Mécanique du point : Mecanique du point td n1 2020 2021 mécanique de point
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2020/2021 Mécanique du point TD N°1 Vecteur - produit scalaire - produit vectoriel Dérivée - dérivée partielle - différentielle Produit scalaire On utilise un repère orthonormé cartésien R muni d’une origine et d’une base R ( , , , )O i j k
. I. Soient les vecteurs :23aij k ,
359bijk
et c qui joint le point P1 (3,4,5) au point P2 (1,-2,3). a) Trouver la longueur de chacun de ces vecteurs b) Montrer que a
et b
sont perpendiculaires c) Trouver l’angle minimum entre a
et c
puis entre b
et c II. Trouver la distance du point P(1,2,3) à : a) L’origine b) L’axe des x c) L’axe des z d) Le plan xOy e) M(3,-1,5) III. Ecrire un vecteur unitaire ayant la direction de a
et un vecteur unitaire ayant la direction de b
avec : 23aij
k , 359bijk
. IV. Soit le repère R ( , , , )O i j k . Quatre points définis par les coordonnées : A(2,2,0), B(1,-4,0) , C(0,-3,2),
D(-1,0,-2). Chaque point est affecté d’une masse, les valeurs des masses sont : mA = m
B =2, m
C =1, mD =3. a) Déterminer le vecteurOS
, somme des vecteurs ,,OA OB OC et OD
. b) Déterminer le vecteur OG défini par l’égalité vectorielle suivante : ABCDABCD m OA m OB
m OC
m ODOG mmmm
c) Calculer les coordonnées xG , y
G et z
G du point G. G est appelé barycentre des masses ou centre de gravité. d) Déterminer le vecteurAG
e) On effectue un changement d’origine défini par le vecteur '
22OOij
Déterminer les vecteurs
''OS et ''OG définis de la même façon que les vecteurs OS et OG dans a) et b). Comparer les vecteurs ''OS et ''OG aux vecteurs OS
et OG , donner une conclusion concernant le barycentre. V. Soient deux vecteurs 푈 et 푉 de l'espace, montrer que le produit scalaire de 푈 et 푉 est le nombre défini par :푈 .푉 =1 2 푈2 + 푉2 − 푈−푉 2
VI. Déterminer les composantes de la force 퐹 dans les deux directions données par 푂퐴 et 푂퐵
. VII. Soit un plan P passant par A (xA , yA , z
A ) et de vecteur normal 푛푎 푏푐 , donner l’équation du plan P. Produit vectoriel I.
Déterminer le produit vectoriel de
6 푖
−4 푗 +2 푘 et 푖 +4 푗 −2 푘
, Déterminer le produit vectoriel de (2, 1, 2) et (4,0,-3) II.
Trouvez un vecteur 퐶 perpendiculaire au vecteur 퐴 = 3푖
+6 푗 et au vecteur 퐵 =− 푖
+5 푘 simultanément. III.
À partir du vecteur 퐴 = 5 푖
+3 푗 – 2푘 et du vecteur 퐵 = −2 푖
+4 푗 −푘 , trouvez un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par 퐴 et 퐵
. Trouver l’angle θ entre le vecteur 퐴 et 퐵
. IV.
Une charge positive q > 0 en mouvement dans un champ magnétique 퐵 est soumise à une force 퐹 dont l’expression est donnée par la formule : 퐹 = 푞 ( 푉 ∧ 퐵 ) ( 푉
, 퐵 étant respectivement le vecteur vitesse, et le champ magnétique)
Dans les situations suivantes, compléter chaque schéma par le vecteur qui manque. V.
Donner la définition du double produit vectoriel Donner la définition du produit mixte VI.
Soient les vecteurs 퐴
= 5 푖 + 3 푗 et 퐵 = 4 푗 − 푘 et 퐶 = − 푖
+ 5 푘
a) Calculer 퐴 퐵
,퐵 퐴 ,퐴 퐶 ,퐶 퐴 ,퐵 퐶 ,퐶 퐵 , conclusion. b) Calculer 퐶 ( 퐴 퐵
) ,( 퐶.퐵 ) 퐴 – ( 퐶.퐴 ) 퐵 , conclusion. c) Calculer 퐶 ( 퐴 퐵
),퐵 ( 퐶 퐴
),퐴 ( 퐵 퐶
) , conclusion. d) Calculer ( 퐴 퐵
).퐶 , conclusion. VII.
Soit 푎 et 푏 deux vecteurs. a) Montrer que
푎 . 푎
푏 = 0 b) Comment arriver à ce résultat sans faire de calculs ? VIII.
Trouver une équation cartésienne du plan P passant par le point A(2 , 1,−3) dont un vecteur normal est푛 11 2 . IX.
Montrer que : a) ( 퐴 ∧ 퐵
) .( 퐶 ∧ 퐷
) = ( 퐴 .퐶 )( 퐵.퐷 )−( 퐴 .퐷
)( 퐵
.퐶 ) b) 퐴 ∧ ( 퐵 ∧ 퐶 ) + 퐵
∧ ( 퐶 ∧ 퐴 ) + 퐶 ∧ ( 퐴 ∧ 퐵
) = 0 X.
A l'aide de la formule du double produit vectoriel, déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que :
푢 ∧ ( 푣 ∧ 푤 ) = ( 푢 ∧ 푣 )∧ 푤XI. a) Montrer l’égalité de Lagrange :
( 푢 . 푣 )² + | 푢 ∧ 푣 |
² = | 푢 |
² × | 푣 |
² b) Si est l’angle entre 푢
et 푣 montrer que :
| 푢
∧푣 | = | 푢 | × | 푣
| 푠푖푛 , avec [0,]
dérivée - dérivée partielle - différentielle. I. Déterminer les dérivée des fonctions suivantes: 푓1 푥=푦 1
(푥)= 1+ln(푥)푥 푓2 푥=푦 2
(푥)= 푥푒− 푥²2 푓3 푥
= 푦3 푥= 1+푥2 ln(1+푥) II. Donner les dérivées et les différentielles des fonctions suivantes en utilisant la dérivée logarithmique :푓 1푥 =푥
푠푖푛푥 , 푓2 푥=푒 2푥
푐표푠푥 III. Soit la fonction 푓
푥,푦 définie par 푓푥,푦 =3푥3 +4푥푦3 −6푦푒푥 , déterminer: a) 휕푓(푥,푦)휕푥 , 휕푓(푥,푦)휕푥 b) 휕2 푓(푥,푦)휕푥 2
, 휕2 푓(푥,푦)휕푦 2
, 휕2 푓(푥,푦)휕푦휕푥 , 휕2 푓(푥,푦)휕푥휕푦 IV. Soit la fonction 푓
푥,푦 définie par 푓푥,푦,푧 =(1+푥2 +푦2 )푒푥푧 , déterminer : 휕푓(푥,푦,푧)휕푥 , 휕푓(푥,푦,푧)휕푦 , 휕푓(푥,푦,푧)
휕푧 ainsi que la différentielle 푑푓푥,푦,푧 . V. Donner la variation de volume ∆V d’un cylindre droit de rayon r = 10 cm et de hauteur h = 50 cm quand r augmente de 1 cm et h diminue de 2 cm. (Donner la variation exacte et la variation approchée en utilisant la différentielle).