Topologie espaces metriques exercices l3 2006 2007.pdf analy
Télécharger PDFGroupes 1 et 2. 2006-2007 TD L3, 5L12 Topologie et espaces m´etriques, exercices. Table des mati`eres 1 Les nombres r´eels 2 2 Espaces m´etriques-Topologie. 2 2.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Adh´erence, int´erieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Espaces m´etriques compacts. 7 4 Espaces m´etriques complets. 10 4.1 Compl´etude. G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Compl´etude et espaces de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Connexit´e. 14 6 Espaces de fonctions 18 7 Examens de 2004-2005-2006 20 7.1 Examen 14 d´ecembre 2004/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 Seconde session 2004/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 Partiel 2005/2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.4 Devoir `a la maison 2005/2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.5 Seconde session 2005/2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Merci de nous signaler toutes les fautes, coquilles, etc... `a laurent@math.univ-poitiers.fr, merci. G´erard Gr´elaud, Camille Laurent-Gengoux, Yvan Meguerditchian. 1
La plupart des exercices de cette feuille proviennent de Patrice Tauvel, que nous remercions infiniment. Sauf indication contraire, X est, ci-dessous, un espace m´etrique. Pour toute paire d’espaces m´etriques X, Y , on note C0(X, Y ) l’ensemble des applications continues de X vers Y . 1 Les nombres r´eels
Exercice 1.1 : SupetMax Une partie infinie a t-elle toujours un plus petit ´el´ement ? et si elle est born´ee ?
Exercice 1.2 : SupetMax Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {1/n, n ∈ N∗} ? Ces bornes sont-elles un max, un min ?
Exercice 1.3 : SupetMax Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {n+(−1)n n+1+ (−1)n , n ∈ N∗} ? 2 Ces bornes sont-elles un max, un min ?
Exercice 1.4 : LimSupetLimMax Reprendre les trois exos pr´ec´edents avec “limite sup” et “limite inf”.
Exercice 1.5 : Limite de sous-suite Construire une suite dont les limites sup´erieures et inf´erieures sont 3 et −5 respectivement. Est-il d’imposer en plus u0 = 100, u1 = −10568. Est-il possible d’imposer en plus que cette suite converge ? Est-il possible d’imposer en plus qu’il existe un sous-suite qui tende vers 2 ? et est-il possible d’imposer en plus qu’il existe un sous-suite qui tende vers 8, 67 ?
Exercice 1.6 : Suites denses. Construire une suite r´eelle (un)n∈N telle que pour tout r´eel r, et pour tout ε > 0, il existe un ´el´element n0 tel que |un0 − un| < ε. Montrer que tout r´eel est la limite d’une sous-suite de (un)n∈N.
Exercice 1.7 : (difficile) Soit E un ensemble infini de [0, 1]. Montrer que E a ou bien une infinit´e d’´el´ements dans [0,12] ou bien une infinit´e d’´el´ements dans [ 12, 1] Soit (un)n∈N une suite de r´eels de [0, 1]. Montrer qu’il existe une sous-suite convergente.
Exercice 1.8 : Croissante et major´ee Soit πn le r´eel obtenu en tronquant le d´eveloppement d´ecimal de π `a l’ordre n. Montrer que la suite (πn)n∈N est croissante et born´ee. Quelle est sa limite ? 2 Espaces m´etriques-Topologie. 2.1 Exemples.
Exercice 2.1 : Somme de distances Soient d1, . . . , dn des distances sur un ensemble X et λ1, . . . , λn des r´eels positifs ou nuls et non tous nuls. Si x, y ∈ X, on pose : d(x, y) = λ1d1(x, y) + · · · λndn(x, y) Montrer que d est une distance sur X. 2
Exercice 2.2 : M´etrique S.N.C.F. Soit d la distance euclidienne sur R2. On fixe un point p ∈ R2. Pour x, y ∈ R2 on pose : ( D(x, y) = d(x, y) si x, y, p sont align´es d(x, p) + d(y, p) si x, y, p ne sont pas align´es a) Prouver que D est une distance sur R2. b) Soit r ∈ R∗+. (i) Dessiner la boule BD(p, r). (ii) Soit m ∈ R2 \ {p}. Dessiner la boule BD(m, r) (distinguer suivant que r 6 d(p, m) ou non).
Exercice 2.3 : M´etrique discr`ete. Soit X un ensemble non vide. Munissons-le de la distance discr`ete : d(x, x) = 0 , d(x, y) = 1 si x 6= y Quelles sont les parties ouvertes de X ? ferm´ees ? Quelle est l’adh´erence d’un sous-ensemble A de X ? l’int´erieur ? Quels sont les voisinages d’un point de X ?
Exercice 2.4 : M´etrique sur R. Soient a, b ∈ R tels que a < b. R est muni de sa distance usuelle. a) Prouver que ]a, b[, ] − ∞, a[ et ]a, +∞[ sont des ouverts de R. b) Prouver que [a, b], ] − ∞, a] et [a, +∞[ sont des ferm´es de R. c) Prouver que [a, b[ n’est ni ouvert, ni ferm´e dans R.
Exercice 2.5 : Ultram´etrique. Soit X un ensemble non vide. On suppose que X est muni d’une distance ultram´etrique, c’est `a dire que, pour tous x, y, z ∈ X, on a d(x, y) 6 max{d(x, z), d(y, z)}. a) Soient x, y, z ∈ X tels que d(x, z) 6= d(y, z). Montrer que d(x, y) = max{d(x, z), d(y, z)} (en d’autres termes, tout triangle dans X est isoc`ele). b) Montrer que tout point d’une boule est centre de cette boule. Prouver qu’une boule ouverte ou ferm´ee de X est ouverte et ferm´ee dans X. c) Si deux boules ouvertes (resp. ferm´ees) ont un point commun, l’une est contenue dans l’autre. d) Soit E un ensemble non vide et S l’ensemble des suites de points de E. Si u = (un)n et v = (vn)n sont des ´el´ements distincts de S, on note : ω(u, v) = inf{n ∈ N; un 6= vn}. On pose d(u, u) = 0 et d(u, v) = 1 1 + ω(u, v)si u 6= v. Montrer que d est une distance ul tram´etrique sur S. 2.2 Adh´erence, int´erieur.
Exercice 2.6 : Exemples d’int´erieurs et d’adh´erence I. Soient A, B les parties de R suivantes : A = {1n; n ∈ N∗} , B = {1n+1p; n, p ∈ N∗} D´eterminer l’int´erieur, l’adh´erence et l’ensemble d´eriv´e de A et B. 3
Exercice 2.7 : Exemples d’int´erieurs et d’adh´erence II. Soit A =]0, 1[∪]1, 2[∪(Q∩]2, 3[)∪ {4} D´eterminer◦A, A,◦A,◦A,◦◦A,◦A
Exercice 2.8 : Op´erations ´el´ementaires sur l’adh´erence et l’int´erieur. I Soient X un espace m´etrique, A et B des parties de X telles que A ⊂ B. Montrer que A ⊂ B et◦A ⊂◦B.
Exercice 2.9 : Op´erations ´el´ementaires sur l’adh´erence et l’int´erieur. II Soient X un espace m´etrique, A et B des parties de X. Montrer que A ∪ B = A ∪ B. Montrer que A ∩ B ⊂ A ∩ B. A-t-on toujours l’´egalit´e ? Comparer l’int´erieur de A ∪ B avec◦A ∪◦B. Comparer de mˆeme l’int´erieur de A ∩ B avec◦A ∩◦B.
Exercice 2.10 : La “saucisse de Minkowski”. Soit A une partie non vide d’un espace m´etrique X. Pour r ∈ R∗+, on pose B(A, r) = {x ∈ X; d(x, A) < r}. a) Montrer que B(A, r) est un ouvert de X. b) Etablir : B(A, r) = [ x∈A B(x, r) , A =\ r>0 B(A, r).
Exercice 2.11 : G´en´eralit´es sur les adh´erences, I. Soit E un espace m´etrique, (Ai)i∈I une famille de parties de E. On suppose que [ i∈I Ai est ferm´e. Montrer que : [ i∈I Ai =[ i∈I Ai
Exercice 2.12 : G´en´eralit´es sur les adh´erences, II. Soit E un espace m´etrique, A et B deux parties de E telles que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Montrer que si A ∪ B est ferm´e, alors A et B sont ferm´es.
Exercice 2.13 : G´en´eralit´es sur les adh´erences, III. Soit U une partie d’un espace m´etrique X. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) U est un ouvert de X (ii) Pour toute partie A de X, on a A ∩ U = A ∩ U
Exercice 2.14 : Points isol´es. Soit E un espace m´etrique, A une partie de E sans point isol´e. Montrer que A n’a pas de point isol´e.
Exercice 2.15 : Une difficult´e sur les notions d’int´erieur et d’adh´erence. Soient X un espace m´etrique, A une partie de X et B une partie de A. On munit A de la m´etrique induite par celle de X. a) Montrer que l’int´erieur de B dans l’espace m´etrique A contient l’int´erieur de B dans l’espace m´etrique X. b) On suppose que A est ouverte dans X. Montrer que l’int´erieur de B dans l’espace m´etrique A coincide avec l’int´erieur de B dans l’espace m´etrique X. 4
2.3 Applications.
Exercice 2.16 : Le diam`etre. Le diam`etre δ(A) d’une partie A d’un espace m´etrique X est d´efini par δ(∅) = 0 et, si A non vide, par δ(A) = sup{d(x, y), x, y ∈ A} ∈ R+ ∪ {+∞} a) Soient A, B des parties de X. Etablir : (i) δ(A) = 0 si et seulement si A contient au plus un point. (ii) Si A ⊂ B , alors δ(A) 6 δ(B). (iii) δ(A) = δ(A). (iv) Si A ∩ B 6= ∅ alors δ(A ∪ B) 6 δ(A) + δ(B). b) Soient A, B, C des parties non vides de X. Montrer les assertions suivantes : (i)d(A, B) = d(A, B). (ii)d(A, C) 6 d(A, B) + d(B, C) + δ(B). (iii) d(A, B ∪ C) = min{d(A, B), d(A, C)}.
Exercice 2.17 : Sur la densit´e, I. Soient X un espace m´etrique, A une partie de X et B une partie de A. On munit A de la m´etrique induite par celle de X. On suppose que A est dense dans X et que B est dense dans A. Montrer que B est dense dans X.
Exercice 2.18 : Sur la densit´e, II. Soit E un espace m´etrique non vide, A une partie de E. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)◦A 6= ∅. (ii) Pour toute partie U de E, dense dans E, on a : A ∩ U 6= ∅.
Exercice 2.19 : Sur la densit´e, III. Soient un espace m´etrique X, un ouvert U et A une partie dense de X. Montrer que U = A ∩ U.
Exercice 2.20 : La notion de fronti`ere. Soit A une partie d’un espace m´etrique X. On note F r(A) la fronti`ere de A. a) Montrer que F r(A) = ∅ si et seulement si A est ouverte et ferm´ee dans X. b) Montrer que si A est ferm´ee, F r(A) est d’int´erieur vide. c) D´emontrer que A est ouverte si et seulement si A ∩ F r(A)) = ∅. d) Prouver que A est ferm´ee si et seulement si F r(A) ⊂ A. e) Etablir : F r(◦A) ⊂ F r(A) , F r(F r(F r(A))) = F r(F r(A))
Exercice 2.21 : Un exercice classique. Soit (xn)n>1 une suite de r´eels positifs v´erifiant, pour tous n, p ∈ N∗: (n + p)xn+p 6 nxn + pxp a) Montrer que, si k, n ∈ N∗, on a xkn 6 xn (raisonner par r´ecurrence sur k). b) Soit l = inf{xn, n ∈ N∗}. Prouver que la suite (xn)n converge vers l.
Exercice 2.22 : R´esultats fins sur les suites convergentes. Soit (xn)n une suite de r´eels strictement positifs de limite nulle. 5
a) Soit S l’ensemble des n ∈ N tels que xm 6 xn pour tout m > n. Montrer que S est infini. b) Soit T l’ensemble des n ∈ N tels que xm > xn pour tout m 6 n. Montrer que T est infini.
Exercice 2.23 : Un th´eor`eme de point fixe. Soit f, g ∈ C0([0, 1], [0, 1]) v´erifiant f ◦ g = g ◦ f. a) Soit S1 = {x ∈ [0, 1]; x 6 g(x)}. Montrer que S1 est non vide. Soit c1 la borne sup´erieure de S1. Prouver que c1 ∈ S1. Comparer c1 et g(c1). b) Montrer qu’il existe a ∈ [0, 1] tel que f(a) = g(a).
Exercice 2.24 : Un autre th´eor`eme de point fixe. Soit f ∈ C0(R, R). Pour n ∈ N∗, on note fn l’it´er´ee d’ordre n de f. On suppose qu’il existe a ∈ R tel que la suite (xn)n>1, d´efinie par xn =1n[f(a) + f2(a) + · · · + fn(a)] soit born´ee. Prouver que f a au moins un point fixe.
Exercice 2.25 : D´efinitions alternatives de la continuit´e. Soit f ∈ F(X, Y ), o`u X, Y sont des espaces m´etriques. Prouver que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) f est continue. (ii) Pour toute partie A de X, on a f(A) ⊂ f(A). (iii) Pour toute partie B de Y , on a f−1(◦B) ⊂ [f−1(B)]◦. (iv) Pour toute partie B de Y , on a f−1(B) ⊂ f−1(B).
Exercice 2.26 : S´eparabilit´e des ferm´es. Soient A, B des parties ferm´ees, non vides, et disjointes de l’espace m´etrique X. a) Montrer que d(x, A) + d(x, B) > 0 pour tout x ∈ X. Si x ∈ X, on pose : f(x) = d(x, A) d(x, A) + d(x, B) b) Montrer que f : X −→ R est continue, et que f(x) = 0 si x ∈ A et f(x) = 1 si x ∈ B. c) En d´eduire qu’il existe des ouverts U et V de X tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V = ∅
Exercice 2.27 : Topologies ´equivalentes et normes ´equivalentes. Pour x, y ∈ [0, 1], on pose : d(x, y) =| x − y | , D(x, y) =|√x −√y | a) Montrer que d et D sont des distances sur [0, 1], y d´efinissant les mˆemes ouverts. b) existe-t-il k > 0 tel que D(x, y) 6 kd(x, y) pour tous x, y ∈ [0, 1] ?
Exercice 2.28 : Continuit´e et continuit´e uniforme I. Prouver que l’application de R dans R d´efinie par t −→ sin(t2) est continue, born´ee, mais non uniform´ement continue.
Exercice 2.29 : Continuit´e et continuit´e uniforme II. Soit f ∈ C0(R, R) admettant des limites r´eelles l et L en −∞ et en +∞. Prouver que f est uniform´ement continue. 6
Exercice 2.30 : Continuit´e et suites a) Soit (pn, qn) une suite dans Z × N∗telle que la suite pn qn a une limite α ∈ R \ Q. Etablir : limn| pn | = limnqn = +∞ b) Etudier la continuit´e des applications suivantes : (i) f ∈ C0(R, R), avec f(x) = x si x ∈ R \ Q et f(x) = p sin( 1q) si x =pq∈ Q et pgcd(p, q) = 1. (ii) f ∈ C0(R∗+, R), avec f(x) = 0 si x ∈ R \ Q et f(x) = 1 pgcd(p, q) = 1. p+qsi x =pq∈ Q et 1+x2 si x ∈ R \ Q et f(x) = pq (iii) f ∈ C0(R∗+, R), avec f(x) = x pgcd(p, q) = 1. 3 Espaces m´etriques compacts. q+p2+q2 si x =pq∈ Q et Par hom´eomorphisme on entend une bijection continue dont l’inverse est ´egalement continue.
Exercice 3.1 : Quelques compacts bien connus. Soit X espace m´etrique. 1. Soient (xn)n∈N une suite convergente dans X et ` sa limite. Montrer que {`}∪{xn; n ∈ N} est une partie compacte de X. 2. Montrer qu’un espace m´etrique de cardinal fini est toujours compact. 3. A quelle condition un ensemble X muni de la m´etrique du Pb 3 feuille 1 est il compact ? 4. L’ensemble des applications de {0, 1} dans [0, 1] est-il compact ? 5. Montrer que l’ensemble des r´eels de [0, 1] dont l’´ecriture d´ecimale ne comporte que des 0 et des 7 est compact.
Exercice 3.2 : S´eparation des compacts. Soient A et B des compacts non vides et disjoints de X. En raisonnant sur des recouvrements, prouver qu’il existe des ouverts U et V de X tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V = ∅.
Exercice 3.3 : Suite d´ecroissante de compacts, I. Soient (An∈N)n∈N une suite d´ecroissante de compacts de X, et A leur intersection. Soit U un ouvert de X contenant A. Prouver qu’il existe n ∈ N tel que An∈N ⊂ U.
Exercice 3.4 : Suite d´ecroissante de compacts, II. Soient (An∈N)n∈N une suite d´ecroissante de compacts de X et f ∈ C0(X, Y ). a) Etablir : ´ f T n>0 An∈N =T n>0 f(An∈N). b) Ce r´esultat est-il encore vrai si les An∈N sont seulement suppos´es ferm´es ? 7
c) On suppose X compact et non vide. Soit g ∈ C0(X, X). Prouver qu’il existe un compact non vide B de X tel que g(B) = B.
Exercice 3.5 : Plongements d’un compact. Soient f ∈ C0(X × Y, Z), A et B des compacts de X et Y , et W un ouvert de Z. On suppose que f(A × B) ⊂ W. Prouver qu’il existe des ouverts U et V de X et Y tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , f(U × V ) ⊂ W.
Exercice 3.6 : La fonction nulle. On suppose X compact. Soit F une partie non vide de C0(X, R) v´erifiant les conditions sui vantes : (i) Si f, g ∈ F, alors fg ∈ F. (ii) Pour tout x ∈ X, il existe fx ∈ F et Vx ∈ VX(x) tels que fx|Vx = 0. Prouver que F contient l’application nulle sur X.
Exercice 3.7 : Une caract´erisation des ouverts de Rn. On suppose X compact. Soient f1, . . . , fn∈N ∈ C0(X, R). On suppose que, si x, y sont des points distincts de X, il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que fi(x) 6= fi(y). Prouver que X est hom´eomorphe `a une partie de Rn.
Exercice 3.8 : Bornes sup. et inf. On suppose X compact. Soit f ∈ C0(X × Y, R). Pour y ∈ Y , on pose : g(y) = sup{f(x, y); x ∈ X} , h(y) = inf{f(x, y); x ∈ X}. Montrer que g et h d´efinissent des applications continues de Y dans R.
Exercice 3.9 : Une caract´erisation des fonctions continues. Soit f : X → Y une application ferm´ee (c’est `a dire telle que l’image d’un ferm´e est un ferm´e). On suppose que, pour tout y ∈ Y , f−1(y) est un compact de X. a) Soit B un compact de Y . Montrer que f−1(B) est un compact de X. b) On suppose Y compact. Montrer que f est continue.
Exercice 3.10 : Compacit´e locale et fonctions continues. On suppose X localement compact. Soit f : X → Y une application continue et ouverte. a) Prouver que f(X) est localement compact. b) On suppose f surjective. Soit B un compact de Y . Montrer qu’il existe un compact A de X tel que B = f(A).
Exercice 3.11 : Les compacts sont s´eparables. Montrer que tout espace m´etrique compact contient une partie d´enombrable dense.
Exercice 3.12 : Isom´etries I. Une application f : X → Y est appel´ee une isom´etrie si df(x), f(y) = d(x, y) pour tous x, y ∈ X. On suppose X compact. Soit u: X → X v´erifiant, pour tous x, y ∈ X : d(x, y) 6 du(x), u(y) . 8
a) Soient x, y ∈ X. On pose x0 = x, y0 = y et, pour n ∈ N : xn+1 = u(xn∈N) , yn+1 = u(yn∈N). Prouver que (x, y) est une valeur d’adh´erence de la suite (xn∈N, yn∈N) n∈Ndans X × X. En d´eduire que u est une isom´etrie Astuce : appliquer lz r´esultat pr´ec´edent au compact X × X . b) Montrer que u(X) = X. c) Si X n’est pas suppos´e compact, une isom´etrie de X dans lui-mˆeme est-elle n´ecessairement surjective ? d) On suppose que X et Y sont compacts et qu’il existe des isom´etries f : X → Y et g : Y → X. Montrer que Y = f(X) et X = g(Y ).
Exercice 3.13 : Isom´etries II On suppose X compact et, on note P∗(X) l’ensemble des parties non vides de X. a) Soit T : X → P∗(X) une application telle que, pour tous x, y ∈ X et tous a ∈ T(x), b ∈ T(y), on ait : d(x, y) 6 d(a, b). Montrer que, si x ∈ X, T(x) est r´eduit `a un point. Prouver que T induit une isom´etrie de X sur lui-mˆeme. b) Soit u: X → X une surjection v´erifiant du(x), u(y) 6 d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer que u est une isom´etrie.
Exercice 3.14 : Une distance sur l’ensemble des parties compactes. On note K l’ensemble des parties compactes non vides de X. Si a ∈ X, ka d´esigne la partie {a} de X (donc ka ∈ K). Pour A, B ∈ K, on pose : θ(A, B) = sup{d(x, B); x ∈ A} , D(A, B) = sup{θ(A, B), θ(B, A)}. a) Soient A, B, C ∈ K. (i) Prouver que θ(A, B) ∈ R+ et, qu’il existe x0 ∈ A tel que θ(A, B) = d(x0, B). (ii) Montrer que θ(A, B) = 0 si et seulement si A ⊂ B. (iii) Prouver que θ(A, C) 6 θ(A, B) + θ(B, C). En d´eduire que D est une distance sur K. (iiii) Pour tout ε > 0, on appelle ε-saucisse de Minkowski d’un ensemble A l’union des boules de rayon ε et centr´ees en un point de A. Montrer que pour tous compacts A, B, et tout η > θ(A, B), A est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de B, et, r´eciproquement, B est inclus dans l’η saucisse de Minkowski de A. (v) Montrer que pour tous compacts A, B, si A est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de B, et, r´eciproquement, B est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de A, alors η > θ(A, B), .
Exercice 3.15 : Compacts d’un espace vectoriel. Soient A, B des parties non vides de E. On note A + B l’ensemble des x + y, avec x ∈ A et y ∈ B. a) On suppose A ou B ouverte. Prouver que A + B l’est aussi. b) Si A et B sont compactes, A + B l’est ´egalement. c) Si A est compacte et B ferm´ee, A + B est ferm´ee. d) Donner un exemple de deux parties ferm´ees A, B de R2telles que A + B ne soit pas ferm´ee.
Exercice 3.16 : Compacts d’un espace vectoriel. Soient A, B des parties compactes de E et S la r´eunion de tous les segments de droites joignant un point de A et un point de B. Montrer que S est un compact de E. 9
Exercice 3.17 : Tir´e en arri`ere et norme infinie. On suppose X et Y compacts. Soit f ∈ C0(X, Y ). Pour u ∈ C0(X, R) et v ∈ C0(Y, R), on pose : kuk = sup{|u(x)|; x ∈ X} , kvk = sup{|v(y)|; y ∈ Y }. On obtient ainsi des normes sur C0(X, R) et C0(Y, R). Soit : ϕ: C(Y, R) → C0(X, R) , v → v◦f. Prouver que ϕ est lin´eaire, continue, et de norme 1.
Exercice 3.18 : Compacit´e des fonctions `a d´eriv´ees born´ees. Soit I = [0, 1]. On munit C(I, I) de la m´etrique infinie, c’est `a dire d(f, g) = supx∈I |f(x)−g(x)|. a) C0(I, I) est-il compact ? b) (difficile) Montrer que l’ensemble des fonctions d´erivables dont la d´eriv´ee est toujours major´ee par 1 en valeur absolue est une partie compacte de C(I, I). Indication : prendre une suite fn et faire converger 2m ) n∈N, pour tout k, m. fn(k
Exercice 3.19 : Hahn-Banach. (pas simple non plus) Soient C et D deux convexes compacts de R2. Montrer qu’il existe une droite n’intersectant aucun des deux convexes et “s´eparant” ceux -ci (c’est `a dire telle que les convexes C et D ne soient pas du mˆeme cˆot´e de la droite).
Exercice 3.20 : English compact. Is the empty set a compact set ? 4 Espaces m´etriques complets. 4.1 Compl´etude. G´en´eralit´es.
Exercice 4.1 : Compl´etude et intersection Soient A et B des parties compl`etes de X. Montrer que A ∪ B est une partie compl`ete de X.
Exercice 4.2 : Compl´etude et intersections. On suppose X complet. Soient f ∈ C0(X, Y ) et (An)n une suite d´ecroissante de ferm´es de X dont le diam`etre tend vers 0. Etablir : f \ n>0 An =\ n>0 f(An)
Exercice 4.3 : D´efinitions ´equivalentes de la compl´etude. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. (i) X est complet 2. (ii) Pour toute suite d´ecroissante (An)n de parties ferm´ees non vides de X dont le diam`etre tend vers 0, l’intersection des An est non vide. 10
Exercice 4.4 : Compl´etude et hom´eomorphisme. Soit f : X → Y un hom´eomorphisme. On suppose qu’il existe a ∈ R∗+ tel que, pour tous x, y ∈ X, on ait d(x, y) 6 a df(x), f(y) . Montrer que si X est complet, Y l’est aussi.
Exercice 4.5 : G´en´eralisation de l’exercice pr´ec´edent. Soit f : X → Y un hom´eomorphisme. On suppose que f est une application uniform´ement continue. Montrer que si Y est complet, X l’est aussi.
Exercice 4.6 : Contre-exemple `a la r´eciproque de l’exercice pr´ec´edent. Donner un exemple d’espace m´etrique X, Y et d’une application f : X → Y v´erifiant les conditions : (i) f est un hom´eomorphisme de X sur Y et est une application unform´ement continue. (ii) X est complet et Y ne l’est pas.
Exercice 4.7 : Une m´etrique exotique. Soit E = {a1, a2, a3, . . .} un ensemble d´enombrable infini. On pose d(ap, ap) = 0 et si p 6= q : d(ap, aq) = 1 + 1p+1q a) Prouver que d est une distance sur E et que l’espace m´etrique (E, d) est complet. b) Soit f : E −→ E, an −→ an+1. Montrer que f diminue strictement les distances mais que f n’a aucun point fixe. c) Construire une application u de E dans E, ayant un point fixe unique a, v´erifiant d(u(x), u(y)) < d(x, y) si x 6= y et telle que, pour x ∈ E \ {a} la suite (un(x))n∈N soit divergente.
Exercice 4.8 : Convergence uniforme et contre-exemple important. On munit l’espace vectoriel des applications born´ees de R dans lui-mˆeme de la norme de la convergence uniforme, k f k∞= sup{| f(x) |, x ∈ R}. Si n ∈ N, on note fn l’application de R dans lui-mˆeme, nulle sur ] − ∞, n − 1] et sur [n + 1, +∞[ et telle que : fn(t) = t + 1 − n si n − 1 < t < n, fn(t) = −t + n + 1 si n 6 t < n + 1 a) Montrer qu’aucune suite extraite de la suite (fn)n n’est de Cauchy. b) Que n’est pas la boule unit´e ferm´ee de l’espace vectoriel des applications born´ees de R dans lui-mˆeme ?
Exercice 4.9 : Untra-m´etrique a) On suppose que la distance d sur X est ultram´etrique. Montrer qu’une suite (xn)n∈N dans X est de Cauchy si et seulement si d(xn, xn+1) tend vers 0 quand n tend vers +∞. b) On reprend l’exemple d’espace ultram´etrique (S, d) de l’exercice 5 du TD 1. Prouver que (S, d) est complet. d) On munit N de la m´etrique suivante : d(n, n) = 0 et d(n, m) = 1/2k o`u k est le plus grand entier tel que 2k divise n − m. Montrer que l’on d´finiit ainsi une ultra-m´etrique et que la suite un =Pni=0 2iest de Cauchy. 11
4.2 Compl´etude et espaces de fonctions. Ex