Mécanique du point : Mecanique du point materiel corriges exercices mécanique de
Télécharger PDFExercice 4 : Orbite hyperbolique
Corriger sur la figure les vecteurs de la base polaire à l’état initial \( \vec{u}_\theta,0 \) et \( \vec{u}_r,0 \). En effet, \( \vec{u}_\theta,0 \) est perpendiculaire à \( \vec{u}_\Delta \). Noter bien aussi que les états initial et final sont très loin de \( O \), ce qui permet de considérer dans ces cas que \( r \to \infty \) et donc l’énergie potentielle négligeable.
1. Moment cinétique et énergie mécanique
Étant donnée que la seule force à laquelle est soumise la météorite est l’attraction gravitationnelle, centrale et dont le support passe par \( O \), son moment cinétique \( \vec{\sigma}_0 \left(\frac{M}{R}\right) \) est constant tout au long du mouvement. Nous avons ainsi \( \vec{\sigma}_0 \left(\frac{M}{R}\right) = m r^2 \dot{\theta} \vec{k} = \text{Cst} \).
Le moment cinétique initial est défini par \( \vec{\sigma}_0 = \vec{OM}_0 \wedge \vec{v}_0 \). Sachant que \( \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_\Delta \) et que \( \vec{OM}_0 = b \vec{k} \), nous obtenons \( \vec{\sigma}_0 = m v_0 b \vec{k} \), où \( \vec{k} = \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \).
L’énergie potentielle gravitationnelle est donnée par \( U(r) = -\frac{GM_T m}{r} \). Très loin de la Terre, l’énergie potentielle est négligeable (\( U(r) \to 0 \)), et l’énergie mécanique est égale à l’énergie cinétique : \( E_m = \frac{1}{2} m v_0^2 \).
2. Vitesse au sommet de l’orbite
Lorsque la météorite se trouve au sommet \( S \), la vitesse \( \vec{V}\left(\frac{M}{R}\right) = \vec{v} \) est perpendiculaire à \( \vec{OS} \).
Sachant que \( r_{\text{min}} = \frac{k}{|\vec{OS}|} \) et que le moment cinétique est constant (\( \sigma_0 = m r_{\text{min}} v \)), nous avons \( v = \frac{v_0 b}{r_{\text{min}}} \). En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, nous obtenons l’équation :
\( \frac{v_0^2 b^2}{r_{\text{min}}^2} - \frac{2 GM_T}{r_{\text{min}}} = v_0^2 \).
La solution acceptable pour \( r_{\text{min}} \), étant donné que \( r_{\text{min}} > 0 \), est :
\( r_{\text{min}} = -\frac{GM_T}{v_0^2} + \sqrt{\left(\frac{GM_T}{v_0^2}\right)^2 + b^2} \).
3. Condition pour éviter la collision avec la Terre
La météorite ne rencontre pas la Terre si \( r_{\text{min}} > R_T \), ce qui implique que \( b > \sqrt{R_T^2 + \frac{2 GM_T}{v_0^2}} \). La valeur minimale de \( b \) est donc :
\( b_{\text{min}} = R_T \sqrt{1 + \frac{2 GM_T}{R_T v_0^2}} \).
4. Calcul de l’angle \( \varphi \)
Pour calculer l’angle \( \varphi \), on utilise le principe fondamental de la dynamique (PFD) en coordonnées polaires :
\( m \frac{d\vec{v}}{dt} = -\frac{GM_T m}{r^2} \vec{u}_r \).
En intégrant l’équation entre l’état initial et l’état final, nous obtenons :
\( \vec{v}_f - \vec{v}_0 = \frac{GM_T}{b v_0} (\vec{u}_{\theta,f} - \vec{u}_{\theta,0}) \).
En projetant cette équation sur \( \vec{u}_\Delta \), et en utilisant \( \vec{v}_0 \cdot \vec{u}_\Delta = v_0 \), \( \vec{u}_{\theta,0} \cdot \vec{u}_\Delta = 0 \), \( \vec{u}_{r,f} \cdot \vec{u}_\Delta = \cos \varphi \) et \( \vec{u}_{\theta,f} \cdot \vec{u}_\Delta = -\sin \varphi \), nous avons :
\( v_f \cos \varphi - v_0 = -\frac{GM_T}{b v_0} \sin \varphi \).
En utilisant la conservation de l’énergie mécanique (\( E_{m,0} = E_{m,f} \)), nous obtenons \( v_0 = v_f \), ce qui donne finalement :
\( \tan \left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{GM_T}{b v_0^2} \).
FAQ
Qu’est-ce qu’une orbite hyperbolique ? Une orbite hyperbolique est une trajectoire ouverte suivie par un objet céleste sous l’effet d’une force gravitationnelle centrale, comme celle d’une météorite passant près de la Terre.
Pourquoi le moment cinétique est-il constant dans ce cas ? Le moment cinétique est constant car la seule force agissant sur la météorite (l’attraction gravitationnelle) est centrale, ce qui signifie qu’elle passe par le centre de la Terre.
Comment éviter une collision entre la météorite et la Terre ? Pour éviter une collision, il faut que la distance minimale de la météorite par rapport au centre de la Terre soit supérieure au rayon de la Terre (\( r_{\text{min}} > R_T \)).