Analyse 1 td fonctions de plusieurs variables hassan ii anal
Télécharger PDF1 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques AU :2013/2014 Option :MIP Module :M311 Premier partiel 2103 : dur´ee 1H 30
Exercice 0.0.1 Soit f : B → R d´efinie par f(x, y) = px2 + y2 + y2 − 1 o`u B = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 ≤ 9}. 1. Montrer que f n’a pas de points critiques (stationnaires) dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ R2: 0 < x2 + y2 < 9}. (2 pts) 2. Etablir que l’origine O(0, 0) est un minimum global. (1 pts) 3. Etudier les variations de f sur le cercle C = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 = 9}. (2 pts)
Exercice 0.0.2 Soit f une fonction de deux variables de classe C1sur (R∗)2v´erifiant l’´equation aux d´eriv´ees partielles : (E) : 1x.∂f ∂x(x, y) + 1y.∂f ∂y (x, y) = f(x, y) (x2 + y2)2. Soit f(x, y) = h(x2 + y2) o`u h est une fonction d’une seule variable de classe C1. 1. Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres et secondes de f en fonction de celles de h. (2 pts) 2. Donner une ´equation aux d´eriv´ees partielles (E0) v´erifi´ee par h. (1 pts) 3. R´esoudre (E0) puis d´eterminer toutes les fonctions f solutions de (E). (2 pts)
Exercice 0.0.3 soit f la fonction d´efinie par : f(x, y) = xy sin ³1 y ´ , si y 6= 0 f(x, 0) = 0 pour tout x ∈ R 1. Donner Df le domaine de d´efinition de f et montrer que f est continue sur Df . (0.5++0.5+1 pts) 2. Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres par rapport `a x et par rapport `a y en tout point (x, y) de R2tel que y 6= 0, et en (0, 0). (1+1 pts)
2 ³ 3. Etudier la continuit´e des fonctions d´eriv´ees partielles ∂f ∂x et∂f ∂y sur R2 on peut consid´erer les suites ¡xn, yn¢=¡ 12nπ,12nπ¢´. (1+1 pts)
Exercice 0.0.4 Soit f la fonction d´efinie sur R2 par :f(x, y) = x. ln ¡1 + y2¢− yex. 1. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de f en (1, 0). (2 pts) 2. Soit l’´equation x. ln ¡1 + y2¢− yex = 0. (a) Montrer que cette ´equation d´efinit implicitement y = φ(x) en fonction de x au voisinage de (1, 0). (1 pts) (b) Calculer φ0(x) au viosinage de 1. (1 pts) ========================================================
Groupe : M.HARFAOUI- S. SAJID