Analyse 3 m135 td fonctions de plusieurs variables analyse 3
Télécharger PDFDeuxième Fiche : Fonctions de Plusieurs Variables et Calcul Intégral
Exercice 1: Calcul des Jacobiennes
1. Calculer les jacobiens des fonctions suivantes :
- f(x,y) = (x² + yx² + y, x − y²)
- f(x,y) = (x²/y² + 1, x − y)
- f(u,v) = (u cos(v), u sin(v))
- f(u,v,w) = (u cos(v), u sin(v), w)
- x = u²v, et y = uv², u ≥ 0, v ≥ 0
Exercice 2: Calcul des Jacobiennes (Suite)
2. Calculer les jacobiens des fonctions suivantes :
- f(u,v,w) = (x,y,z) = (2u − 1, 3v − 4, 12(w − 4))
- f(x,y,z) = (x+yx² − z, x − y², x² + y² + xyz)
- f(r,θ,ϕ) = (x,y,z) = (r cos(θ), r sin(θ), ϕ)
- f(u,v,w) = (u cos(v), u sin(v), w²)
Exercice 3: Bijectivité et Jacobien
- Montrer que la fonction f(x,y) = ((x + y)/2, (x − y)/2) est bijective et déterminer sa fonction réciproque.
- Résoudre le système {u = 2x − 3y, v = −x + y} pour x et y en termes de u et v. Puis trouver la valeur du jacobien D(x,y)/D(u,v).
Exercice 4: Intégrales Doubles et Changement d'Ordre
Représenter les domaines d'intégration et calculer les intégrales doubles suivantes en changeant l'ordre d'intégration si nécessaire :
- I₁ = ∫ from −1 to 2 ∫ from x²−1 to x+1 (x² + y) dy dx.
- I₂ = ∫ from 0 to 4 ∫ from y/2 to √y (xy + y³) dx dy.
- I₃ = ∫ from 0 to 10 ∫ from 0 to 1/y y exy dx dy. I₃ = 9(e − 1).
- I₄ = ∫ from 0 to 2√ln(3) ∫ from y/2 to √ln(3) ex² dx dy. I₄ = 2.
- I₅ = ∫ from 0 to 1 ∫ from −√(1 − y²) to √(1 − y²) (4√(x² + y²)) / (1 + x² + y²) dx dy. I₅ = 4π − π².
- I₆ = ∫ from −1 to 1 ∫ from y²−1 to 2y²−2 dx dy. I₆ = 4/3.
- I₇ = ∫ from 0 to π ∫ from x to π sin(y)/y dy dx. I₇ = 2.
Exercice 5: Calcul d'Intégrales Doubles
Calculer les intégrales doubles suivantes :
- I₁ = ∫∫D₁ xy² dx dy, où D₁ : x²/a² + y²/b² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
- I₂ = ∫∫D₂ (x + y)² dx dy, où D₂ : x + y ≤ 3, x ≥ 1, y ≥ 1.
- I₃ = ∫∫D₃ e−y² dx dy, où D₃ : 0 ≤ x ≤ 3, x/3 ≤ y ≤ 1.
- I₄ = ∫∫D₄ x² dx dy, où D₄ est le demi-disque de rayon R et de centre Ω(R,0).
Exercice 6: Moyenne de Fonction sur un Disque
Calculer la moyenne de la fonction f sur le disque D de centre O(0,0) et de rayon a dans les cas suivants :
- f(x,y) = √(x² + y²). La moyenne I = (1/(πa²)) ∫∫D √(x² + y²) dx dy = 2a/3.
- f(x,y) = √(a² − x² − y²). La moyenne I = (1/(πa²)) ∫∫D √(a² − x² − y²) dx dy = 2a/3.
Exercice 7: Intégrales Doubles avec Changement de Variables
Calculer, en utilisant le changement de variables, les intégrales doubles suivantes :
- I₁ = ∫∫D₁ dx dy / (1 + x² + y²), D₁ : x² + y² ≤ 1.
- I₂ = ∫∫D₂ dx dy / √(x²/a² + y²/b²), où D₂ est la partie du plan comprise entre les ensembles x²/a² + y²/b² = λ² et x²/a² + y²/b² = µ², avec λ > µ > 1.
- I₃ = ∫∫D₃ (1 + x² + y²)−4 dx dy, D₃ : x² + y² ≤ R².
- I₄ = ∫∫D₄ 2(1 + √(x² + y²))−1 dx dy, où D₄ : −1 ≤ x ≤ 0, −√(1 − x²) ≤ y ≤ 0. I₄ = (1 − ln 2)π.
- I₅ = ∫∫D₅ (x² + y²) / (x + y) dx dy, où D₅ : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √(1 − (x − 1)²). I₅ = π/2 + 1.
- I₆ = ∫∫D₆ e−(x²+y²) dx dy, où D₆ : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √(1 − x²). I₆ = π(e − 1) / (4e).
- I₇ = ∫∫D₇ (1 + x² + y²)² dx dy, où D₇ : −1 ≤ x ≤ 0, −√(1 − x²) ≤ y ≤ 0. I₇ = π/2.
- I₈ = ∫∫D₈ exp((x³ + y³) / (xy)) dx dy où D₈ = {(x,y) : y² ≤ 2px, x² ≤ 2py}, p > 0. (Poser x = u²v, et y = uv², u ≥ 0, v ≥ 0).
Exercice 8: Intégrales Triples
Représenter les domaines d'intégration et calculer les intégrales triples suivantes :
- I₁ = ∫ from 0 to 1 ∫ from 1−x to x² ∫ from x to 2x+y (2x + y² + z) dz dy dx.
- I₂ = ∫ from 0 to 1 (∫∫D (xy + z²) dx dy) dz, où D : −1 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1.
Exercice 9: Intégrales Triples (Suite)
Représenter les domaines d'intégration et calculer les intégrales triples suivantes :
- I₁ = ∫ from 0 to 1 ∫ from 0 to 1 ∫ from 0 to 1 (x² + y² + z²) dx dy dz, I₁ = 1.
- I₂ = ∫ from 0 to √2 ∫ from 0 to 3y ∫ from x²+3y² to 8−x²−y² dz dx dy, I₂ = −6.
- I₃ = ∫ from 0 to 1 ∫ from 0 to π ∫ from 0 to π y sin(z) dx dy dz, I₃ = π³(1 − cos(1))/2.
Exercice 10: Intégrales Triples (Suite)
Représenter les domaines d'intégration et calculer les intégrales triples suivantes :
- I₁ = ∫∫∫D₁ (x + y + z) dx dy dz, où D₁ : x² + y² + z² ≤ R², z ≥ 2.
- I₂ = ∫∫∫D₂ zxy√(x² + 4y²) dx dy dz où D₂ = {(x,y,z) : x² + y² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 et 0 ≤ z ≤ 1}.
Exercice 11: Calcul d'Intégrales Triples
Calculer les intégrales triples suivantes :
- I₁ = ∫∫∫D₁ z² dx dy dz, D₁: x² + y² ≤ R², 0 ≤ z ≤ h.
- I₂ = ∫∫∫D₂ dx dy dz / √(1 + x² + y² + z²), D₂: b² ≤ x² + y² + z² ≤ a².
Exercice 12: Volume, Moment d'Inertie et Centre de Gravité
Soient Ω et D les ensembles définis par :
- Ω = {(x,y,z) ∈ R³ / x² + y² + z⁴ ≤ a²}
- D = {(x,y) ∈ R²⁺ / a² ≤ x² + y² ≤ b²}
- Calculer le volume du domaine Ω.
- Calculer le moment d'inertie Jz de Ω par rapport à l'axe (z'Oz).
- Déterminer les coordonnées du centre de gravité D.
Exercice 13: Volume d'un Domaine (Paraboloïdes)
Calculer V le volume du domaine Ω de R³ limité par les paraboloïdes d'équations : z = x² + y² et z = 8 − x² − y². V = 16π.
Exercice 14: Volume d'un Domaine (Paraboloïde et Plan)
Calculer V le volume du domaine Ω de R³ limité par la paraboloïde d'équation : z = x² + y² et le plan d'équation z = 2y. V = 16π.
Exercice 15: Volume d'un Domaine Complexe
Calculer V le volume du domaine Ω de R³ limité par la paraboloïde d'équation z = 4 − 4(x² + y²) et la surface d'équation z = (x² − y²)² − 1. V = 8π/3.
FAQ sur les Fonctions de Plusieurs Variables et le Calcul Intégral
Qu'est-ce qu'un jacobien et à quoi sert-il ?
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne d'une fonction. Il est crucial pour comprendre la transformation de volumes ou d'aires lors d'un changement de variables dans les intégrales multiples, ou pour déterminer si une fonction est inversible localement. Il permet également de simplifier les calculs d'intégrales en adaptant les coordonnées au domaine d'intégration.
Quand utilise-t-on les intégrales doubles ou triples ?
Les intégrales doubles sont utilisées pour calculer des aires dans le plan, des volumes sous une surface, ou des propriétés physiques de régions 2D (masse, centre de masse, moment d'inertie). Les intégrales triples servent à calculer des volumes dans l'espace 3D, des masses de solides, ou d'autres propriétés physiques de corps 3D, comme le moment d'inertie d'un objet.
Quels sont les systèmes de coordonnées les plus couramment utilisés en calcul intégral ?
En plus des coordonnées cartésiennes (x, y, z), les systèmes de coordonnées polaires (r, θ) pour les intégrales doubles, et cylindriques (r, θ, z) ou sphériques (ρ, θ, φ) pour les intégrales triples, sont très souvent employés. Ils simplifient grandement la description des domaines d'intégration et des fonctions dans de nombreux problèmes présentant des symétries circulaires, cylindriques ou sphériques.