Mécanique du point : Td 7 mouvement d'un point matériel dans un champ de force c
Télécharger PDFMouvement d’un point matériel dans un champ de force centrale
Exercice 1
Une particule de masse m est soumise de la part du point O à une force d’attraction newtonienne 𝐟⃗ = −𝑘 𝑟² 𝑢⃗⃗. Sa position initiale est un point M₀, à la distance r₀ de O. Le vecteur vitesse initiale 𝑣₀⃗ est perpendiculaire à 𝑂𝑀₀⃗ et de module v₀. Discuter la nature de la trajectoire selon les valeurs du paramètre v₀.
Exercice 2
Une particule de masse m est soumise à une interaction newtonienne de force 𝐟⃗ = −𝑘 𝑟² 𝑢⃗⃗ de la part d’un point O. Trouver la relation qui lie son énergie E, la constante K, le paramètre p et l’excentricité e de sa trajectoire.
Exercice 3 : Mouvement d’un satellite artificiel autour de la Terre
Données numériques :
- Masse de la Terre : M_T = 6 × 10²⁴ kg
- Rayon de la Terre : R_T = 6 400 km
- Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²
- Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique) : T₀ = 86 164 s
Correction I : Force de gravitation et moment cinétique
1- La force de gravitation est donnée par : 𝐅⃗(𝑟) = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟² 𝑢⃗⃗.
2- Moment cinétique :
- 𝐿⃗₀ = 𝑂𝑆⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗.
- En appliquant le théorème du moment cinétique, on obtient : 𝑑𝐿₀⃗/𝑑𝑡 = 𝑂𝑆⃗ ∧ 𝑚𝑎⃗.
- Le moment de 𝐅⃗(𝑟) par rapport au point O est nul, car la force a la même direction que le vecteur 𝑂𝑆⃗.
- La dérivée 𝑑𝐿₀⃗/𝑑𝑡 = 0 implique que 𝐿₀⃗ est constant. Les vecteurs 𝑂𝑆⃗, 𝑣⃗ et 𝐿₀⃗ restent dans un même plan, perpendiculaire au moment cinétique.
II : Étude du mouvement du satellite
Le satellite évolue sur une orbite circulaire à l’altitude h.
1- Le référentiel géocentrique est en translation circulaire uniforme par rapport au référentiel galiléen de Copernic. Pour l’étude du mouvement du satellite, il peut être considéré comme galiléen.
2- Montrer que le mouvement est uniforme par trois méthodes :
- 𝑚𝑣⃗ = 𝐅⃗(𝑟) ∧ 𝑑𝑙⃗ : La force 𝐅⃗(𝑟) = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟² 𝑢⃗⃗ est normale à la trajectoire, tandis que le déplacement élémentaire 𝑑𝑙⃗ = 𝑑𝑙 𝑢⃗⃗ est tangent. Ainsi, 𝑚𝑣⃗ = 0, ce qui implique que la vitesse est constante.
- Le moment cinétique 𝐿₀⃗ = 𝑂𝑆⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗ est constant, donc 𝑚𝑟𝑣 = constante. Sur une orbite circulaire, r est constant, ce qui implique v constant.
- L’accélération 𝑎⃗ = −𝑟𝜔̇² 𝑢⃗⃗ + 𝑟𝜔̈ 𝑢⃗⃗ a une composante tangentielle nulle, donc 𝜔̈ = 0. La vitesse angulaire 𝜔̇ est constante, ce qui implique v constant.
3- La vitesse du satellite est donnée par : 𝑣 = √(𝐺 𝑀_T 𝑟), où r = R_T + h.
4- Pour le satellite SPOT à h = 832 km, la période de révolution est : 𝑇 = 2π √(𝑟³/𝐺 𝑀_T).
En calculant : 𝑇 = 6 108,42 s. Le satellite n’est pas géostationnaire, car sa période diffère de celle de la Terre (T₀ = 86 164 s).
III : Vitesse d’évasion d’un satellite
1- L’énergie potentielle est donnée par : 𝐸ₚ = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟.
2- L’énergie mécanique totale est : 𝐸 = ½𝑚𝑣² − 𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟.
3- Pour une vitesse d’évasion (E = 0), on obtient : 𝑣 = √(2𝐺 𝑀_T 𝑟). À la surface de la Terre (h = 0), la vitesse d’évasion est : 𝑣ₑ = 11,18 km·s⁻¹.
Exercice 4 : Mouvement d’un point matériel dans un champ de gravitation
1- La force de gravitation est : 𝐅⃗(𝑟) = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟² 𝑢⃗⃗.
2- Moment cinétique : 𝐿⃗₀ = 𝑂𝑀⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗.
3- Moment cinétique et constant des aires :
- 𝐿⃗₀ = 𝑚𝑟² 𝜔̇ 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗.
- La constante des aires 𝐶 = 𝑟² 𝜔̇ = 𝐿₀/𝑚 est homogène à une surface par unité de temps.
- 𝐿⃗₀ = 𝑟₀ 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑚𝑣₀⃗ = 𝑚𝑟₀ 𝑣₀ sin(𝜃₀).
II : Étude énergétique
1- Le travail de la force est : 𝑑𝑊 = 𝐅⃗(𝑟) · 𝑑𝑟 𝑢⃗⃗ = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟² 𝑑𝑟.
2- L’énergie potentielle est : 𝐸ₚ = −𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟.
3- L’énergie mécanique totale est : 𝐸 = ½𝑚(𝑟̇² + 𝐶² 𝑟²) − 𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟.
4- L’énergie mécanique initiale est : 𝐸₀ = ½𝑚𝑣₀² − 𝐺 𝑀_T 𝑚 𝑟₀.
III : Étude de l’énergie potentielle effective 𝐸'(𝑟)
1- La dérivée de l’énergie potentielle effective est : 𝑑𝐸'/𝑑𝑟 = 𝐾 𝑟² − 2𝐿₀²/(𝑚² 𝑟³).
2- Pour r → 0, 𝐸 → ∞ et pour r → ∞, 𝐸 → 0.
3- Si E > 0, r peut varier de 0 à l’infini. Si E < 0, r varie entre r_min et r_max (trajectoire elliptique). Pour E = 0, c’est la vitesse limite pour échapper à l’attraction.
4- Lorsque E = E'_m, r = r_m et la trajectoire est circulaire.
5- Applications :
- Pour une vitesse initiale minimale (E₀ ≥ 0), la vitesse minimale est : 𝑣_min = (2𝐾 𝑚 𝑟₀)¹ᐟ².
- Vitesse de libération à la surface de la Terre : 𝑉_LT = √(2𝐺 𝑀_T 𝑅_T) = 11,2 km·s⁻¹.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’une force centrale ? Une force centrale est une force dirigée vers un point fixe O et dont l’intensité dépend uniquement de la distance entre le point d’application et O.
2. Pourquoi le moment cinétique est-il constant dans un champ de force centrale ? Le moment cinétique est constant car la force centrale ne produit aucun moment par rapport au centre O, ce qui implique 𝑑𝐿₀⃗/𝑑𝑡 = 0.
3. Comment déterminer si une trajectoire est circulaire ou elliptique ? Une trajectoire est circulaire si l’énergie mécanique est égale à l’énergie potentielle effective minimale. Elle est elliptique si l’énergie mécanique est négative et inférieure à cette valeur.