Mécanique du point : Td 7 mouvement d'un point matériel dans un champ de force c
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Télécharger pack1 +0Année universitaire 2013-2014 TD N°7 : Mouvement d’un point matériel dans un champ de force centrale
Exercice 1
Une particule de masse m est soumise de la part du point O à une force d’attraction newotonienne 푓⃗ =−푘 푟2 푢⃗⃗. Sa position initiale est un point M0 , à la distance r
0 de O. Le vecteur vitesse initiale 푣0 ⃗⃗⃗⃗⃗ est perpenduculaire à 푂푀0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et de module 푣0 . Discuter la nature de la trajectoire selon les valeurs du paramètre 푣
0 .
Exercice 2
Une particule de masse m est soumise à une interaction newtonienne de force f⃗ =−k r2 u⃗⃗ de la part d’un point O. Trouver la relation qui lie son énergie E, la constante K, le paramètre p et l’excentricité e de sa trajectoire.
Exercice 3
Mouvement d’un satellite artificiel autour de la terre Données numériques : • Masse de la Terre M
T = 6.10
24 kg • Rayon de la Terre R
T = 6 400 km • Constante de gravitation universelle G = 6, 67.10
−11 N.m2 .kg−2 • Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique) T
o = 86 164 s Correction I. Force de gravitation et moment cinétique 1- 퐹(푟)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−퐺 푀푇 푚푟 2
푢⃗⃗ 2- Moment cinétique : a- 퐿⃗⃗ 0=푂푆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Λ푚푣⃗ b- 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =푑푂푆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 ∧푚푣⃗+푂푆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푑 (푚푣⃗ )푑푡 =푣⃗∧푚푣⃗+푂푆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푚푎⃗=푂푆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푚푎⃗ ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Ecole Nationale des Sciences Appliquées Tanger 2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse m étudiée dans le référentiel géocentrique galiléen et sachant que l’unique force est 퐹(푟)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient : 푚푎⃗=퐹(푟)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est donc : 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =푂푆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧퐹(푟)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=푀 ⃗⃗⃗푂 (퐹⃗ ) Théorème du moment cinétique c- 푀⃗⃗⃗ 푂(퐹 ⃗
) est le moment de 퐹⃗ (푟) par rapport au point O. Dans le cas présent, la force a la même direction que le vecteur 푂푆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est donc le moment est nul 푀⃗⃗⃗ 푂(퐹 ⃗)=0 ⃗⃗
d- 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =0⃗⃗ ⟹퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗=푂푆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∧푚푣⃗=푣푒푐푡푒푢푟 푐표푛푠푡푎푛푡.퐴 푡표푢푡 푖푛푠푡푎푛푡,푂푆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푒푡 푣⃗ sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur constant 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Donc O, S et 푣⃗ reste dans un même plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaire au moment cinétique퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗
). 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗ est constant au cours du temps et le mouvement du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des forces O et perpendiculaire au moment cinétique 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗
II. Étude du mouvement du satellite Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h. 1) Référentiel géocentrique : origine le centre de la Terre et trois directions restant fixes par rapport au référentiel de Copernic. Le référentiel géocentrique (R) est donc en translation circulaire uniforme par rapport au référentiel galiléen de Copernic et n’est donc pas rigoureusement galiléen. Cependant, pour l’étude du mouvement du satellite il peut être considéré comme galiléen. 2) Montrer par les 3 différentes méthodes suivantes que le mouvement est uniforme : a- 휹푾=퐹⃗ (푟 ).푑푙. ⃗⃗⃗⃗⃗ 푠푢푟 푙′ 표푟푏푖푡푒 푐푖푟푐푢푙푎푖푟푒,푙푎 푓표푟푐푒 푑푒 푔푟푎푣푖푡푎푡푖표푛 퐹⃗ (푟)=−퐺푀 푇푚 푟2 푢⃗⃗ est normale à la trajectoire alors que le déplacement élémentaire 푑푙.⃗⃗⃗⃗⃗ =푑푙.푢휃 ⃗⃗⃗⃗⃗ est tangent à la trajectoire. On a donc : 휹푾=퐹⃗ (푟 ).푑푙. ⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⃗⃗
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les instant t et t + dt on a : On a : 훿푊=푑퐸푐 =0, L’énergie cinétique ne varie pas donc la valeur de la vitesse est constante et le mouvement est uniforme. b- 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗=푂푆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∧푚푣⃗. Sur une orbite circulaire de rayon r = OS = constante, (Normale à la trajectoire) et (tangent à la trajectoire) sont 2 vecteurs orthogonaux. On obtient donc : ‖퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗
‖=푂푆.푚푣=푚푟푣. Le moment cinétique 퐿
0 est une grandeur constante au cours du mouvement donc mrv = constante soit v = constante et le mouvement est uniforme. c) Le vecteur accélération, dans le cas d’un mouvement circulaire, a pour expression 푎⃗=−푟휃̇ 2푢⃗⃗+푟휃 ̈푢 휃
⃗⃗⃗⃗⃗ En appliquant le principe fondamental de la dynamique on obtient : 3 퐹⃗ (푟 )=−퐺 푀푇 푚푟 2
푢⃗⃗=푚푎⃗=−푚푟휃̇ 2푢⃗⃗+푚푟휃 ̈푢 휃
⃗⃗⃗⃗⃗ La composante tangentielle de l’accélération (suivant est donc nulle. Cela implique que l’accélération angulaire 휃
̈ est nulle et que la vitesse angulaire 휃
̇ = est constante. Le mouvement est uniforme. On a : 푣⃗=푟휃푢휃 ⃗⃗⃗⃗⃗
̇ c'est-à-dire v = r 휃
̇ = r. Le rayon r et la vitesse angulaire 휃̇ =푤 étant constant, v est constant. 1) d’après la réponse précédente, on a : 퐹⃗ (푟 )=−퐺 푀푇 푚푟 2
푢⃗⃗=푚푎⃗=−푚푟휃̇ 2푢⃗⃗=− 푚푣2 푟
푢⃗⃗ On en tire la relation : 퐺푀 푇푚 푟2 =푚푣 2푟 ⇒푣=√ 푔푀 푇푟 =√ 푔푀 푇푅 푇+ℎ 2) Le satellite S.P.O.T. évolue à l’altitude h = 832 km. Sa période de révolution T est donnée par le temps mis pour faire un tour c’est-à-dire : T = 2r/v. En élevant au carré on obtient 푇2 =4휋2 푟2 푣2 =4휋2 푟3 퐺푀푇 ⟹푇=2휋√ (푅 푇+ℎ )3 퐺푀푇 푇=2휋√ (
6400+832) 36,67∗6 10−2 =6108,42푠 Le satellite n’est pas géostationnaire. En effet, un satellite géostationnaire reste fixe par rapport à la Terre. Il tourne donc avec la même vitesse angulaire que la Terre dans le référentiel géocentrique et à la même période To. = 86164 s. 5- 푇2 =4휋2 푟2 푣2 =4휋2 푟3 퐺푀
푇 L’expression littérale de la constante de proportionnalité est donc : 푇2 푟3 =4휋 2퐺푀 푇
6) Pour le satellite géostationnaire la valeur de l’altitude sera : 푟3 =( 푅푇 +ℎ) 3= 퐺푀푇 푇2 4휋2 ⟹푅푇 +ℎ=(퐺푀 푇푇 24휋 2) 1/3
=4,222.10
7 m = 42 220 km soit une altitude de 42 220 − 6 400 = 35 820 km (environ 36 000 km) III. Vitesse d’évasion d’un satellite. 1- 휹풘=퐹⃗⃗ (푟 )푑푟푢⃗⃗=퐹 (푟 )푑푟=− 퐺푀푇 푚푟 2푑푟=−푑 (−퐺 푀푇 푚푟 )=−푑(퐸 푝
) 4 ⟹퐸푝 =−퐺푀 푇푚 푟
+푐 Ep(∞) = 0 alors 퐸푝 =−퐺푀 푇푚 푟
2- 퐸=1/2푚푣2 −퐺푀 푇푚 푅푇 +ℎ
3- E= 0 donne : 퐸=1 2푚푣2 −퐺푀 푇푚 푅푇 +ℎ
=0 ⟹풗=√ 2퐺푀푇 푅푇 +ℎ
Pour un corps à la surface de la terre (h=0) on a : 풗풆 =√ 2퐺푀푇 푅푇 =ퟏퟏ,ퟏퟖ풌풎.풔−ퟏ
Exercice 4
Mouvement d’un point matériel dans un champ de gravitation.
Etude énergétique. Correction 1- Force de gravitation et moment cinétique 푓⃗ (푟)=−퐺푀 푇푚 푟2 푢⃗⃗ 2- Moment cinétique : 퐿⃗⃗ 0=푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Λ푚푣⃗ 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =푑푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 ∧푚푣⃗+푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푑 (푚푣⃗ )푑푡 =푣⃗∧푚푣⃗+푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푚푎⃗=푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푚푎⃗ En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse m étudiée dans le référentiel géocentrique galiléen et sachant que l’unique force est 푓
⃗ (푟), on obtient : 푚푎⃗=푓
⃗ (푟) est donc : 5 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푓⃗ (푟)=푀⃗⃗⃗ 푂( 퐹⃗ )
Théorème du moment cinétique a- 푀⃗⃗⃗ 푂(퐹 ⃗
) est le moment de 퐹⃗ (푟) par rapport au point O. Dans le cas présent, la force à la même direction que le vecteur 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est donc le moment est nul 푀⃗⃗⃗ 푂(퐹 ⃗)=0 ⃗⃗
d- 푑퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗푑푡 =0⃗⃗ ⟹퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗=푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∧푚푣⃗=푣푒푐푡푒푢푟 푐표푛푠푡푎푛푡.퐴 푡표푢푡 푖푛푠푡푎푛푡,푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푒푡 푣⃗ sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur constant. 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Donc O, M et 푣⃗ reste dans un même plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaire au moment cinétique퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗). 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗ est constant au cours du temps et le mouvement du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des forces O et perpendiculaire au moment cinétique 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗
3- Moment cinétique et constant des aires. a- 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗=푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∧푚푣⃗=푟푢⃗⃗∧푚(푟̇푢⃗⃗+푟휃̇ 푢휃 ⃗⃗⃗⃗⃗̇ )=푚푟2 휃̇ 푢푧 ⃗⃗⃗⃗⃗⟹퐿0 =푚푟2 휃̇ b- C= 푟2 휃
̇ =퐿0 /푚 = constante. Cette constante est homogène à une surface par unité de temps. En fait la surface balayée par unité de temps par le rayon 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ correspond à 2C c- 퐿0 ⃗⃗⃗⃗⃗=푟 0푢⃗⃗∧푚푣 0
⃗⃗⃗⃗⃗=푚푟0 푣0 푠푖푛훼⟹푐=푟0 푣0 푠푖푛훼
II. Étude énergétique 1- 휹푾=푓⃗ (푟 )
.푑푟 푢.⃗⃗⃗⃗=푓( 푟) 푑푟= −퐺푀푚 푟2 푑푟=−푑(퐺푀푚 푟)=−푑(퐸 푝
) ⟹퐸푝 =−퐺푀푚 푟
+푐푡푒 푎푣푒푐 퐸푝 (∞ )
=0 푎푙표푟푠 퐸푝 =−퐺푀푚 푟
2− 퐸푐 =1 2푚푣 2= 12 푚[푟̇2 +푟2 휃̇ 2 ]=1 2푚(푟̇ 2+ 퐶2 푟2 ) 3- L’énergie mécanique
E= 퐸푐 +퐸푝 =1 2푚 (푟̇ 2+ 퐶2 푟2 )
+ −푘 푟
Le système est conservatif car il subit uniquement une force conservative. Cette énergie mécanique E est une constante 퐸=1 2푚푟̇ 2
+ 퐸′ (푟 )
푎푣푒푐 퐸′ (푟 )=− 푘푟 + 12 푚 퐶2 푟2 4- L’énergie mécanique 6 퐸0 =1 2푚푣 02 −푘 푟0 Correspond à l’état initial en fonction III. Étude de l’énergie potentielle effective E’(r) : États liés, États de diffusion. 1- 푑퐸′푑푟 =푘 푟2 −2푚퐶 22푟 3= 1푟 2[푘− 푚퐶2 푟]⟹ 푑퐸′푑푟 =0 ⟹푟푚 =푚퐶 2퐾 =푚 (푟 0푣 0푠푖푛훼 0) 2퐾 퐸푚 ′=− 퐾2 푚퐶2 +퐾 22푚퐶 2=− 퐾2 푚퐶2 =−퐾 22푚 (푟 0푣 0푠푖푛훼 0) 2
2- E(r→0)→∞ 푒푡 퐸(푟→∞)→0− 3) Si E > 0 alors r peut varier de 0 à l’infini. Si E < 0 alors r peut varier entre 2 valeurs r
min et r
max (la masse décrit une ellipse). La masse reste prisonnière du centre de force. Pour E = 0 : valeur limite pour échapper à l’attraction de O. 4) Lorsque E = E’ m alors r = r
m et donc la masse décrit un cercle 5) Applications : a- 퐸0 =1 2푚푣 02 −푘 푟0 ≥0,푙푎 푣푎푙푒푢푟 푚푖푛푖푚푎푙푒 푑푒 푙푎 푣푖푡푒푠푠푒 푒푠푡∶ 푉표푚 =(2퐾 푚푟0 )1/2 b- Vitesse de libération V
LT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant à la surface de la Terre : K = GM m = m.4.10
14 donc : 푉퐿푇 =(2퐾 푚푅푇 )1/2 =11,2푘푚.푠−1 푉퐿푇 =(2퐺푀 푅푇 )1/2 =11,2푘푚.푠
−1