PQ. Exprimer cette force £F comme combinaison linéaire des vecteurs £i, £j et £k.
VIII. Vecteur position dans l’espace
Un vecteur position £U dans l’espace forme un angle de 40° avec l’axe positif des x et un angle de 120° avec l’axe positif des y. De plus, la norme de £U est de 15 unités et la composante scalaire de £U en z est positive.
1. Combinaison linéaire de £U
Exprimer £U comme combinaison linéaire des vecteurs £i, £j et £k.
2. Angle entre £U et l’axe des z
Déterminer l’angle entre le vecteur £U et la direction positive de l’axe des z.
FAQ
1. Comment calculer la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé ?
La norme d’un vecteur £V = a£i + b£j est donnée par la formule ||£V|| = √(a² + b²). Pour un vecteur dans l’espace, la formule devient ||£V|| = √(a² + b² + c²) avec £V = a£i + b£j + c£k.
2. Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1. Pour obtenir un vecteur unitaire à partir d’un vecteur £V, on divise £V par sa norme ||£V||.
3. Comment démontrer la colinéarité de deux vecteurs ?
Deux vecteurs £u et £v sont colinéaires s’il existe un scalaire k tel que £u = k£v. Cela peut être vérifié en montrant que les coordonnées de £u et £v sont proportionnelles.