Td cinematique premiere annee classes preparatoires pdf

Mécanique du point : Td cinematique premiere annee classes preparatoires mécaniq

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TD N°2 : Cinématique – Première année des Classes préparatoires

Exercice 1

Dans un repère orthonormé fixe (Oyx) muni de la base orthonormée (→i, →j), six mobiles M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ et M₆ sont repérés respectivement par les vecteurs positions suivants :

→r₁ = a₁→i + a₂→j + a₃t→k ;

→r₂ = a₁→i + a₂→j + (a₄t² + a₅t)→k ;

→r₃ = a₁→i + a₂→j + (a₆sin(ω₃t) + R)→k ;

→r₄ = a₁→i + a₂→j + (a₄cos(ω₄t) + a₅sin(ω₄t))→k.

Où a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, R, ω₃, ω₄ sont des constantes strictement positives et t le temps.

Pour chaque mobile :

Trouver l’équation de la trajectoire et représenter graphiquement cette trajectoire.
Déterminer la vitesse et en déduire son module.
Déterminer l’accélération et en déduire son module.
Quel est la nature du mouvement ?
Déterminer les coordonnées polaires.

Exercice 2

Un mobile animé d’une vitesse initiale →v₀ = v₀→i constante pénètre dans un milieu résistant dans lequel il est soumis à une décélération (accélération négative) →γ = -k→v_r, où k est une constante positive et →v_r = v→i est la vitesse instantanée (→i est le vecteur unitaire porté par l’axe xO du mouvement).

Établir la loi donnant la vitesse instantanée en fonction du temps.
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
Exprimer la vitesse v en fonction de l’abscisse x.
Au bout de combien de temps et à quelle distance la vitesse est-elle réduite de moitié ?

Exercice 3

Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe R(O,x,y,z) par ses coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) telles que :

z = 2t, φ = πωt, ρ = aR = constante.

Où R, a et ω sont des constantes positives. La trajectoire est une hélice enroulée sur un cylindre circulaire. Le pas h de cette hélice est la distance séparant deux positions successives du mobile sur une même génératrice.

Établir la relation entre le pas h et la constante a.
Déterminer dans la base cylindrique (→e_ρ, →e_φ, →k) la vitesse du point M et en déduire son module.
L’accélération du point M.

Exercice 4

Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe R(O,x,y,z) par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que :

x = a(t - sin(ωt)), y = a(1 - cos(ωt)), z = a.

Où a et ω sont des constantes positives et t le temps. Les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base cartésienne (→i, →j, →k).

Déterminer la vitesse du point M et en déduire son module.
Déterminer le vecteur unitaire →τ tangent à la trajectoire en M et montrer qu’il fait un angle constant avec l’axe Oz.
Déterminer l’accélération du point M.
Déterminer l’accélération tangentielle du point M.
Déterminer l’accélération normale du point M et son module.
En déduire le vecteur unitaire →n normal à la trajectoire en M et montrer qu’il se trouve dans un plan qu’on déterminera.
Déterminer le rayon de courbure R_c de la trajectoire.
Déterminer le vecteur unitaire →b tel que (→n, →τ, →b) est la base de Frenet et montrer qu’il fait un angle constant avec l’axe Oz.
Déterminer l’abscisse curviligne s(t) du point M (s(t=0) = 4a).
Soit N la projection du point M dans le plan XOY.

Déterminer les coordonnées polaires du point N.
Représenter l’allure de la trajectoire du point N.

Exercice 5

Par rapport à un repère fixe R(O,x,y,z) muni de la base (→i, →j, →k), on considère un point mobile M, repéré par ses coordonnées sphériques (r, θ, φ) telles que :

r = a, θ = ω₁t, φ = ω₂t².

Où a, ω₁ et ω₂ sont des constantes.

Exprimer dans la base sphérique (→e_r, →e_θ, →e_φ) la vitesse et l’accélération du point M.

Exercice 6

Mouvement d’un point d’une roue : Une roue circulaire de rayon a et de centre C roule sans glissement sur Ox, tout en restant dans le plan Oxy. Un point A de la roue coïncide à l’instant t = 0 avec l’origine O du repère. Le centre C a une vitesse constante V₀.

Déterminer les coordonnées de A à l’instant t.
Calculer le module du vecteur vitesse de A et étudier ses variations au cours du temps.
Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul ?

Exercice 7

Rotation : Le rotor d’une machine tourne à 1200 tr.min^-1. À l’instant t = 0, il est soumis à une accélération angulaire α supposée constante jusqu’à l’arrêt complet. Il s’arrête en 300 tours.

Donner les équations horaires de ω et α.
Calculer la durée du freinage. Que vaut α ?

Exercice 8

Rotation : On considère un système de deux poulies reliées par une courroie. La première poulie a un rayon R₁ = 5 cm et tourne à la vitesse angulaire constante ω₀ = 180 rad.s^-1, la seconde a un rayon R₂ = 30 cm.

Calculer la vitesse angulaire de la seconde poulie.
La courroie porte une marque C. Calculer l’accélération du point C au cours du mouvement.

Exercice 9

Mouvement curviligne : Une particule M se déplace dans le plan xOy. Sa vitesse est définie par v_θ = a + bθ, où a et b sont deux constantes.

Déterminer l’équation ρ(θ) de la trajectoire en coordonnées polaires.
On choisit a = 3b. Sachant que pour θ = 0 l’abscisse du point M est +1 m, donner l’expression de ρ(θ). Quelle est l’allure de la trajectoire dans le plan xOy ?

Exercice 10

Mouvement curviligne : Un point M se déplace sur une spirale logarithmique d’équations polaires paramétriques : ρ = a^θ, θ = ωt avec ω constant.

Dessiner schématiquement une spirale logarithmique. Représenter les axes des coordonnées polaires et le repère de Frenet en un point M quelconque de cette trajectoire.
Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M en coordonnées polaires. En déduire les normes de ces vecteurs. Que vaut l’angle α que fait la vitesse avec le vecteur unitaire →e_θ ?
Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
Le point M décrit la même spirale ρ = a^θ mais cette fois-ci c’est la vitesse linéaire v qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?

FAQ sur la cinématique

1. Qu’est-ce qu’un vecteur position ?

Un vecteur position est un vecteur qui définit la position d’un point dans l’espace par rapport à un repère fixe. Il est généralement noté →r et exprimé en fonction des coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.

2. Comment déterminer la vitesse instantanée d’un mobile ?

La vitesse instantanée est obtenue en dérivant le vecteur position par rapport au temps. Par exemple, si →r = x(t)→i + y(t)→j + z(t)→k, alors →v = dx/dt→i + dy/dt→j + dz/dt→k.

3. Que représente l’accélération normale dans un mouvement curviligne ?

L’accélération normale (ou centripète) est la composante de l’accélération perpendiculaire à la trajectoire. Elle est liée au rayon de courbure R_c et à la vitesse v par la relation a_n = v²/R_c.