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Mécanique du point : Travaux diriges mecanique du point 2ap s1 2020 2021 mécaniq

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Prof . ACHEGAF Zineb Page 1 Série N° 1 Rappels et Compléments Mathématiques

Exercice 1

Opérations sur les vecteurs Soit les trois vecteurs

(3, 2, 3), (2, 3, 2 ), (1, 2, 2)ABC

. 1. CalculerA ,B etC . En déduire les expressions des vecteurs unitairesA u, Bu et C

u portés respectivement par les directions A, Bet C

. 2. On considère les anglesA , B etC  compris entre 0 et π. Calculer : coscos( ,

), coscos( ,

), coscos( ,) AB CB CA CA B

u u

u u

u u  

3. Calculer les composantes des vecteurs1 23 , et BC CA AB eu u eu ue uu  

 

 

. 4. En déduiresin A ,sin B etsin C . Vérifier ces résultats à l’aide de la question 2). 5. Montrer que1 e, 2e et 3

e peuvent constituer une base. Cette base est-elle normée ?

Exercice 2

Système de coordonnées et vecteur déplacement élémentaire O étant l’origine d’un repère cartésien

( , ,

, )x yz O e e e . La position d’un point M de l’espace est définie par le vecteur positionr OM . La position de ce point M peut être caractérisée par différents triplets de nombre :

- Le triplet cartésien : x, y et z. - Le triplet cylindrique : , etz . 1. Positionner sur une figure semblable à la figure 1 les vecteurs ,

, ,

et xy z

e e e ee . 2. Rajouter sur la Figure 1 les grandeurs

, , ,

et x y z . Préciser la dimension physique de chacune d’elle ainsi que leur domaine de variation. 3. Donner les composantes du vecteur position

OM dans la base cartésienne ( ,

, )x yz e e e puis dans la base cylindrique(, ,) z

e e e . 4. Exprimer 

, cos etr en fonction de x, y et z. 5. On considère le vecteur déplacement élémentaire d

. Déterminer les composantes de ce vecteur base cartésienne

( ,, )xyz e e e

puis dans la base cylindrique( ,,) z

e e e .

Exercice 3

Dérivation des vecteurs unitaires Dans le repère cartésien

( ,, ,) xy z

O e e e , un point P se déplace dans le plan() Oxy

. Ses coordonnées cylindriques sont ,

 et 0. 1. Déterminer les dérivées dedt  etde dt 

dans la base cartésienne. 2. En déduire les expressions de ces dérivées dans la base cylindrique. 3. Démontrer que, d’une façon générale, la dérivée de tout vecteur unitaire n’a pas de composante sur lui-même. 4. Montrer qu’il existe un vecteur  appelé vecteur rotation tel que : ,, zz dedede eeedtdtdt      5. Soit le repère cylindrique ( ,, ,) cylz P e e e 

. Déterminer les dérivées cylx dedt et cyly dedt dans la base cylindrique puis dans la base cartésienne. Figure 1 Travaux dirigés : Mécanique du point Filière : 2 AP1 Module : Mécanique 1 Année universitaire : 2020 - 2021 Prof . ACHEGAF Zineb Page 2

Exercice 4

Opérateurs mathématiques et différentielle totale Considérons un repère orthonormé direct 

, , ,

O i j k . En tout point  ,,

M x y z

de l’espace, on définit une quantité physique f

telle que :  2,, f x y zr 

avec rOM et OMxi yjzk   

. 1. Calculer le gradient du champ scalaire, f grad f

, et la différentielle totale de, f df

. 2. Montrer qu’en tout point ,.

M df

grad f d OM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire) 3. Considérons le champ scalairef , donné en tout point de l’espace par :     323 sincos sin 2

f Mr   Exprimer grad f

dans les bases sphérique  ,,r e e e et cartésienne ,, i j k

. 4. Soit une fonction vectorielle ,,f x y z

définie dans la base ,, i j k

par : 22

,,f x y zx yzixy zjzk Calculer divf

et rot f

Exercice 5

Eléments de surface et de volume Un enfant achète un cornet de glace. La glace fait une demi-boule (sphérique) et remplit le cornet (de forme conique) de hauteur 11h cm et d’angle 230  (figure ci-contre). 1. Calculer le volume bV de la demi boule en fonction deh et tan 

. 2. Calculer le volumec V du cornet en fonction deh et tan 

. 3. En déduire le volume total de la glace (exprimé en litre) que mangera l’enfant.

Devoir à la maison

Exercice 1

Dans un repère orthonormé direct , , ,O i j k

, on considère deux vecteursu etv définis à tout instant t par : 2

sincos 2ut it j t k, 

2 cos 3sin 3t v

e it jt k  1. Déterminer dudt etdv dt

à l’instant0t . 2. Déterminer l’instant 1t où le vecteur 3 cos 32 sin 3t w e it jt k est perpendiculaire àv .

Exercice 2

Dans un plan horizontal (xoy) d’un repère orthonormé direct , , ,O i j k

, un point M est repéré à tout instant t par ces coordonnées polaires ,

telles que : 

costatet tt (a et étant des constantes positives,OMe  et 

,ox OM

) 1. Dans la base polaire ,ee , calculer le vecteur

d OMdt . 2. Dans la base polaire ,ee , déterminer puis représenter les vecteursOM etV à l’instant 

4ts