Mécanique du point : Mecanique du point ds anciens cp1 s mécanique de point
Télécharger PDFTravaux Dirigés de Mécanique du Point - Série 1
Exercice 1
Dans le repère cartésien R(O, x, y, z), on considère les trois vecteurs suivants : V₁(1, 1, 1), V₂(1, 2, -3) et V₃(5, -4, 1).
1) Vérifier que ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
2) Calculer les produits vectoriels : V₁ × V₂, V₂ × V₃ et V₃ × V₁.
Exercice 2
Dans le repère cartésien R(O, x, y, z) de base (i, j, k), on considère les trois vecteurs suivants : V₁(1, 1, 0), V₂(1, 0, 1) et V₃(1, 1, 1).
1) Calculer les angles θ₁₂ = (V₁, V₂), θ₂₃ = (V₂, V₃) et θ₁₃ = (V₁, V₃).
2) Calculer les produits mixtes : V₁.(V₂ × V₃), V₂.(V₁ × V₃) et V₃.(V₁ × V₂). Conclure.
3) Calculer le double produit vectoriel : (V₁ × V₂) × V₃.
Exercice 3
Considérons un parallélépipède dont les arêtes sont décrites par : e₁ = x + 2y, e₂ = 4y et e₃ = x + 3z, à partir de l'origine.
Trouver le volume de ce parallélépipède.
Exercice 4
Soit les trois vecteurs : a(1, 2, 2), b(2, 2, 2) et c(0, 1/2, √2).
1) Calculer |a|, |b| et |c|. En déduire les expressions des vecteurs unitaires â, b̂ et ĉ, portés respectivement par les directions a, b et c.
2) On considère les angles α, β et γ compris entre 0 et π. Calculer : cos α = cos(a, ĉ), cos β = cos(b, ĉ) et cos γ = cos(ĉ, â).
3) Calculer les composantes des vecteurs : â × ĉ, b̂ × ĉ et ĉ × â.
4) En déduire sin α, sin β et sin γ. Vérifier ces résultats à l'aide de la question 2.
Exercice 5
Soit un vecteur V(t) de module V et un référentiel R.
1) Peut-on dire que la dérivée de V(t) est égale à la dérivée du module de V(t)?
2) Montrer que si V(t) a un module constant, le vecteur dérivé dV/dt est orthogonal.
3) Montrer que, d'une manière générale : dV/dt = V'(t) + (dV/dt) × V(t).
Exercice 6
Dans un repère R(O, i, j, k) orthonormé direct, on considère un vecteur U = 0i + j que fait un angle α avec l'axe (Oi) et un angle β avec l'axe (Oj).
1) Exprimer le vecteur U en fonction de α, du module U et des vecteurs unitaires i et j.
2) Exprimer le vecteur U en fonction de β, du module U et des vecteurs unitaires i et j.
3) Même question que 1 et 2 après une rotation au sens positif autour de l'axe (Ok) de π/2.
4) Même question que 1 et 2 après une rotation au sens négatif autour de l'axe (Ok) de π/2.
Exercice 7
Considérons un repère orthonormé direct R(O, i, j, k). En tout point M(x, y, z) de l'espace, on définit une quantité physique f telle que f(x, y, z) = r², avec r = OM et OM = xi + yj + zk.
1) Calculer le gradient du champ scalaire f, grad f, et la différentielle totale de f, df.
2) Montrer qu'en tout point M, df = grad f · dOM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire).
3) Considérons le champ scalaire f donné en tout point de l'espace par S(M) = 3r² sin(θ) cos(φ) sin(2φ). Exprimer grad f dans la base sphérique (eᵣ, eθ, eφ).
4) Soit une fonction vectorielle f(x, y, z) définie dans la base R(O, i, j, k) par : S(x, y, z) = x²yz i + xy²z j + z²k.
Calculer div f et rot f.
Exercice 8
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1) y'' - 2y' = 0, où y est une fonction du temps.
2) y'' = t(1 - t), avec les conditions initiales : à t = 0, y = 2 et y' = 1.
3) 2y'' - y' = e^t, où y est une fonction du temps.
4) On considère l'équation différentielle du second ordre suivante :
X'' + ω²X cos(θ) = 0, où ω est une constante positive et θ un paramètre constant.
4.1) Trouver la solution de l'équation différentielle sans second membre.
4.2) Montrer que cette solution peut se mettre sous la forme : X(t) = B₁ ch(ωt) + B₂ sh(ωt).
4.3) Chercher la solution générale de l'équation en utilisant les conditions initiales suivantes à t = 0 : X = 0 et X' = 0, où B₁ et B₂ sont des constantes.
FAQ
Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ?
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l'inertie est vérifié, c'est-à-dire où un corps isolé reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
Comment calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel V₁ × V₂ est un vecteur orthogonal à V₁ et V₂, dont la norme est égale à |V₁||V₂| sin(θ) et dont la direction est donnée par la règle de la main droite.
Quelle est la différence entre vitesse relative et vitesse absolue ?
La vitesse relative V(M/R) est la vitesse du point M par rapport à un référentiel R. La vitesse absolue V(M) est la vitesse du point M par rapport à un référentiel fixe, souvent exprimée comme la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.