Topologie espaces metriques exercices l3 2006 2007

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Introduction aux espaces métriques et à la topologie

La plupart des exercices de cette feuille proviennent de Patrice Tauvel. Sauf indication contraire, X est, ci-dessous, un espace métrique. Pour toute paire d'espaces métriques X, Y, on note C0(X, Y) l'ensemble des applications continues de X vers Y.

Les nombres réels

Exercice 1.1 : Sup et Max

Une partie infinie a-t-elle toujours un plus petit élément ? Et si elle est bornée ?

Exercice 1.2 : Sup et Max

Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {1/n, n ∈ N*} ? Ces bornes sont-elles un max, un min ?

Exercice 1.3 : Sup et Max

Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {n + (-1)ⁿ / (n+1 + (-1)ⁿ), n ∈ N*} ? Ces bornes sont-elles un max, un min ?

Exercice 1.4 : Lim Sup et Lim Inf

Reprendre les trois exercices précédents avec "limite sup" et "limite inf".

Exercice 1.5 : Limite de sous-suite

Construire une suite dont les limites supérieures et inférieures sont 3 et −5 respectivement. Est-il possible d'imposer en plus u0 = 100, u1 = −10568 ? Est-il possible d'imposer en plus que cette suite converge ? Est-il possible d'imposer en plus qu'il existe une sous-suite qui tende vers 2 ? Et est-il possible d'imposer en plus qu'il existe une sous-suite qui tende vers 8,67 ?

Exercice 1.6 : Suites denses

Construire une suite réelle (un)n∈N telle que pour tout réel r, et pour tout ε > 0, il existe un élément n0 tel que |un0 − un| < ε. Montrer que tout réel est la limite d'une sous-suite de (un)n∈N.

Exercice 1.7 : (difficile)

Soit E un ensemble infini de [0, 1]. Montrer que E a ou bien une infinité d'éléments dans [0, 1/2] ou bien une infinité d'éléments dans [1/2, 1]. Soit (un)n∈N une suite de réels de [0, 1]. Montrer qu'il existe une sous-suite convergente.

Exercice 1.8 : Croissante et majorée

Soit πn le réel obtenu en tronquant le développement décimal de π à l'ordre n. Montrer que la suite (πn)n∈N est croissante et bornée. Quelle est sa limite ?

Espaces métriques et topologie

2.1 Exemples

Exercice 2.1 : Somme de distances

Soient d1, . . . , dn des distances sur un ensemble X et λ1, . . . , λn des réels positifs ou nuls et non tous nuls. Si x, y ∈ X, on pose : d(x, y) = λ1d1(x, y) + · · · λndn(x, y). Montrer que d est une distance sur X.

Exercice 2.2 : Métrique S.N.C.F.

Soit d la distance euclidienne sur R². On fixe un point p ∈ R². Pour x, y ∈ R² on pose :

D(x, y) = d(x, y) si x, y, p sont alignés

D(x, y) = d(x, p) + d(y, p) si x, y, p ne sont pas alignés

Prouver que D est une distance sur R².
Soit r ∈ R*+.
1. Dessiner la boule BD(p, r).
2. Soit m ∈ R² \ {p}. Dessiner la boule BD(m, r) (distinguer suivant que r ≤ d(p, m) ou non).

Exercice 2.3 : Métrique discrète

Soit X un ensemble non vide. Munissons-le de la distance discrète : d(x, x) = 0 , d(x, y) = 1 si x ≠ y. Quelles sont les parties ouvertes de X ? fermées ? Quelle est l'adhérence d'un sous-ensemble A de X ? l'intérieur ? Quels sont les voisinages d'un point de X ?

Exercice 2.4 : Métrique sur R

Soient a, b ∈ R tels que a < b. R est muni de sa distance usuelle.

Prouver que ]a, b[, ]−∞, a[ et ]a, +∞[ sont des ouverts de R.
Prouver que [a, b], ]−∞, a] et [a, +∞[ sont des fermés de R.
Prouver que [a, b[ n'est ni ouvert, ni fermé dans R.

Exercice 2.5 : Ultramétrique

Soit X un ensemble non vide. On suppose que X est muni d'une distance ultramétrique, c'est à dire que, pour tous x, y, z ∈ X, on a d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(y, z)}.

Soient x, y, z ∈ X tels que d(x, z) ≠ d(y, z). Montrer que d(x, y) = max{d(x, z), d(y, z)} (en d'autres termes, tout triangle dans X est isocèle).
Montrer que tout point d'une boule est centre de cette boule. Prouver qu'une boule ouverte ou fermée de X est ouverte et fermée dans X.
Si deux boules ouvertes (resp. fermées) ont un point commun, l'une est contenue dans l'autre.
Soit E un ensemble non vide et S l'ensemble des suites de points de E. Si u = (un)n et v = (vn)n sont des éléments distincts de S, on note : ω(u, v) = inf{n ∈ N; un ≠ vn}. On pose d(u, u) = 0 et d(u, v) = 1 / (1 + ω(u, v)) si u ≠ v. Montrer que d est une distance ultramétrique sur S.

2.2 Adhérence et intérieur

Exercice 2.6 : Exemples d'intérieurs et d'adhérence I

Soient A, B les parties de R suivantes : A = {1/n; n ∈ N*} , B = {1/n + 1/p; n, p ∈ N*}. Déterminer l'intérieur, l'adhérence et l'ensemble dérivé de A et B.

Exercice 2.7 : Exemples d'intérieurs et d'adhérence II

Soit A = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ (Q ∩ ]2, 3[) ∪ {4}. Déterminer A°, Ā, (A°)°, Ā°, (A°)°, A°.

Exercice 2.8 : Opérations élémentaires sur l'adhérence et l'intérieur I

Soient X un espace métrique, A et B des parties de X telles que A ⊂ B. Montrer que Ā ⊂ B et A° ⊂ B°.

Exercice 2.9 : Opérations élémentaires sur l'adhérence et l'intérieur II

Soient X un espace métrique, A et B des parties de X. Montrer que Ā ∪ B = A ∪ B. Montrer que Ā ∩ B ⊂ A ∩ B. A-t-on toujours l'égalité ? Comparer l'intérieur de A ∪ B avec A° ∪ B°. Comparer de même l'intérieur de A ∩ B avec A° ∩ B°.

Exercice 2.10 : La “saucisse de Minkowski”

Soit A une partie non vide d'un espace métrique X. Pour r ∈ R*+, on pose B(A, r) = {x ∈ X; d(x, A) < r}.

Montrer que B(A, r) est un ouvert de X.
Établir : B(A, r) = ∪_x∈A B(x, r) , Ā = ∩_r>0 B(A, r).

Exercice 2.11 : Généralités sur les adhérences, I

Soit E un espace métrique, (Ai)i∈I une famille de parties de E. On suppose que ∪_i∈I A_i est fermé. Montrer que : ∪_i∈I Ā_i = ∪_i∈I Ā_i.

Exercice 2.12 : Généralités sur les adhérences, II

Soit E un espace métrique, A et B deux parties de E telles que A ∩ B = Ā ∩ B = ∅. Montrer que si A ∪ B est fermé, alors A et B sont fermés.

Exercice 2.13 : Généralités sur les adhérences, III

Soit U une partie d'un espace métrique X. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

U est un ouvert de X
Pour toute partie A de X, on a Ā ∩ U = A ∩ U

Exercice 2.14 : Points isolés

Soit E un espace métrique, A une partie de E sans point isolé. Montrer que Ā n'a pas de point isolé.

Exercice 2.15 : Une difficulté sur les notions d'intérieur et d'adhérence

Soient X un espace métrique, A une partie de X et B une partie de A. On munit A de la métrique induite par celle de X.

Montrer que l'intérieur de B dans l'espace métrique A contient l'intérieur de B dans l'espace métrique X.
On suppose que A est ouverte dans X. Montrer que l'intérieur de B dans l'espace métrique A coïncide avec l'intérieur de B dans l'espace métrique X.

2.3 Applications

Exercice 2.16 : Le diamètre

Le diamètre δ(A) d'une partie A d'un espace métrique X est défini par δ(∅) = 0 et, si A non vide, par δ(A) = sup{d(x, y), x, y ∈ A} ∈ R+ ∪ {+∞}

Soient A, B des parties de X. Établir :
1. δ(A) = 0 si et seulement si A contient au plus un point.
2. Si A ⊂ B , alors δ(A) ≤ δ(B).
3. δ(A) = δ(Ā).
4. Si A ∩ B ≠ ∅ alors δ(A ∪ B) ≤ δ(A) + δ(B).
Soient A, B, C des parties non vides de X. Montrer les assertions suivantes :
1. d(A, B) = d(Ā, B).
2. d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) + δ(B).
3. d(A, B ∪ C) = min{d(A, B), d(A, C)}.

Exercice 2.17 : Sur la densité, I

Soient X un espace métrique, A une partie de X et B une partie de A. On munit A de la métrique induite par celle de X. On suppose que A est dense dans X et que B est dense dans A. Montrer que B est dense dans X.

Exercice 2.18 : Sur la densité, II

Soit E un espace métrique non vide, A une partie de E. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

A° ≠ ∅.
Pour toute partie U de E, dense dans E, on a : A ∩ U ≠ ∅.

Exercice 2.19 : Sur la densité, III

Soient un espace métrique X, un ouvert U et A une partie dense de X. Montrer que U = A ∩ U.

Exercice 2.20 : La notion de frontière

Soit A une partie d'un espace métrique X. On note Fr(A) la frontière de A.

Montrer que Fr(A) = ∅ si et seulement si A est ouverte et fermée dans X.
Montrer que si A est fermée, Fr(A) est d'intérieur vide.
Démontrer que A est ouverte si et seulement si A ∩ Fr(A)) = ∅.
Prouver que A est fermée si et seulement si Fr(A) ⊂ A.
Établir : Fr(A°) ⊂ Fr(A) , Fr(Fr(Fr(A))) = Fr(Fr(A)).

Exercice 2.21 : Un exercice classique

Soit (xn)n>1 une suite de réels positifs vérifiant, pour tous n, p ∈ N*: (n + p)xn+p ≤ nxn + pxp

Montrer que, si k, n ∈ N*, on a xkn ≤ xn (raisonner par récurrence sur k).
Soit l = inf{xn, n ∈ N*}. Prouver que la suite (xn)n converge vers l.

Exercice 2.22 : Résultats fins sur les suites convergentes

Soit (xn)n une suite de réels strictement positifs de limite nulle.

Soit S l'ensemble des n ∈ N tels que xm ≤ xn pour tout m > n. Montrer que S est infini.
Soit T l'ensemble des n ∈ N tels que xm > xn pour tout m ≤ n. Montrer que T est infini.

Exercice 2.23 : Un théorème de point fixe

Soit f, g ∈ C0([0, 1], [0, 1]) vérifiant f ◦ g = g ◦ f.

Soit S1 = {x ∈ [0, 1]; x ≤ g(x)}. Montrer que S1 est non vide. Soit c1 la borne supérieure de S1. Prouver que c1 ∈ S1. Comparer c1 et g(c1).
Montrer qu'il existe a ∈ [0, 1] tel que f(a) = g(a).

Exercice 2.24 : Un autre théorème de point fixe

Soit f ∈ C0(R, R). Pour n ∈ N*, on note fn l'itérée d'ordre n de f. On suppose qu'il existe a ∈ R tel que la suite (xn)n>1, définie par xn = 1/n [f(a) + f²(a) + · · · + fn(a)] soit bornée. Prouver que f a au moins un point fixe.

Exercice 2.25 : Définitions alternatives de la continuité

Soit f ∈ F(X, Y), où X, Y sont des espaces métriques. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

f est continue.
Pour toute partie A de X, on a f(Ā) ⊂ f(A).
Pour toute partie B de Y, on a f⁻¹(B°) ⊂ [f⁻¹(B)]°.
Pour toute partie B de Y, on a f⁻¹(B) ⊂ f⁻¹(B).

Exercice 2.26 : Séparabilité des fermés

Soient A, B des parties fermées, non vides, et disjointes de l'espace métrique X.

Montrer que d(x, A) + d(x, B) > 0 pour tout x ∈ X. Si x ∈ X, on pose : f(x) = d(x, A) / (d(x, A) + d(x, B))
Montrer que f : X → R est continue, et que f(x) = 0 si x ∈ A et f(x) = 1 si x ∈ B.
En déduire qu'il existe des ouverts U et V de X tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V = ∅.

Exercice 2.27 : Topologies équivalentes et normes équivalentes

Pour x, y ∈ [0, 1], on pose : d(x, y) = |x − y| , D(x, y) = |√x − √y|

Montrer que d et D sont des distances sur [0, 1], y définissant les mêmes ouverts.
Existe-t-il k > 0 tel que D(x, y) ≤ kd(x, y) pour tous x, y ∈ [0, 1] ?

Exercice 2.28 : Continuité et continuité uniforme I

Prouver que l'application de R dans R définie par t ↦ sin(t²) est continue, bornée, mais non uniformément continue.

Exercice 2.29 : Continuité et continuité uniforme II

Soit f ∈ C0(R, R) admettant des limites réelles l et L en -∞ et en +∞. Prouver que f est uniformément continue.

Exercice 2.30 : Continuité et suites

Soit (pn, qn) une suite dans Z × N* telle que la suite pn/qn a une limite α ∈ R \ Q. Établir : lim_n|pn| = lim_nqn = +∞
Étudier la continuité des applications suivantes :
1. f ∈ C0(R, R), avec f(x) = x si x ∈ R \ Q et f(x) = p sin(1/q) si x = p/q ∈ Q et pgcd(p, q) = 1.
2. f ∈ C0(R*+, R), avec f(x) = 0 si x ∈ R \ Q et f(x) = 1 / (p+q) si x = p/q ∈ Q et pgcd(p, q) = 1.
3. f ∈ C0(R*+, R), avec f(x) = x / (1+x²) si x ∈ R \ Q et f(x) = pq / (p²+q²) si x = p/q ∈ Q et pgcd(p, q) = 1.

Espaces métriques compacts

Par homéomorphisme on entend une bijection continue dont l'inverse est également continue.

Exercice 3.1 : Quelques compacts bien connus

Soit X espace métrique.

Soient (xn)n∈N une suite convergente dans X et sa limite l. Montrer que {l} ∪ {xn; n ∈ N} est une partie compacte de X.
Montrer qu'un espace métrique de cardinal fini est toujours compact.
À quelle condition un ensemble X muni de la métrique du Pb 3 feuille 1 est-il compact ?
L'ensemble des applications de {0, 1} dans [0, 1] est-il compact ?
Montrer que l'ensemble des réels de [0, 1] dont l'écriture décimale ne comporte que des 0 et des 7 est compact.

Exercice 3.2 : Séparation des compacts

Soient A et B des compacts non vides et disjoints de X. En raisonnant sur des recouvrements, prouver qu'il existe des ouverts U et V de X tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V = ∅.

Exercice 3.3 : Suite décroissante de compacts, I

Soient (An)n∈N une suite décroissante de compacts de X, et A leur intersection. Soit U un ouvert de X contenant A. Prouver qu'il existe n ∈ N tel que An ⊂ U.

Exercice 3.4 : Suite décroissante de compacts, II

Soient (An)n∈N une suite décroissante de compacts de X et f ∈ C0(X, Y).

Établir : f(∩_n>0 An) = ∩_n>0 f(An).
Ce résultat est-il encore vrai si les An sont seulement supposés fermés ?
On suppose X compact et non vide. Soit g ∈ C0(X, X). Prouver qu'il existe un compact non vide B de X tel que g(B) = B.

Exercice 3.5 : Plongements d'un compact

Soient f ∈ C0(X × Y, Z), A et B des compacts de X et Y, et W un ouvert de Z. On suppose que f(A × B) ⊂ W. Prouver qu'il existe des ouverts U et V de X et Y tels que : A ⊂ U , B ⊂ V , f(U × V) ⊂ W.

Exercice 3.6 : La fonction nulle

On suppose X compact. Soit F une partie non vide de C0(X, R) vérifiant les conditions suivantes :

Si f, g ∈ F, alors fg ∈ F.
Pour tout x ∈ X, il existe fx ∈ F et Vx ∈ VX(x) tels que fx|Vx = 0.

Prouver que F contient l'application nulle sur X.

Exercice 3.7 : Une caractérisation des ouverts de Rn

On suppose X compact. Soient f1, . . . , fn ∈ C0(X, R). On suppose que, si x, y sont des points distincts de X, il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que fi(x) ≠ fi(y). Prouver que X est homéomorphe à une partie de Rn.

Exercice 3.8 : Bornes sup. et inf.

On suppose X compact. Soit f ∈ C0(X × Y, R). Pour y ∈ Y, on pose : g(y) = sup{f(x, y); x ∈ X} , h(y) = inf{f(x, y); x ∈ X}. Montrer que g et h définissent des applications continues de Y dans R.

Exercice 3.9 : Une caractérisation des fonctions continues

Soit f : X → Y une application fermée (c'est à dire telle que l'image d'un fermé est un fermé). On suppose que, pour tout y ∈ Y, f⁻¹(y) est un compact de X.

Soit B un compact de Y. Montrer que f⁻¹(B) est un compact de X.
On suppose Y compact. Montrer que f est continue.

Exercice 3.10 : Compacité locale et fonctions continues

On suppose X localement compact. Soit f : X → Y une application continue et ouverte.

Prouver que f(X) est localement compact.
On suppose f surjective. Soit B un compact de Y. Montrer qu'il existe un compact A de X tel que B = f(A).

Exercice 3.11 : Les compacts sont séparables

Montrer que tout espace métrique compact contient une partie dénombrable dense.

Exercice 3.12 : Isométries I

Une application f : X → Y est appelée une isométrie si df(x), f(y) = d(x, y) pour tous x, y ∈ X. On suppose X compact. Soit u: X → X vérifiant, pour tous x, y ∈ X : d(x, y) ≤ d(u(x), u(y)).

Soient x, y ∈ X. On pose x0 = x, y0 = y et, pour n ∈ N : x_n+1 = u(x_n) , y_n+1 = u(y_n). Prouver que (x, y) est une valeur d'adhérence de la suite (x_n, y_n)_n∈N dans X × X. En déduire que u est une isométrie (Astuce : appliquer le résultat précédent au compact X × X).
Montrer que u(X) = X.
Si X n'est pas supposé compact, une isométrie de X dans lui-même est-elle nécessairement surjective ?
On suppose que X et Y sont compacts et qu'il existe des isométries f : X → Y et g : Y → X. Montrer que Y = f(X) et X = g(Y).

Exercice 3.13 : Isométries II

On suppose X compact et, on note P*(X) l'ensemble des parties non vides de X.

Soit T : X → P*(X) une application telle que, pour tous x, y ∈ X et tous a ∈ T(x), b ∈ T(y), on ait : d(x, y) ≤ d(a, b). Montrer que, si x ∈ X, T(x) est réduit à un point. Prouver que T induit une isométrie de X sur lui-même.
Soit u: X → X une surjection vérifiant d(u(x), u(y)) ≤ d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer que u est une isométrie.

Exercice 3.14 : Une distance sur l'ensemble des parties compactes

On note K l'ensemble des parties compactes non vides de X. Si a ∈ X, ka désigne la partie {a} de X (donc ka ∈ K). Pour A, B ∈ K, on pose : θ(A, B) = sup{d(x, B); x ∈ A} , D(A, B) = sup{θ(A, B), θ(B, A)}.

Soient A, B, C ∈ K.
1. Prouver que θ(A, B) ∈ R+ et, qu'il existe x0 ∈ A tel que θ(A, B) = d(x0, B).
2. Montrer que θ(A, B) = 0 si et seulement si A ⊂ B.
3. Prouver que θ(A, C) ≤ θ(A, B) + θ(B, C). En déduire que D est une distance sur K.
4. Pour tout ε > 0, on appelle ε-saucisse de Minkowski d'un ensemble A l'union des boules de rayon ε et centrées en un point de A. Montrer que pour tous compacts A, B, et tout η > θ(A, B), A est inclus dans l'η-saucisse de Minkowski de B, et, réciproquement, B est inclus dans l'η-saucisse de Minkowski de A.
5. Montrer que pour tous compacts A, B, si A est inclus dans l'η-saucisse de Minkowski de B, et, réciproquement, B est inclus dans l'η-saucisse de Minkowski de A, alors η ≥ θ(A, B).

Exercice 3.15 : Compacts d'un espace vectoriel

Soient A, B des parties non vides de E. On note A + B l'ensemble des x + y, avec x ∈ A et y ∈ B.

On suppose A ou B ouverte. Prouver que A + B l'est aussi.
Si A et B sont compactes, A + B l'est également.
Si A est compacte et B fermée, A + B est fermée.
Donner un exemple de deux parties fermées A, B de R² telles que A + B ne soit pas fermée.

Exercice 3.16 : Compacts d'un espace vectoriel

Soient A, B des parties compactes de E et S la réunion de tous les segments de droites joignant un point de A et un point de B. Montrer que S est un compact de E.

Exercice 3.17 : Tiré en arrière et norme infinie

On suppose X et Y compacts. Soit f ∈ C0(X, Y). Pour u ∈ C0(X, R) et v ∈ C0(Y, R), on pose : ||u|| = sup{|u(x)|; x ∈ X} , ||v|| = sup{|v(y)|; y ∈ Y}. On obtient ainsi des normes sur C0(X, R) et C0(Y, R). Soit : ϕ: C(Y, R) → C0(X, R) , v → v ◦ f. Prouver que ϕ est linéaire, continue, et de norme 1.

Exercice 3.18 : Compacité des fonctions à dérivées bornées

Soit I = [0, 1]. On munit C(I, I) de la métrique infinie, c'est à dire d(f, g) = sup_x∈I |f(x)−g(x)|.

C0(I, I) est-il compact ?
(difficile) Montrer que l'ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée est toujours majorée par 1 en valeur absolue est une partie compacte de C(I, I). Indication : prendre une suite fn et faire converger f_n(k/2^m) pour tout k, m.

Exercice 3.19 : Hahn-Banach (pas simple non plus)

Soient C et D deux convexes compacts de R². Montrer qu'il existe une droite n'intersectant aucun des deux convexes et "séparant" ceux-ci (c'est à dire telle que les convexes C et D ne soient pas du même côté de la droite).

Exercice 3.20 : English compact

Is the empty set a compact set ?

Espaces métriques complets

4.1 Complétude : Généralités

Exercice 4.1 : Complétude et intersection

Soient A et B des parties complètes de X. Montrer que A ∪ B est une partie complète de X.

Exercice 4.2 : Complétude et intersections

On suppose X complet. Soient f ∈ C0(X, Y) et (An)n une suite décroissante de fermés de X dont le diamètre tend vers 0. Établir : f(∩_n>0 An) = ∩_n>0 f(An).

Exercice 4.3 : Définitions équivalentes de la complétude

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) X est complet
(ii) Pour toute suite décroissante (An)n de parties fermées non vides de X dont le diamètre tend vers 0, l'intersection des An est non vide.

Exercice 4.4 : Complétude et homéomorphisme

Soit f : X → Y un homéomorphisme. On suppose qu'il existe a ∈ R*+ tel que, pour tous x, y ∈ X, on ait d(x, y) ≤ a d(f(x), f(y)). Montrer que si X est complet, Y l'est aussi.

Exercice 4.5 : Généralisation de l'exercice précédent

Soit f : X → Y un homéomorphisme. On suppose que f est une application uniformément continue. Montrer que si Y est complet, X l'est aussi.

Exercice 4.6 : Contre-exemple à la réciproque de l'exercice précédent

Donner un exemple d'espace métrique X, Y et d'une application f : X → Y vérifiant les conditions :

f est un homéomorphisme de X sur Y et est une application uniformément continue.
X est complet et Y ne l'est pas.

Exercice 4.7 : Une métrique exotique

Soit E = {a1, a2, a3, . . .} un ensemble dénombrable infini. On pose d(ap, ap) = 0 et si p ≠ q : d(ap, aq) = 1 + 1/p + 1/q

Prouver que d est une distance sur E et que l'espace métrique (E, d) est complet.
Soit f : E → E, an → an+1. Montrer que f diminue strictement les distances mais que f n'a aucun point fixe.
Construire une application u de E dans E, ayant un point fixe unique a, vérifiant d(u(x), u(y)) < d(x, y) si x ≠ y et telle que, pour x ∈ E \ {a} la suite (uⁿ(x))n∈N soit divergente.

Exercice 4.8 : Convergence uniforme et contre-exemple important

On munit l'espace vectoriel des applications bornées de R dans lui-même de la norme de la convergence uniforme, ||f||∞ = sup{|f(x)|, x ∈ R}. Si n ∈ N, on note fn l'application de R dans lui-même, nulle sur ]−∞, n − 1] et sur [n + 1, +∞[ et telle que : fn(t) = t + 1 − n si n − 1 < t < n, fn(t) = −t + n + 1 si n ≤ t < n + 1

Montrer qu'aucune suite extraite de la suite (fn)n n'est de Cauchy.
Que n'est pas la boule unité fermée de l'espace vectoriel des applications bornées de R dans lui-même ?

Exercice 4.9 : Ultramétrique

On suppose que la distance d sur X est ultramétrique. Montrer qu'une suite (xn)n∈N dans X est de Cauchy si et seulement si d(xn, xn+1) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
On reprend l'exemple d'espace ultramétrique (S, d) de l'exercice 5 du TD 1. Prouver que (S, d) est complet.
On munit N de la métrique suivante : d(n, n) = 0 et d(n, m) = 1/2k où k est le plus grand entier tel que 2k divise n − m. Montrer que l'on définit ainsi une ultra-métrique et que la suite u_n = Σ_i=0ⁿ 2ⁱ est de Cauchy.

4.2 Complétude et espaces de fonctions

FAQ sur les espaces métriques

Qu'est-ce qu'un espace métrique compact ?

Un espace métrique compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente. De manière équivalente, il est caractérisé par le fait que tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. Les compacts sont importants car les fonctions continues y atteignent leurs bornes et y sont uniformément continues.

Quelle est la différence entre borne supérieure et maximum ?

La borne supérieure (supremum) d'un ensemble de nombres est le plus petit majorant de cet ensemble. Le maximum est la borne supérieure si elle appartient à l'ensemble. Par exemple, pour l'intervalle ]0, 1[, la borne supérieure est 1, mais il n'y a pas de maximum car 1 n'appartient pas à l'intervalle. Pour l'intervalle [0, 1], la borne supérieure est 1 et le maximum est 1.

Quand une fonction est-elle uniformément continue ?

Une fonction f est uniformément continue si, pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour toutes paires de points x et y dans le domaine de la fonction, si la distance entre x et y est inférieure à δ, alors la distance entre f(x) et f(y) est inférieure à ε. La particularité est que le même δ fonctionne pour tous les points du domaine, contrairement à la continuité simple où δ peut dépendre du point.