Mécanique du point : Travaux diriges mecanique du point 2ap s1 2020 2021 mécaniq
Télécharger PDFExercices de Mécanique du Point – Rappels et Compléments Mathématiques
Exercice 1 : Opérations sur les vecteurs
Soient les trois vecteurs suivants : A = (3, 2, 3), B = (2, 3, 2) et C = (1, 2, 2).
1. Calculer les normes des vecteurs A, B et C. En déduire les expressions des vecteurs unitaires uA, uB et uC portés respectivement par les directions A, B et C.
2. On considère les angles θA, θB et θC compris entre 0 et π. Calculer les cosinus des angles entre les vecteurs unitaires : cos(A, B), cos(B, C) et cos(C, A).
3. Calculer les composantes des vecteurs croisés : A × B, B × C et C × A.
4. En déduire sin(θA), sin(θB) et sin(θC). Vérifier ces résultats à l’aide des résultats de la question 2.
5. Montrer que les vecteurs e1, e2 et e3 peuvent constituer une base. Cette base est-elle normée ?
Exercice 2 : Système de coordonnées et vecteur déplacement élémentaire
O étant l’origine d’un repère cartésien (Ox, Oy, Oz), la position d’un point M de l’espace est définie par le vecteur position r = OM.
1. Positionner sur une figure les vecteurs eρ, eφ et ez, ainsi que les coordonnées x, y et z.
2. Rajouter sur la figure les grandeurs ρ, φ, z, x, y et préciser leur dimension physique ainsi que leur domaine de variation.
3. Donner les composantes du vecteur position OM dans la base cartésienne (Ox, Oy, Oz) puis dans la base cylindrique (eρ, eφ, ez).
4. Exprimer ρ, cos(φ) et r en fonction de x, y et z.
5. Déterminer les composantes du vecteur déplacement élémentaire dr dans la base cartésienne puis dans la base cylindrique.
Exercice 3 : Dérivation des vecteurs unitaires
Dans le repère cartésien (Ox, Oy, Oz), un point P se déplace dans le plan Oxy. Ses coordonnées cylindriques sont (ρ, φ, 0).
1. Déterminer les dérivées dρ/dt et dφ/dt dans la base cartésienne.
2. En déduire les expressions de ces dérivées dans la base cylindrique.
3. Démontrer que, d’une façon générale, la dérivée de tout vecteur unitaire n’a pas de composante sur lui-même.
4. Montrer qu’il existe un vecteur ω appelé vecteur rotation tel que : dρ/dt = ω × ρ, dφ/dt = ω × φ et d ez/dt = ω × ez.
5. Soit le repère cylindrique (eρ, eφ, ez). Déterminer les dérivées de x et y en fonction de ρ et φ dans la base cylindrique puis dans la base cartésienne.
Exercice 4 : Opérateurs mathématiques et différentielle totale
Considérons un repère orthonormé direct (O, i, j, k). En tout point M(x, y, z) de l’espace, on définit une quantité physique f telle que f(x, y, z) = r², avec r = OM et OM = xi + yj + zk.
1. Calculer le gradient du champ scalaire ∇f et la différentielle totale df.
2. Montrer qu’en tout point M, df = ∇f · dOM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire).
3. Considérons le champ scalaire f donné en tout point de l’espace par : f(M) = sin(φ)cos(θ)r³. Exprimer ∇f dans les bases sphérique (er, eθ, eφ) et cartésienne (i, j, k).
4. Soit une fonction vectorielle f(x, y, z) définie dans la base (i, j, k) par : f(x, y, z) = (2x + y)i + (x + 2z)j + (y + z)k. Calculer div(f) et rot(f).
Exercice 5 : Éléments de surface et de volume
Un enfant achète un cornet de glace. La glace forme une demi-boule sphérique et remplit le cornet (de forme conique) de hauteur h = 11 cm et d’angle α = 30°.
1. Calculer le volume de la demi-boule Vb en fonction de h et tan(α).
2. Calculer le volume du cornet Vc en fonction de h et tan(α).
3. En déduire le volume total de la glace (en litres) que l’enfant consommera.
Devoir à la maison
Exercice 1 : Dérivation de vecteurs et perpendicularité
Dans un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère deux vecteurs u et v définis à tout instant t par : u(t) = (2sin(t))i + (2cos(t))j + t k, v(t) = (3cos(t))i + (3sin(t))j - t k.
1. Déterminer du/dt et dv/dt à l’instant t = 0.
2. Déterminer l’instant t = 1 où le vecteur w(t) = (3cos(t))i + (3sin(t))j - t k est perpendiculaire à v.
Exercice 2 : Coordonnées polaires et vecteurs
Dans un plan horizontal (xOy) d’un repère orthonormé direct (O, i, j, k), un point M est repéré à tout instant t par ses coordonnées polaires (ρ(t), φ(t)) telles que : ρ(t) = a cos(ωt) et φ(t) = ωt (a et ω étant des constantes positives, avec OM = ρ et φ = angle entre OM et Ox).
1. Dans la base polaire (eρ, eφ), calculer le vecteur dOM/dt.
2. Dans la base polaire (eρ, eφ), déterminer puis représenter les vecteurs OM et V à l’instant t = (4π)/ω.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1. Il permet de définir une direction dans l’espace sans tenir compte de la longueur.
2. Comment calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs A = (Ax, Ay, Az) et B = (Bx, By, Bz) est donné par : A × B = (AyBz - AzBy)i - (AxBz - AzBx)j + (AxBy - AyBx)k.
3. Qu’est-ce que le gradient d’un champ scalaire ?
Le gradient d’un champ scalaire f(x, y, z) est un vecteur défini par ∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k, représentant la direction et le taux de variation maximal de f.