Mécanique du point : Exercices physique mecanique du point
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Télécharger packLicence Science et Technologie, 1-i` eme ann ́ee, Universit ́
e de Provence, Ann ́
ee 2008-09
M ́
ecanique du point,
Corrig ́
es du DM 1
I. SPECTROM` ETRE DE MASSE
Question 1
Si on n ́
eglige la force de pesanteur, la seule force en pr ́
esence est
la force de Lorentz#» F=q~v∧#» B=m~a .#» B=−B~e
z ́
etant perpendiculaire au planxOy, l’acc ́
el ́
eration se
trouve dans ce plan (attantion : avec cette convention, pn aB >
0). Comme la vitesse initiale se trouve dans ce plan~vaussi. En
explicitant les composantes, on aboutit au syst` eme
̇vx (t)=− qBm vy (t) ̇vy (t)= qBm vx (t)
Question 2
Posons pour simplifierω0 =qB/m.vx satisfait l’ ́
equation
diff ́
erentielle ̈vx =−ω2 0v x, dont la solution est de la formev x
(t) =acos(ω0 t) +bsin(ω0 t).
En d ́
erivant, on obtient aussiv y
(t) =−1 ω
0 ̇vx (t) =asin(ω0 t)−bcos(ω0 t).
Les conditions initiales imposentb= 0eta=v0 , d’o` u la solutionv x
(t) =v0 cos(ω0 t), vy (t) =v0 sin(ω0 t).
Une nouvelle int ́
egration donne
x(t) =v 0ω 0sin(ω 0
t) +Cx , y(t) =−v 0ω 0cos(ω 0
t) +Cy ,
pour des constantes d’int ́
egrationCx etCy . Les conditions initiales
donnent finalementCx = 0etCy =v0 /ω0 , d’o` u la solution
x(t) =v 0ω 0sin(ω 0
t), y(t) =v 0ω 0
[1−cos(ω0 t)].
Attention :cette expression provient du choix#» B=−B~ez , avec donc
B >0etω0 >0. Choisir#» B=B~ez avec la mˆ eme d ́
efinition deω0 conduit` ay(t) =v 0ω 0[cos(ω 0
t)−1], mais avec cette foisω0 <0.
Question 2 (autre m ́ethode) En passant en complexes, et en posantV=vx +ivy , le syst` eme
s’ ́
ecrit ̇
V(t) =iω0 V(t),
dont la solution est de la forme
V(t) =v0 eiω 0t =v0 (cos(ω0 t) +isin(ω0 t)),
qui redonne ́
evidemment la mˆ eme solution.
Question 3
On peut exprimeryen fonction dex: on ax 2+ „y− v0 ω0 «2 =„ v0 ω0 «2 ,
ce qui est l’ ́
equation d’un cercle de centre(0,v0 /ω0 )et de rayonv 0/ω 0
. En se limitant au cas de figure donn ́
e par le graphique (x≥
0), on voit que la fonctiony∈[0,2v 0/ω 0]7−→x= s„ v0 ω0 «2 −„ y−v 0ω 0« 2
est bien d ́
efinie, maisx→yn’est pas une fonction : chaque valeur
dexest associ ́ee `
a 2 valeurs dey. En s ́
eparant les casy≤v0 /ω0 ety≥v0 /ω0 y=8 >
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>: v0 ω0 0@ 1−s 1−„ ω0 xv 0« 21 Asi0≤y≤v 0/ω 0v 0ω 00 @
1 +s 1−„ ω0 xv 0« 21 Asiv 0/ω 0≤y≤2v 0/ω 0
Question 4 : application num ́erique Le rayon du demi-cercle vautR= v0 ω0 =v 0m qB. D’apr` es les donn ́
ees du probl` eme,m= 16×1,66.10−27 , et doncR= 3.106 ×16×1,66.10−27 1,6.10−19 ×0,6≈0,83m. Ainsi, le diam` etre minimal doitˆ etre de 1,66 m.
Si la seconde tˆ ache se trouve` a 10cm, par exemple 1,56 m, alors
la mˆ eme ́
equation donneR ′= 3.106 ×X×1,66.10−27 1,6.10−19 ×0,6o `
uXest la masse exprim ́
ee en uma. Une r` egle de trois donneR ′
/R=X/16, d’o` u
X= 16R ′R =16×0,78 0,83≈15. Il s’agit probablement de l’ionCH+ 3
. Si la tˆ ache se trouve` a
l’ext ́
erieur (1,76m), alorsX≈17, ce qui correspond` aCH+ 5. 2
II. PERLE,RESSORT ET TOUT C ̧A
Avant toute chose, il est utile de pr ́
eciser les syst` emes de coor-
donn ́
ees. On a ~u=cosθ ~
i+ sinθ~ j ,
~v=−sinθ~ i+ cosθ~ j ~i= cosθ~u−sinθ~v ,~ j=
sinθ~u+ cosθ~v .
Question 1
Les coordonn ́
ees du pointPdans la base canonique sont# »
OP=a(cosθ,sinθ). On a donc dans cette base
# »
PΩ =−a(1 +
cosθ,sinθ).
Dans la base de Fr ́
enet(~u,~v), on ́ecrit # »PΩ =# »PO+ #» OΩ=−a~u−a ~i =−a~u−a(cosθ~u−sinθ~v)
=−a(cosθ+ 1)~u+asinθ~v
Question 2
La base(~u,~v) ́
etant orthonorm ́
ee, on aPΩ =aq (cosθ+ 1)2 + sin2 θ=a pcos 2
θ+ 2 cosθ+ 1 + sin2 θ=a p
2 + 2 cos(θ)= 2acos(θ/2).
Question 3
Il est utile de calculer tout d’abord
# »PΩ PΩ= 1
2acos(θ/2)
(−a(cosθ+ 1)~u+asinθ~v)
=−cos(θ/2)~u+ sin(θ/2)~v
On en d ́eduit ~
T=K(PΩ−`)
# »PΩ PΩ
=K(2acos(θ/2)−`) (−cos(θ/2)~u+ sin(θ/2)~v)
Question 4
La r ́
esultante des forces s’ ́ecrit #»F= ~T+ ~R+ ~P =
(N+Mgcosθ−K[2acos(θ/2)−`] cos(θ/2))~u
+ (−Mgsinθ+K[2acos(θ/2)−`] sin(θ/2))~vDonc #»
F·~v=−Mgsinθ+K[2acos(θ/2)−`] sin(θ/2).
Question 5
Seule la composante tangentielle travaille ; on aE p=C− Z#» F·# »dM =C−aZ #»
F·~v dθ=C+Mga Z
sinθdθ+Ka`Z sin(θ/2)dθ−Ka 2Z sinθdθ
=C+ (Ka2 −Mga) cosθ−2Ka`cos(θ/2)
Question 6
Les positions d’ ́
equilibre sont donn ́
ees par les minima de l’ ́energie potentielle, c’est` a dire les solutions de−(Ka 2
−Mga) sinθ+Ka`sin(θ/2) = 0,
qui ́
equivaut` a
−2(Ka−Mg) sin(θ/2) cos(θ/2) +K`sin(θ/2) = 0,c’est `
a dire soitθ= 0, soitθtel que
cos(θ/2) =K` 2(Ka−Mg)
Question 7
Pour qu’il existe une position d’ ́
equilibre comprise entre 0 etπ/2,
on doit donc avoir0≤ K`
2(Ka−Mg)≤1, ce qui implique
Ka−Mg≥0, Ka−Mg≥K` 2, la premi` ere in ́
egalit ́
e ́
etant une cons ́
equence de la seconde. Notons
en particulier qu’on doit n ́
ecessairement avoir ici`≤2a
Question 8
Calculonsd 2E pdθ 2=−(Ka 2
−Mga) cosθ+Ka`cos(θ/2)/2.
Pourθ= 0, cette quantit ́
e vautd 2E pdθ 2 ̨ ̨ ̨ ̨θ=0 =−a„ [Ka−Mg]−K` 2« et est donc positive (ce qui correspond` a un minimum deEp ,
donc une position d’ ́
equilibre stable) d` es queK(a−`/2)< Mg.
Ceci est r ́
ealis ́
e lorsque2a≤`, c’est` a dire lorsque le ressort est
d ́ej `
a comprim ́
e lorsque son extrˆ emit ́
e est le plus loin possible de
son origine, mais aussi lorsque le poids de la perle compense la
compression.
Pourcos(θ/2) =K`/2(Ka−Mg), on ad 2E pdθ 2=−(Ka 2
−Mga) cosθ+Ka`cos(θ/2)/2=−(Ka 2
−Mga)(2 cos2 (θ/2)−1) +Ka`cos(θ/2)/2
=−a(Ka−Mg)2 „K` 2(Ka−Mg)« 2−1 !+ aK2 `2 4(Ka−Mg)=−a K2 `2 −4(Ka−Mg)2 4(Ka−Mg)D’apr `
es ce qui pr ́ec `
ede, cette quantit ́
e est ici positive, donc l’ ́
equilibre
est stable.
Question 9 : application num ́erique Avec les donn ́
ees du probl` eme, on acos „θ 2« =
400×0,25
2(400×0,2−2×9,81)
≈0,82809,d’o `u θ≈68,194o .