Mécanique du point : Td cinematique premiere annee classes preparatoires mécaniq
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Télécharger pack1 Première année des Classes préparatoires Année universitaire 2013-2014 TD N°2 : Cinématique
Exercice 1
Dans un repère orthonormé fixe ) (yxOR
muni de la base orthonormée ) ,(→→ jisix mobiles M1 M2 , M3 , M4 , M
5 et M
6 sont repérés respectivement par les vecteurs positions suivants: jtbitaOMrr 111 +=→ ; jtbitaOMrr 22 22 2+= →
; jtbitaOMrr 233 3+= →])sin() 444 jtitROM
rr [cos( ωω+=
→ ; jtbitaOM
rr cos( )sin()5555 5ωω+= → ; itinaOM
r s )(66 6ω= →
. Où a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , b1 , b2 , b3 , b5 , R, 4
ω , 5
ω , 6
ω sont des constantes strictement positives et t le temps. Pour chaque mobile : 1- Trouver l’équation de la trajectoire et représenter graphiquement cette trajectoire. 2- Déterminer la vitesse et en déduire son module. 3- Déterminer l’accélération et en déduire son module. 4- Quel est la nature du mouvement. 5- Déterminer les coordonnées polaires.
Exercice 2
Un mobile Manimé d’une vitesse ivvr 00= →
constante pénètre dans un milieu résistant dans lequel il est soumis à une décélération (accélération négative) ivkr 2−= →
γ où k est une constante positive et ivvr =
→ est la vitesse instantanée (i
r est le vecteur unitaire porté par l’axe xO du mouvement). 1- Etablir la loi donnant la vitesse instantanée en fonction du temps. 2- Déterminer l’équation horaire du mouvement. 3- Exprimer la vitesse v en fonction de l’abscissex. 4- Au bout de combien de temps et à quelle distance la vitesse est-elle réduite de moitie ?
Exercice 3
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe )(OxyzR
par ses coordonnées cylindriques ),,(zφρ
telles que : )- (2 zt, ,φπωφρaR=== OùR , a et ω sont des constantes positives. La trajectoire est une hélice enroulée sur un cylindre circulaire. Le pas hde cette hélice est la distance séparant deux positions successives du mobile sur une même génératrice. 1°/ Etablir la relation entre le pas het la constantea . Déterminer dans la base cylindrique (,, )rrr e e ezρφ 2°/ La vitesse du point M et en déduire son module. 3°/ L’accélération du point M. ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Ecole Nationale des Sciences Appliquées Tanger
2
Exercice 4
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe R(O,x,y,z) par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que : = −=
+= t
e 3 2 ) sin cos (
) sin cos (ω ωω ωωωω aztteay tteaxt t
Où a et ω sont des constantes positives et t le temps. Les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base cartésienne)k,j,i(rrr . 1- Déterminer la vitesse du point M et en déduire son module. 2- Déterminer le vecteur unitaire → τtangent à la trajectoire en M et montrer qu’il fait un angle constant avec l’axe Oz. 3- Déterminer l’accélération du point M. 4- Déterminer l’accélération tangentielle du point M. 5- Déterminer l’accélération normale du point M et son module. 6- En déduire le vecteur unitaire → nnormal à la trajectoire en M et montrer qu’il se trouve dans un plan qu’on déterminera. 7- Déterminer le rayon de courbure R
c de la trajectoire. 8- Déterminer le vecteur unitaire →
btel que ) , ,(→→→ bnτest la base de Frenet et montrer qu’il fait un angle constant avec l’axe Oz. 9- Déterminer l’abscisse curviligne s(t) du point M (s(t=0) = 4 a). 10- Soit N la projection du point M dans le plan XOY. E² a) Déterminer les coordonnées polaires du point N. b) Représenter l’allure de la trajectoire du point N.
Exercice 5
Par rapport à un repère fixe ),,(zyOxR muni de la base OND ) , ,(→→→ kji, on considère un point mobile M, repéré par ses coordonnées sphériques ),,(φθr tel que : tt t21 2
ωφωθ===ar Où 1 ,ωa et 2
ω sont des constantes. Exprimer dans la base sphérique ),,(φθ eeer rrr la vitesse et l’accélération du point M
Exercice 6
Mouvement d’un point d’une roue Une
roue circulaire, de rayon a et de centre C, roule sans glissement sur Ox, tout en restant dans le plan Oxy (figure 1). Un point A de la roue coïncide à l’instant t= 0 avec l’origine O du repère. Le centre C a une vitesse constante V0 . 1- Déterminer les coordonnées de A à l’instant t. 2- Calculer le module du vecteur de A et étudier ses variations au cours du temps. 3- Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il-nul ? 3 Figure 1
Exercice 7
Rotation Le rotor d’une machine tourne à 1200 tr.min-1 . A l’instant t = 0, il est soumis à une accélération angulaire supposée constante jusqu’à l’arrêt complet. Il s’arrête en 300 tours. 1- Donner les équations horaires de et α. 2- Calculer la durée du freinage. Que vaut ? Figure 2
Exercice 8
Rotation. On considère un système de deux poulies reliées par une courroie (figure 2). La première poulie a un rayon R
1 = 5 cm et tourne à la vitesse angulaire constante ω
o = 180 rad.s−1, la seconde a un rayon R
2 = 30 cm. 1) Calculer la vitesse angulaire de la seconde poulie. 2) La courroie porte une marque C. Calculer l’accélération du point C au cours du mouvement.
Exercice 9
Mouvement curviligne. Une particule M se déplace dans le plan xOy. Sa vitesse est définie par =
+ , où a et b sont deux constantes. 1) Déterminer l’équation ρ( θ
) de la trajectoire en coordonnées polaires. 2) On choisit a = 3b. Sachant que pour θ = 0 l’abscisse du point M est +1 m, donner l’expression de ρ( θ
). Quelle est l’allure de la trajectoire dans le plan xOy ?
Exercice 10
Mouvement curviligne. Un point M se déplace sur une spirale logarithmique d’équations polaires paramétriques : =
, θ = ω
t avec ω constant. 1) Dessiner schématiquement une spirale logarithmique. Représenter les axes des coordonnées polaires et le repère de Frenet en un point M quelconque de cette trajectoire. 2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M en coordonnées polaires. En déduire les normes de ces vecteurs. Que vaut l’angle α que fait la vitesse avec le vecteur unitaire ? 3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire. 4) Le point M décrit la même spirale = mais cette fois-ci c’est la vitesse linéaire v qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?