Chapitre 3 exercice 1 programmation linéaire résolution grap
Télécharger PDFRésolution graphique de programmes linéaires
L'objectif de cet exercice est de pratiquer la résolution visuelle de problèmes d'optimisation à deux variables. Résolvez graphiquement les programmes linéaires suivants :
Problème 1
Déterminer le minimum, puis le maximum de la fonction 2x₁ + x₂ sous les contraintes suivantes :
- x₁ + x₂ ≥ 1
- x₂ ≤ 2
- x₁, x₂ ≥ 0
Problème 2
Déterminer le minimum, puis le maximum de la fonction 5x₁ + 3x₂ sous les contraintes suivantes :
- x₁ + x₂ ≤ 2
- x₁, x₂ ≥ 1
Problème 3
Maximiser la fonction x₁ + 3x₂ sous les contraintes suivantes :
- x₁ + x₂ ≤ 14
- -2x₁ + 3x₂ ≤ 12
- 2x₁ - x₂ ≤ 12
- x₁, x₂ ≥ 0
Problème 4
Maximiser la fonction x₁ + x₂ sous les contraintes suivantes :
- x₁ + x₂ ≤ 14
- -2x₁ + 3x₂ ≤ 12
- 2x₁ - x₂ ≤ 12
- x₁, x₂ ≥ 0
Problème 5
Maximiser la fonction x₁ + x₂ sous les contraintes suivantes :
- -x₁ + x₂ ≤ 1
- -x₁ + 2x₂ ≤ 4
- x₁, x₂ ≥ 0
Problème 6
Maximiser la fonction -3x₁ + 4x₂ sous les contraintes suivantes :
- -x₁ + x₂ ≤ 1
- -x₁ + 2x₂ ≤ 4
- x₁, x₂ ≥ 0
Modélisation de problèmes réels
Optimisation de la production industrielle
Une usine fabrique deux produits P1 et P2 en utilisant trois types de ressources : équipement, main-d'œuvre et matières premières. Chaque ressource est disponible en quantité limitée. Les besoins par unité de produit sont détaillés ci-dessous :
- Équipement : 3 unités pour P1, 9 unités pour P2 (Disponibilité totale : 81)
- Main-d'œuvre : 4 unités pour P1, 5 unités pour P2 (Disponibilité totale : 55)
- Matière première : 2 unités pour P1, 1 unité pour P2 (Disponibilité totale : 20)
Les bénéfices unitaires sont de 6 euros pour P1 et 4 euros pour P2. L'objectif est de formuler le programme linéaire permettant de déterminer les quantités de P1 et P2 à produire pour maximiser le bénéfice total.
Optimisation de la composition d'aliments pour bétail
Un fabricant souhaite optimiser la composition d'un aliment pour bétail composé de trois ingrédients : blé, colza et soja. L'aliment final doit respecter des normes strictes : au moins 22 % d'un composant C1 et au moins 4 % d'un composant C2.
Données par tonne d'ingrédient :
- Blé : 12% de C1, 2% de C2, prix de 25 euros.
- Soja : 52% de C1, 2% de C2, prix de 41 euros.
- Colza : 42% de C1, 10% de C2, prix de 39 euros.
Formulez le programme linéaire en utilisant comme variables les pourcentages de chaque ingrédient nécessaires pour obtenir une tonne d'aliment.
Mise sous forme canonique et standard
Transformez les programmes linéaires suivants en forme canonique, puis en forme standard :
Exercice de transformation 1
Minimiser x₁ + x₂ + 3x₃ sous les contraintes :
- x₁ + x₂ ≥ 1
- x₂ ≤ 2
- x₁ - x₂ + 3x₃ ≤ 10
- x₁, x₂, x₃ ≥ 0
Exercice de transformation 2
Maximiser 2x₁ + x₂ - x₃ sous les contraintes :
- x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2
- x₁ - x₂ - 2x₃ ≥ 2
- 2x₂ - x₃ = 2
- x₁, x₂ ≥ 0
Exercice de transformation 3
Maximiser x₁ + 3x₂ + x₃ sous les contraintes :
- |x₁ + x₂| ≤ 14
- -2x₁ + 3x₂ ≤ 12
- |2x₁ - x₂| - x₃ ≤ 20
- x₁, x₂ ≥ 0
- x₃ ≤ 0
FAQ sur la programmation linéaire
Qu'est-ce que la modélisation en programmation linéaire ?
La modélisation consiste à traduire un problème réel (économique, industriel ou technique) en un système d'équations et d'inéquations mathématiques afin de trouver la solution optimale pour un objectif donné.
Quelle est la différence entre la forme canonique et la forme standard ?
La forme canonique présente généralement des contraintes d'inégalité (≤ ou ≥), tandis que la forme standard utilise des égalités strictes obtenues par l'ajout de variables d'écart ou de surplus.
Pourquoi utiliser la résolution graphique ?
La résolution graphique est une méthode pédagogique efficace pour comprendre le fonctionnement des algorithmes d'optimisation. Elle est toutefois limitée aux problèmes ne comportant que deux variables de décision.