Analyse 1 td fonctions de plusieurs variables hassan ii anal
Télécharger PDFUniversité Hassan II-Mohammédia - Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques - Année Universitaire 2013/2014
Option : MIP - Module : M311 - Premier Partiel - Durée : 1H 30
Exercice 1
Problème 1.1 : Étude des points critiques et variations
Soit f : B → R définie par f(x, y) = √(x² + y²) + y² − 1 où B = {(x, y) ∈ R²: x² + y² ≤ 9}.
- Montrer que f n’a pas de points critiques (stationnaires) dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ R²: 0 < x² + y² < 9}.
- Établir que l’origine O(0, 0) est un minimum global.
- Étudier les variations de f sur le cercle C = {(x, y) ∈ R²: x² + y² = 9}.
L'analyse des points critiques est fondamentale pour l'optimisation des fonctions multivariables et la détermination des extrema locaux ou globaux.
Exercice 2
Problème 2.1 : Équation aux dérivées partielles
Soit f une fonction de deux variables de classe C¹ sur (R*)² vérifiant l’équation aux dérivées partielles :
(E) : (1/x).&partial;f/&partial;x(x, y) + (1/y).&partial;f/&partial;y(x, y) = f(x, y) * (x² + y²)².
Soit f(x, y) = h(x² + y²) où h est une fonction d’une seule variable de classe C¹.
- Calculer les dérivées partielles premières et secondes de f en fonction de celles de h.
- Donner une équation aux dérivées partielles (E0) vérifiée par h.
- Résoudre (E0) puis déterminer toutes les fonctions f solutions de (E).
Les équations aux dérivées partielles sont au cœur de la modélisation de nombreux phénomènes physiques et d'ingénierie.
Exercice 3
Problème 3.1 : Continuité et dérivabilité d'une fonction avec condition
Soit f la fonction définie par :
f(x, y) = xy sin(1/y), si y ≠ 0
f(x, 0) = 0 pour tout x ∈ R
- Donner Df le domaine de définition de f et montrer que f est continue sur Df.
- Calculer les dérivées partielles premières par rapport à x et par rapport à y en tout point (x, y) de R² tel que y ≠ 0, et en (0, 0).
- Étudier la continuité des fonctions dérivées partielles &partial;f/&partial;x et &partial;f/&partial;y sur R², on peut considérer les suites (xn, yn)=(1/(2nπ), 1/(2nπ)).
L'étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions multivariables est essentielle pour comprendre leur comportement local.
Exercice 4
Problème 4.1 : Développement limité et fonctions implicites
Soit f la fonction définie sur R² par : f(x, y) = x ln(1 + y²) − y ex.
- Donner le développement limité à l’ordre 2 de f en (1, 0).
- Soit l’équation x ln(1 + y²) − y ex = 0.
- Montrer que cette équation définit implicitement y = φ(x) en fonction de x au voisinage de (1, 0).
- Calculer φ'(x) au voisinage de 1.
Le théorème des fonctions implicites est un outil puissant pour définir des fonctions même lorsqu'elles ne peuvent pas être exprimées explicitement.
Foire aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un point critique en calcul multivariable ?
Un point critique d'une fonction de plusieurs variables est un point où toutes ses dérivées partielles premières sont nulles ou indéfinies. Ces points sont des candidats potentiels pour des maxima, des minima ou des points selles.
Pourquoi étudie-t-on les fonctions de plusieurs variables ?
Les fonctions de plusieurs variables sont essentielles pour modéliser des phénomènes dans le monde réel qui dépendent de multiples facteurs. Elles sont utilisées en physique, économie, ingénierie, statistiques et bien d'autres domaines pour décrire des surfaces, des volumes, des champs de force, etc.
À quoi sert le théorème des fonctions implicites ?
Le théorème des fonctions implicites permet de déterminer quand une équation F(x, y) = 0 définit implicitement une variable (par exemple y) comme fonction de l'autre (x) dans un voisinage d'un point donné, même si l'on ne peut pas exprimer explicitement y = f(x).