Analyse 3 m135 td fonctions de plusieurs variables analyse 3
Télécharger PDFFstm-Mohammedia Analyse 3- M135 A.U: 2014-2015 UNIVERSITE HASSAN-II MOHAMMEDIA ´ Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques A.U:2014/2015 Parcours: MIP Module: M135 Cours et travaux dirig´es assur´es par: M.HARFAOUI S.SAJID Deuxi`eme fiche Fonctions de plusieurs variables et calcul int´egral.
Exercice 0.1 calculer les Jacobiens des fonctions suivantes: 1. f(x,y) = (x2 + yx2 + y,x − y2) 2. f(x,y) = ( x2 y2 + 1,x − y) 3. f(u,v) = (u cos(v),u sin(v)) 4. f(u,v,w) = (u cos(v),u sin(v),w) 5. x = u2v, et y = uv2,u ≥ 0,v ≥ 0
Exercice 0.2 calculer les Jacobiens des fonctions suivantes: 1. f(u,v,w) = (x,y,z) = (2u − 1,3v − 4,12(w − 4)) 2. f(x,y,z) = (x+yx2 − z,x − y2,x2 + y2 + xyz) 3. f(r,θ,ϕ) = (x,y,z) = (r cos(θ),r sin(θ),ϕ), 4. f(u,v,w) = (u cos(v),u sin(v),w2);
Exercice 0.3 1. Montrer que la fonction f(x,y) = ³x + y 2,x − y 2 ´ est bijective et d´eterminer sa fonction r´eciproque. 2. R´esoudre le syst`eme½u = 2x − 3y, v = −x + y pour x et y en termes de u et v. Puis trouver la valeur du Jacoien D(x,y) D(u,v). Fonctions `a plusieurs variables 1/4 El´ements sous droits d’auteur ´
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Exercice 0.4 Repr´esenter les domaines d’int´egration et calculer les int´egrales doubles suivantes en changeant l’ordre d’int´egration si n´ecessaire: 1. I1 = Z 2 −1 Z 4 Z x+1 x2−1 Z √y (x2 + y)dxdy. 2. I2 = 0 (xy + y3)dxdy. y/2 3. I3 = Z 10 0 Z 1/y 0 yexydxdy. I3 = 9(e − 1). 4. I4 = Z 2√ln(3) 0 Z√ln(3) y/2 ex2dxdy. I4 = 2. 5. I5 = −√1−y24px2 + y2 Z 1 Z 0 1 + x2 + y2dxdy. I6 = 4π − π2. −1 6. I6 = Z 1 −1 Z y2−1 2y2−2 dxdy. I6 =43. 7. I7 =
Exercice 0.5 Z π 0 Z π sin(y) ydxdy. I7 = 2. x Calculer les int´egrales doubles suivantes: Z Z a2+y2 1. I1 = D1 Z Z xy2dxdy, o`u D1 :x2 dxdy b2− 1 ≤ 0,x ≥ 0,y ≥ 0. 2. I2 = (x + y)2, o`u D2 : x + y ≤ 3,x ≥ 1,y ≥ 1. D2 3. I3 =RRD3e−y2dxdy, o`u D3 : 0 ≤ x ≤ 3,x3≤ y ≤ 1. Z Z 4. I4 =
Exercice 0.6 x2dxdy, o`u D4 est le demi-disque de rayon R et de centre Ω(R,0). D4 Calculer la moyenne de la fonction f sur le disque D de centre O(0,0) et de rayon a dans les cas suivants: 1. f(x,y) = px2 + y2. I =1πa2Z ZDpx2 + y2dxdy =2a3. 2. f(x,y) = pa2 − x2 − y2. I =1πa2Z ZDpa2 − x2 − y2dxdy =2a3. Fonctions `a plusieurs variables 2/4 El´ements sous droits d’auteur ´
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Exercice 0.7 Calculer,en utilisant le changement de variables, les int´egrales doubles suivantes: 1. I1 = Z Z D1 Z Z dxdy 1 + x2 + y2, D1 : x2 + y2 ≤ 1. dxdy 2. I2 = D2 rx2 a2+y2 ,o`u D2 est la partie du plan comprise entre les ensembles a2+y2 b2− 1 x2 b2− λ2 = 0 etx2 a2+y2 3. I3 = Z Z D3 b2− µ2 = 0, λ > µ > 1. (1 + x2 + y2)−4dxdy, D1 : x2 + y2 ≤ R2. I =4π3√R3 4. I4 = 5. I5 = 6. I6 = 7. I7 = Z Z 2.(1 + px2 + y2)−1dxdy, o`u D4 : −1 ≤ x ≤ 0, −√1 − x2 ≤ y ≤ 0. I4 = (1 − ln 2).π. D4 Z Z x2 + y2dxdy, o`u D5 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤p1 − (x − 1)2. I5 =π2+ 1. x + y D5 Z Z e−(x2+y2)dxdy, o`u D6 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤√1 − x2. I6 =π(e − 1) 4e. D6 Z Z (1 + x2 + y2)2dxdy, o`u D7 : −1 ≤ x ≤ 0, −√1 − x2 ≤ y ≤ 0. I7 = π. 2 D7 8. I8 = ZZ D exp
³x3 + y3 xy ´ dxdy o`u D8 = {(x,y) : y2 ≤ 2px,x2 ≤ 2py}, p > 0. (poser x = u2v, et y = uv2,u ≥ 0,v ≥ 0).
Exercice 0.8 Repr´esenter les domaines d’int´egration et calculer les int´egrales triples suivantes: 1. I1 = Z 1 0 Z x2 1−x Z 2x+y x (2x + y2 + z)dxdydz, 2. I2 =
Exercice 0.9 Z 1 0 ³ ZZ D (xy + z2)dxdy´dz, o`u D : x2 ≤ y ≤ 1. Repr´esenter les domaines d’int´egration et calculer les int´egrales triples suivantes: 1. I1 = Z 1 0 Z 1 0 Z 1 (x2 + y2 + z2)dxdydz, I1 = 1. 0 2. I2 = Z√2 0 Z 3y 0 Z 8−x2−y2 x2+3y2 dydxdz, I2 = −6. 3. I1 = Z 1 0 Z π 0 Z π y sin(z)dxdydz, I3 =π32(1 − cos(1)). 0 Fonctions `a plusieurs variables 3/4 El´ements sous droits d’auteur ´
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Exercice 0.10 Repr´esenter les domaines d’int´egration et calculer les int´egrales triples suivantes: Z Z Z 1. I1 = 2. I2 =
Exercice 0.11 D4 Z Z Z D2 (x + y + z)dxdydz, o`u D1 : x2 + y2 + z2 ≤ R2,z ≥ 2. zxypx2 + 4y2dxdydz o`u D2 = {(x,y,z) : x2 + y2 ≤ 1,x ≥ 0,y ≥ 0 et 0 ≤ z ≤ 1}. Calculer les int´egrales triples suivantes: Z Z Z 1. I1 = 2. I2 =
Exercice 0.12 D1 Z Z Z D2 z2dxdydz, D1: x2 + y2 ≤ R2,0 ≤ z ≤ h. dxdydz p1 + x2 + y2 + z2, D2: b2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ a2. Soit et les ensembles d´efinis par: Ω = {(x,y,z) ∈ R3/x2 + y2 + z4 ≤ a2}, et D = {(x,y) ∈ R2+/a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}. 1. Calculer le volume du domaine Ω. 2. Calculer le moment d’inertie Jz de Ω par rapport a l’axe (z’Oz). 3. D´eterminer les coordonn´ees du centre de gravit´e D.
Exercice 0.13 Calculer V le volume du domaine Ω de R3limit´e par les paraoloides d’´eqations: z = x2 + y2et z = 8 − x2 − y2. V = 16.π.
Exercice 0.14 Calculer V le volume du domaine Ω de R3limit´e par la paraoloide d’´eqation : z = x2 + y2et le plan d’´eqation z = 2y. V = 16.π.
Exercice 0.15 Calculer V le volume du domaine Ω de R3limit´e par la paraoloide d’´eqation z = 4 − 4(x2 + y2) et la surface d’´eqation z = (x2 − y2)2 − 1. V =8.π3. Fonctions `a plusieurs variables 4/4 El´ements sous droits d’auteur ´