Mécanique du point : Exercices principe fondamental dynamique td
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Exercice 1
a. Un véhicule parcourt 72 km en 50 minutes. Calculer sa vitesse moyenne et donner le résultat en km/h puis en m/s.
La vitesse moyenne v est donnée par la relation : v = d / Δt
Avec d = 72 km et Δt = 50 min = 50 × 60 s = 3000 s :
v = 72 / 3000 × 3600 = 86,4 km/h
En m/s : v = 72 / 50 × 60 = 86,4 / 3,6 = 24 m/s
b. Déterminer les expressions des composantes horizontale et verticale de la force F en fonction de son module F et de l'angle α.
Application numérique : F = 100 N et α = 30°
Utiliser les relations trigonométriques :
Composante horizontale : Fh = F cos α = 100 cos 30° = 86,6 N
Composante verticale : Fv = F sin α = 100 sin 30° = 50 N
c. Le schéma représente un solide sur un plan incliné. Le poids P est décomposé en une composante selon la direction du plan incliné et une composante perpendiculaire à ce plan.
Exprimer ces deux composantes en fonction de m (masse du solide), g (accélération de la pesanteur) et de l'angle α.
Utiliser les relations trigonométriques :
Composante selon la direction du plan incliné : Pt = -mg sin α (signe « - » car l'axe est orienté vers la droite)
Composante perpendiculaire au plan incliné : Pn = -mg cos α (signe « - » car l'axe est orienté vers le haut)
d. Pour les deux situations représentées, exprimer les composantes normale et tangentielle de la réaction du support en fonction du module de la force R et de l'angle φ.
Dans les deux cas :
Composante normale : Rn = R cos φ
Composante tangentielle : Rt = R sin φ
Exercice 2
L'évolution de la vitesse d'un pont roulant en fonction du temps est caractérisée comme suit :
- Entre 0 et t1 : montée en vitesse à accélération constante pendant 8 s
- Entre t1 et t2 : fonctionnement à vitesse constante égale à 60 m/min
- Entre t2 et t3 : freinage à décélération constante pendant 8 s
a. Tracer la courbe représentant l'évolution de la vitesse entre 0 et l'instant t3.
b. Calculer l'accélération du pont entre 0 et t1 et exprimer le résultat en m/s2.
L'unité d'accélération du système international est le m/s2. Convertir la vitesse en m/s : 60 m/min = 1 m/s.
L'accélération a est donnée par : a = Δv / Δt
a = (1 - 0) / (8 - 0) = 0,125 m/s2
c. Déduire la distance parcourue par le pont pendant cette phase d'accélération.
La vitesse augmente linéairement : v = a t.
La distance ΔL parcourue est donnée par : ΔL = ½ a t2
ΔL = ½ × 0,125 × 82 = 8 m
d. Calculer la distance parcourue lors du freinage.
La décélération ayant la même valeur que l'accélération, la distance parcourue est identique : 8 m.
e. Calculer la durée de la phase à vitesse constante si la distance totale parcourue pendant le cycle est égale à 30 m.
Il reste 30 - 2 × 8 = 14 m à parcourir à 60 m/min (soit 1 m/s).
La durée est : t2 - t1 = 14 / 1 = 14 s.
Exercice 3
Pour soulever un solide de masse M, deux solutions sont proposées : un treuil et un palan.
Les masses des câbles et des poulies sont négligeables.
a. Placer le poids du solide sur chaque schéma.
Le poids est appliqué au centre d'inertie, verticalement vers le bas, avec un module de Mg.
b. Exprimer le module de la force nécessaire pour maintenir le solide en équilibre en fonction de M et de g.
Pour le treuil : la force nécessaire est égale à Mg.
Pour le palan : la force nécessaire est égale à Mg / 2.
Exercice 4 : Système de levage, partie translation
Un système de levage constitué d'un treuil (masse négligeable) entraîné par un moteur électrique lève un objet de masse m selon une trajectoire verticale.
1. Mise en équation
a. Choisir le système (indéformable).
b. Faire le bilan des forces extérieures agissant sur la masse m.
c. Écrire l'équation vectorielle traduisant le principe fondamental de la dynamique.
d. Projeter cette équation sur l'axe vertical Oz (orienté de bas en haut).
L'équation projetée est : -mg + T = m az.
2. Application numérique
La masse de 100 kg est initialement arrêtée. La tension du câble imposée sur le treuil varie selon le graphe.
Prendre g = 9,81 m/s2.
a. Calculer az entre 0 et t1. Au bout de combien de temps la vitesse atteint-elle 1,5 m/s (instant t1) ?
D'après -mg + T = m az, on a : az = (-100 × 9,81 + 1030) / 100 = 0,49 m/s2.
L'accélération étant constante, la durée pour atteindre vz = 1,5 m/s est : t1 = Δvz / az = 1,5 / 0,49 = 3,06 s.
b. Calculer az entre t1 et t2. Calculer la durée t2 - t1 pour que la charge monte de 5 m.
D'après -mg + T = m az, on a : az = (-100 × 9,81 + 981) / 100 = 0 m/s2.
La vitesse est constante et égale à vz = 1,5 m/s.
La durée est : t2 - t1 = 5 / 1,5 = 3,33 s.
c. Calculer az entre t2 et t3. Au bout de combien de temps la charge est-elle arrêtée (instant t3) ? Calculer la vitesse atteinte à l'instant t4, deux secondes après le passage par la vitesse nulle.
D'après -mg + T = m az, on a : az = (-100 × 9,81 + 930) / 100 = -0,51 m/s2.
La durée pour que la vitesse s'annule est : t3 - t2 = Δvz / az = -1,5 / -0,51 = 2,94 s.
À l'instant t4, la vitesse a augmenté de -0,51 × 2 = -1,02 m/s.
d. Calculer az entre t4 et t5. Calculer le temps pour que la charge descende de 10 m.
L'accélération est nulle, la vitesse est constante de 1,02 m/s.
La durée est : t5 - t4 = 10 / 1,02 = 9,8 s.
e. Calculer az entre t5 et t6. Au bout de combien de temps la charge est-elle arrêtée ?
D'après -mg + T = m az, on a : az = (-100 × 9,81 + 1000) / 100 = 0,19 m/s2.
La durée pour que la vitesse s'annule est : t6 - t5 = Δvz / az = -1,02 / 0,19 = 5,36 s.
f. Représenter l'évolution de vz en fonction du temps.
- De 0 à t1 : montée (accélération)
- De t1 à t2 : montée à vitesse constante
- De t2 à t3 : décélération en montée
- De t3 à t4 : accélération en descente
- De t4 à t5 : descente à vitesse constante
- De t5 à t6 : décélération en descente
3. Généralisation
a. Quelle est la valeur de dvz / dt si la vitesse est constante ? Le signe de la vitesse est-il connu ?
Si la vitesse est constante, alors dvz / dt = 0. Le signe de vz n'est pas déterminé.
b. Quel est le signe de dvz / dt si vz augmente ? Le signe de vz est-il connu ?
Si vz augmente, alors dvz / dt est positif. Le signe de vz dépend du sens de déplacement.
c. Quel est le signe de dvz / dt si vz diminue ? Le signe de vz est-il connu ?
Si vz diminue, alors dvz / dt est négatif. Le signe de vz dépend du sens de déplacement.
Exercice 5 : Portail coulissant, partie translation
Un portail motorisé par un système pignon-crémaillère repose sur le sol via deux roues à gorges roulant sur un rail.
Données :
- Masse du portail : m = 300 kg
- Coefficient d'adhérence : tan φ0 = 0,2
- Coefficient de frottement : tan φf = 0,1
1. Mise en équation
a. Choisir le système (indéformable).
b. Faire le bilan des forces extérieures.
c. Écrire l'équation vectorielle traduisant le principe fondamental de la dynamique.
d. Projeter cette équation sur l'axe vertical puis sur l'axe horizontal.
Les composantes des forces de réaction sont supposées identiques et réparties sur chaque roue : R1t = R2t = Rt et R1n =