Ce document, destiné aux étudiants universitaires de la filière Sciences de la Matière Physique (SMP – S3), présente le sujet et le corrigé du Contrôle n°1 de Mécanique II de l'année universitaire 2012-2013 de la Faculté des Sciences Semlalia. Il est conçu pour évaluer la compréhension des principes fondamentaux de la mécanique du solide.
Il couvre les notions suivantes :
- Cinématique des solides indéformables et torseurs cinématiques.
- Détermination du centre de masse et des moments d'inertie.
- Étude du mouvement de roulement sans glissement et centre instantané de rotation.
Controle mecanique du solide corrigé - Télécharger pdf
Télécharger PDFContrôle de Mécanique II (SMP – S3) – Université Cadi Ayyad (2012-2013)
Département de Physique, Faculté des Sciences Semlalia (22/11/2012)
Durée : 1h30
Exercice 1
On considère un solide (S) indéformable, en mouvement par rapport à un repère R0 fixe. Soient deux points A et B de l’axe de rotation (Δ) du solide par rapport à R0, et M un point matériel du solide n'appartenant pas à (Δ). On désigne par `Ω` le vecteur rotation du solide par rapport à R0. Répondez par vrai ou faux aux questions suivantes et argumentez vos réponses :
1) Les vitesses `vA` et `vB` peuvent être parallèles.
2) Les vitesses `vA` et `vB` peuvent être différentes.
3) Le torseur cinématique est un glisseur.
4) Le torseur cinématique est un couple.
Exercice 2
On considère un solide (S) formé par un quart de disque creux, homogène, de rayon interne `r1` et de rayon externe `r2`, placé dans le plan xOy d’un repère comme indiqué sur la figure. L’axe Oz est normal au plan de la figure. On remplacera `r2` en fonction de `r1` dans les expressions finales des résultats.
1) Utiliser le deuxième théorème de Guldin et déterminer les coordonnées (xG, yG) du centre de masse G du solide (S).
2) Déterminer les termes d’inertie Ixz et Ixy du solide (S).
Exercice 3
Un disque (D) de rayon r, de centre de masse G en mouvement sans glissement sur un plan horizontal π (π est contenu dans le plan xoOzo), le long de l’axe Oxo d’un repère fixe R0. Le disque reste constamment dans le plan vertical xoOyo. On désigne par R1 un repère lié à (π) et R2 un repère lié au disque. On suppose que le plan (π), donc le repère R1, est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R0, de sorte que `v(O1)/R0 = v0 * i0`. On désigne par I1 le point de contact entre le disque (D) et le plan (π). On considère les trois cas suivants :
1) Cas où `θ = ωt` et `v0 = 0`.
a. Trouver le vecteur rotation instantané `Ω(D)/R0`.
b. En déduire la nature du mouvement de (D) par rapport à R1 puis par rapport à R0.
2) Cas où `θ = ωt` avec `v0 ≠ 0`.
a. Exprimer le vecteur rotation instantané `Ω(D)/R0` en fonction de `ω`.
b. Trouver géométriquement la position du centre instantané de rotation I.
3) Cas où `xG = γ0 * t^2` (où `xG` est l’abscisse du centre de masse G).
a. Déterminer `θ` en fonction de `γ0`, `r` et `t`.
b. Déterminer l’équation paramétrique de la base et tracer sa courbe dans le plan x0Oy0.
c. Déterminer l’équation paramétrique de la roulante.
Corrigé de l'Exercice 1
1) Faux
Les vitesses `vA` et `vB` ne peuvent pas être parallèles avec l’hypothèse de l’énoncé.
Preuve : Nous utilisons la relation de transport des vitesses pour un solide rigide : `vA - vB = Ω ∧ AB`. Le produit vectoriel `Ω ∧ AB` est par définition un vecteur orthogonal à `Ω` et à `AB`. Dans le cas où `A` et `B` sont des points situés sur l'axe de rotation `(Δ)`, le vecteur `AB` est dirigé le long de cet axe, et le vecteur rotation `Ω` est également parallèle à `(Δ)`. Par conséquent, `Ω` est parallèle à `AB`. Ceci implique que `Ω ∧ AB = 0`. Il en découle que `vA - vB = 0`, donc `vA = vB`. Si les vitesses sont égales, elles sont trivialement parallèles. Cependant, l'énoncé de la correction affirme une contradiction avec la relation de transfert qui indique que la différence des vitesses `(vA - vB)` (qui est égale à `Ω ∧ AB`) doit être orthogonale aux vecteurs `Ω` et `AB`, à moins que le produit vectoriel ne soit nul, ce qui force l'égalité des vitesses.
2) Faux
Preuve : Les vitesses `vA` et `vB` ne peuvent pas être différentes pour des points sur l'axe de rotation `(Δ)`. En effet, `vA - vB = Ω ∧ AB`. Comme `A` et `B` sont sur l'axe de rotation `(Δ)`, le vecteur `AB` est parallèle au vecteur rotation `Ω`. Par conséquent, leur produit vectoriel est nul : `Ω ∧ AB = 0`. Cela implique que `vA - vB = 0`, donc `vA = vB`. Les vitesses sont égales et ne peuvent pas être différentes.
3) Faux
Preuve : Un torseur cinématique est un glisseur si son invariant scalaire est nul. L'invariant scalaire d'un torseur cinématique est `I = Ω ⋅ v(A)`, où `v(A)` est le vecteur vitesse en un point `A` du solide. Pour un solide en mouvement de rotation général par rapport à un repère fixe `R0`, le vecteur rotation `Ω` n'est pas nécessairement orthogonal au vecteur vitesse `v(A)` d'un point quelconque `A` (sauf si `A` est sur l'axe de rotation et l'axe est fixe). Donc, en général, `Ω ⋅ v(A) ≠ 0`, ce qui signifie que le torseur cinématique n'est pas un glisseur.
4) Faux
Preuve : Un torseur cinématique est un couple si son vecteur rotation est nul (`Ω = 0`), ce qui correspond à un mouvement de translation pure. L'énoncé indique que le solide est en mouvement par rapport à `R0` et définit un vecteur rotation `Ω`, ce qui implique que `Ω ≠ 0`. Par conséquent, le torseur cinématique n'est pas un couple.
Corrigé de l'Exercice 2
(Exercice traité en cours pour un quart de disque homogène)
1) Détermination des coordonnées (xG, yG) du centre de masse G
D'après le deuxième théorème de Guldin, pour un quart de disque homogène, les coordonnées du centre de masse G sont données par :
`xG = (4/3π) * ((r2^3 - r1^3) / (r2^2 - r1^2))`
`yG = (4/3π) * ((r2^3 - r1^3) / (r2^2 - r1^2))`
Puisque `r2` doit être exprimé en fonction de `r1`, si l'on prend par exemple `r2 = k * r1` (valeur non spécifiée mais sous-entendue par l'énoncé), les expressions deviendraient :
`xG = (4/3π) * r1 * ((k^3 - 1) / (k^2 - 1))`
`yG = (4/3π) * r1 * ((k^3 - 1) / (k^2 - 1))`
2) Détermination des termes d’inertie Ixz et Ixy du solide (S)
Les termes d'inertie Ixz et Ixy sont des produits d'inertie.
Pour un solide homogène symétrique par rapport au plan xOy (où z = 0 pour tous les points du solide), le terme `Ixz` est nul si le solide est également symétrique par rapport au plan yOz, ou si la distribution de masse est telle que l'intégrale `∫ xz dm` est nulle. Dans ce cas, puisque le quart de disque est dans le plan xOy, tous les points ont `z = 0`. Par conséquent, `Ixz = ∫ xz dm = ∫ x * 0 dm = 0`.
De même, `Iyz = ∫ yz dm = ∫ y * 0 dm = 0`.
Le terme `Ixy` est généralement non nul pour un quart de disque. Pour un quart de disque homogène, il est donné par :
`Ixy = (1/8) * ρ * (r2^4 - r1^4)` où ρ est la densité surfacique.
En fonction de la masse M du solide, `M = (π/4) * ρ * (r2^2 - r1^2)`, donc `ρ = 4M / (π * (r2^2 - r1^2))`.
Ainsi, `Ixy = (1/8) * (4M / (π * (r2^2 - r1^2))) * (r2^4 - r1^4)`
`Ixy = (M/2π) * (r2^2 + r1^2)`.
Corrigé de l'Exercice 3
L’angle `θ` caractérise la rotation du disque par rapport à R0.
1) Cas où `θ = ωt` et `v0 = 0`.
a. Trouver le vecteur rotation instantané `Ω(D)/R0`.
On a `Ω(D)/R0 = Ω(D)/R1 + Ω(R1)/R0`. Puisque `v0 = 0`, le repère R1 est fixe par rapport à R0, donc `Ω(R1)/R0 = 0`. De plus, `Ω(D)/R1 = (dθ/dt) * k = ω * k`.
Ainsi, `Ω(D)/R0 = ω * k`.
b. En déduire la nature du mouvement de (D) par rapport à R1 puis par rapport à R0.
Le disque (D) est en rotation autour de l'axe Oz par rapport à R1.
Par rapport à R0, le disque (D) est également en rotation autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire `ω`, car `Ω(D)/R0 = ω * k` et le point O1 est fixe (`v0 = 0`).
2) Cas où `θ = ωt` avec `v0 ≠ 0`.
a. Exprimer le vecteur rotation instantané `Ω(D)/R0` en fonction de `ω`.
Le repère R1 est en translation rectiligne uniforme par rapport à R0, ce qui signifie que `Ω(R1)/R0 = 0`. Le vecteur rotation du disque par rapport à R1 est `Ω(D)/R1 = ω * k`.
Donc, `Ω(D)/R0 = Ω(D)/R1 + Ω(R1)/R0 = ω * k + 0 = ω * k`.
b. Trouver géométriquement la position du centre instantané de rotation I.
Le Centre Instantané de Rotation (CIR) I est le point du solide dont la vitesse est nulle à un instant donné par rapport au repère de référence.
La vitesse de G par rapport à R0 est `vG/R0 = v0 * i0 + r * ω * j0`.
La condition de non-glissement au point I1 est `v(I1)/R0 = v(O1)/R0 + Ω(D)/R0 ∧ O1I1 = v0 * i0 + ω * k ∧ (-r * j0) = v0 * i0 + ω * r * i0 = (v0 + ω * r) * i0`.
Puisque le mouvement est sans glissement, `v(I1)/R0 = 0`. Donc `v0 + ω * r = 0`, ce qui implique `v0 = -ω * r`.
Le CIR I est le point tel que `v(I)/R0 = 0`. Dans ce cas, il est situé sur l'axe Ox0 à une distance `xI = v0 / ω` de O1, donc `xI = -r`. Le CIR est le point I1 lui-même.
3) Cas où `xG = γ0 * t^2`.
a. Déterminer `θ` en fonction `γ0`, `r` et `t`.
La condition de roulement sans glissement implique que `vG/R0 = r * (dθ/dt) * i0`.
Nous avons `xG = γ0 * t^2`, donc `vG/R0 = dxG/dt * i0 = 2 * γ0 * t * i0`.
Par conséquent, `r * (dθ/dt) = 2 * γ0 * t`.
`dθ/dt = (2 * γ0 * t) / r`.
En intégrant par rapport au temps, `θ(t) = (γ0 / r) * t^2` (en supposant `θ(0) = 0`).
b. Déterminer l’équation paramétrique de la base et tracer sa courbe dans le plan x0Oy0.
La base est la trajectoire du centre de masse G du disque par rapport au repère fixe R0.
Les coordonnées du centre de masse G sont `(xG, yG)`. Puisque le disque reste dans le plan vertical xoOyo, `yG` est constante (égale à `r`) et `xG` est donnée.
L'équation paramétrique de la base est :
`xG(t) = γ0 * t^2`
`yG(t) = r`
La trajectoire de la base est une ligne droite horizontale à une hauteur `r` pour `t > 0` (parabolique si l'axe des x est fonction du temps au carré).
c. Déterminer l’équation paramétrique de la roulante.
La roulante est la trajectoire du point de contact I1 par rapport au repère lié au disque R2. C'est le lieu des points du disque qui sont en contact avec le plan.
Par définition du mouvement sans glissement, le point I1 sur le disque est le Centre Instantané de Rotation (CIR). Sa position est `(0, -r)` dans le repère lié au disque R2.
L'équation paramétrique de la roulante est donc le cercle de rayon `r` centré en G dans le repère du disque. Cependant, l'énoncé fait probablement référence à la trajectoire d'un point sur le cercle du disque qui "touche" le sol.
La roulante est le cercle lui-même, de rayon `r` et de centre G. Son équation paramétrique dans le repère lié au disque `(G, i, j)` est :
`x'(t) = r * cos(φ)`
`y'(t) = r * sin(φ)`
où `φ` est l'angle paramétrique par rapport à l'axe `i` du disque. Lorsque t augmente, le point de contact sur le disque change. La trajectoire d'un point sur la circonférence du disque qui passe par le point de contact serait une cycloïde si le plan était fixe et le disque roulait.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un torseur cinématique et ses invariants ?
Un torseur cinématique est un outil mathématique utilisé pour représenter le champ des vitesses d'un solide indéformable en mouvement. Il est défini par un vecteur rotation `Ω` et un champ de vecteurs vitesses `v(P)`. Ses invariants sont des grandeurs qui ne dépendent pas du point de réduction choisi : le vecteur rotation `Ω` lui-même et l'invariant scalaire `I = Ω ⋅ v(A)`, où `v(A)` est la vitesse en un point `A` quelconque. Si `I=0`, le torseur est un glisseur (mouvement de translation hélicoïdale ou translation pure).
À quoi sert le deuxième théorème de Guldin ?
Le deuxième théorème de Guldin (ou Pappus-Guldinus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution. Il stipule que le volume d'un solide de révolution est égal au produit de l'aire de la surface génératrice par la distance parcourue par son centre de gravité lors d'une rotation complète autour de l'axe de révolution. Il est souvent utilisé pour des calculs d'inertie ou de centres de masse de corps géométriques complexes ou pour vérifier des résultats.
Comment déterminer le Centre Instantané de Rotation (CIR) ?
Le Centre Instantané de Rotation (CIR), noté I, est le point d'un solide en mouvement plan dont la vitesse est nulle à un instant donné par rapport au repère de référence. Pour un mouvement plan, le CIR peut être trouvé par des méthodes graphiques (intersection des normales aux vitesses de deux points connus) ou analytiques (en résolvant `v(I) = 0`). Pour un roulement sans glissement d'un corps sur un plan, le point de contact entre le corps et le plan est le CIR.