Mecanique du point td n1 2020 2021 mécanique de point

Mécanique du point : Mecanique du point td n1 2020 2021 mécanique de point

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Mécanique du point : TD N°1

Produit scalaire

On utilise un repère orthonormé cartésien R muni d’une origine O et d’une base (𝐢, 𝐣, 𝐤).

I. Soient les vecteurs :

𝐚 = 2𝐢 + 3𝐣 + 𝐤, 𝐛 = 3𝐢 − 5𝐣 + 9𝐤, et 𝐜 le vecteur qui joint le point P₁(3, 4, 5) au point P₂(1, −2, 3).

a) Trouver la longueur de chacun de ces vecteurs.

b) Montrer que 𝐚 et 𝐛 sont perpendiculaires.

c) Trouver l’angle minimum entre 𝐚 et 𝐜, puis entre 𝐛 et 𝐜.

II. Trouver la distance du point P(1, 2, 3) à :

a) L’origine.

b) L’axe des x.

c) L’axe des z.

d) Le plan xOy.

e) Le point M(3, −1, 5).

III. Écrire un vecteur unitaire ayant la direction de 𝐚 et un vecteur unitaire ayant la direction de 𝐛.

IV. Soit le repère R (O, 𝐢, 𝐣, 𝐤). Quatre points définis par les coordonnées : A(2, 2, 0), B(1, −4, 0), C(0, −3, 2), D(−1, 0, −2). Chaque point est affecté d’une masse : m_A = m_B = 2, m_C = 1, m_D = 3.

a) Déterminer le vecteur 𝐎𝐒, somme des vecteurs 𝐎𝐀, 𝐎𝐁, 𝐎𝐂 et 𝐎𝐃.

b) Déterminer le vecteur 𝐎𝐆 défini par l’égalité vectorielle suivante :

m_A𝐎𝐀 + m_B𝐎𝐁 + m_C𝐎𝐂 + m_D𝐎𝐃 = m_G𝐎𝐆.

c) Calculer les coordonnées x_G, y_G et z_G du point G.

G est appelé barycentre des masses ou centre de gravité.

d) Déterminer le vecteur 𝐀𝐆.

e) On effectue un changement d’origine défini par le vecteur 2𝐎𝐎' = 𝐢 + 𝐣.

Déterminer les vecteurs 𝐎'𝐒 et 𝐎'𝐆 définis de la même façon que les vecteurs 𝐎𝐒 et 𝐎𝐆 dans a) et b). Comparer les vecteurs 𝐎'𝐒 et 𝐎'𝐆 aux vecteurs 𝐎𝐒 et 𝐎𝐆 et donner une conclusion concernant le barycentre.

Produit vectoriel

I. Déterminer le produit vectoriel de :

6𝐢 − 4𝐣 + 2𝐤 et 𝐢 + 4𝐣 − 2𝐤.

II. Trouver un vecteur 𝐶 perpendiculaire simultanément aux vecteurs 𝐴 = 3𝐢 + 6𝐣 et 𝐵 = −𝐢 + 5𝐤.

III. À partir des vecteurs 𝐴 = 5𝐢 + 3𝐣 − 2𝐤 et 𝐵 = −2𝐢 + 4𝐣 − 𝐤, trouver :

a) Un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par 𝐴 et 𝐵.

b) L’angle θ entre les vecteurs 𝐴 et 𝐵.

IV. Une charge positive q > 0 en mouvement dans un champ magnétique 𝐁 est soumise à une force 𝐅 dont l’expression est donnée par :

𝐅 = q(𝐕 ∧ 𝐁), où 𝐕 et 𝐁 sont respectivement le vecteur vitesse et le champ magnétique.

Dans les situations suivantes, compléter chaque schéma par le vecteur qui manque.

V. Définitions :

a) Donner la définition du double produit vectoriel.

b) Donner la définition du produit mixte.

VI. Soient les vecteurs 𝐴 = 5𝐢 + 3𝐣, 𝐵 = 4𝐣 − 𝐤 et 𝐶 = −𝐢 + 5𝐤.

a) Calculer 𝐴 ∧ 𝐵, 𝐵 ∧ 𝐴, 𝐴 ∧ 𝐶, 𝐶 ∧ 𝐴, 𝐵 ∧ 𝐶, 𝐶 ∧ 𝐵 et donner une conclusion.

b) Calculer 𝐶 ∧ (𝐴 ∧ 𝐵), (𝐶 · 𝐵)𝐴 − (𝐶 · 𝐴)𝐵 et donner une conclusion.

c) Calculer 𝐶 ∧ (𝐴 ∧ 𝐵), 𝐵 ∧ (𝐶 ∧ 𝐴), 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) et donner une conclusion.

d) Calculer (𝐴 ∧ 𝐵) · 𝐶 et donner une conclusion.

VII. Soit 𝐚 et 𝐛 deux vecteurs.

a) Montrer que 𝐚 · (𝐚 ∧ 𝐛) = 0.

b) Comment arriver à ce résultat sans faire de calculs ?

VIII. Trouver une équation cartésienne du plan P passant par le point A(2, 1, −3) dont un vecteur normal est 𝐧 = 𝐢 + 𝐣 + 2𝐤.

IX. Montrer que :

a) (𝐴 ∧ 𝐵) · (𝐶 ∧ 𝐷) = (𝐴 · 𝐶)(𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)(𝐵 · 𝐶).

b) 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) + 𝐵 ∧ (𝐶 ∧ 𝐴) + 𝐶 ∧ (𝐴 ∧ 𝐵) = 0.

X. À l’aide de la formule du double produit vectoriel, déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que :

𝐮 ∧ (𝐯 ∧ 𝐰) = (𝐮 ∧ 𝐯) ∧ 𝐰.

XI. a) Montrer l’égalité de Lagrange :

(𝐮 · 𝐯)² + |𝐮 ∧ 𝐯|² = |𝐮|² × |𝐯|².

b) Si θ est l’angle entre 𝐮 et 𝐯, montrer que :

|𝐮 ∧ 𝐯| = |𝐮| × |𝐯| × sinθ, avec θ ∈ [0, π].

Dérivée, dérivée partielle et différentielle

I. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

f₁(x) = y₁(x) = 1 + ln(x)/x, f₂(x) = y₂(x) = x e^−x/2, f₃(x) = y₃(x) = 1 + x² ln(1 + x).

II. Donner les dérivées et les différentielles des fonctions suivantes en utilisant la dérivée logarithmique :

f₁(x) = x sin(x), f₂(x) = e^2x cos(x).

III. Soit la fonction f(x, y) définie par f(x, y) = 3x³ + 4xy³ − 6y e^x.

a) Déterminer ∂f/∂x et ∂f/∂y.

b) Déterminer ∂²f/∂x², ∂²f/∂y², ∂²f/∂y∂x et ∂²f/∂x∂y.

IV. Soit la fonction f(x, y, z) définie par f(x, y, z) = (1 + x² + y²) e^xz.

Déterminer ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z ainsi que la différentielle d f(x, y, z).

V. Donner la variation de volume ∆V d’un cylindre droit de rayon r = 10 cm et de hauteur h = 50 cm quand r augmente de 1 cm et h diminue de 2 cm.

Donner la variation exacte et la variation approchée en utilisant la différentielle.

FAQ

1. Comment calculer la longueur d’un vecteur en coordonnées cartésiennes ?

Pour un vecteur 𝐯 = x𝐢 + y𝐣 + z𝐤, la longueur est donnée par |𝐯| = √(x² + y² + z²).

2. Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1, ayant la même direction qu’un vecteur donné. Il s’obtient en divisant le vecteur par sa norme.

3. Comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires ?

Deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire 𝐮 · 𝐯 = 0.