Examen final rdm1 corrigé usthb 2020 résistance des matériaux

Examen final rdm1 corrigé usthb 2st gm janvier 2020 résistan

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Résistance des Matériaux 1 : Concepts Fondamentaux et Applications

Ce document aborde les principes clés de la Résistance des Matériaux à travers des questions théoriques et des exercices pratiques. Il couvre des sujets essentiels tels que l'isotropie, les moments d'inertie, la relation entre l'effort tranchant et le moment fléchissant, ainsi que l'application de ces concepts à la torsion, la traction/compression et la flexion simple.

Questions de cours : Vérification des connaissances fondamentales

Q1 : Vrai ou Faux

Évaluez la véracité des affirmations suivantes et consultez les explications pour une meilleure compréhension.

• Un matériau est isotrope s’il se comporte de la même façon en traction ou en compression. (Faux)

  Explication : L'isotropie caractérise un matériau dont les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions de l'espace. Le comportement en traction ou en compression est lié au type de sollicitation et peut différer, même pour un matériau isotrope, si sa loi constitutive est non linéaire.

• Le bois est un matériau homogène et isotrope. (Faux)

  Explication : Le bois est un matériau hétérogène (sa composition varie) et anisotrope (ses propriétés mécaniques dépendent de l'orientation par rapport à ses fibres).

• Plus le module de Young E est faible, plus le matériau est rigide. (Faux)

  Explication : Le module de Young (E) est une mesure de la rigidité d'un matériau. Un E faible signifie que le matériau est moins rigide et plus facilement déformable sous l'effet d'une contrainte.

• Plus le module de Young E est faible, plus le matériau est déformable élastiquement. (Vrai)

  Explication : Un faible module de Young implique qu'une même contrainte induit une plus grande déformation élastique, rendant le matériau plus "souple" ou "élastique" dans le sens commun du terme.

• La longueur d’une éprouvette après sa rupture par traction est égale à sa longueur initiale. (Faux)

  Explication : Après rupture par traction, l'éprouvette a subi une déformation plastique permanente, et sa longueur finale est donc supérieure à sa longueur initiale.

• Tout axe de symétrie est un axe central principal d’inertie. (Vrai)

  Explication : Si une section plane possède un axe de symétrie, cet axe passe nécessairement par le centre de gravité et est un axe principal d'inertie.

• Tout axe central perpendiculaire à un axe de symétrie est également un axe principal d’inertie. (Vrai)

  Explication : Si un axe est un axe principal d'inertie et passe par le centre de gravité, alors l'axe perpendiculaire à celui-ci passant également par le centre de gravité est un autre axe principal d'inertie.

• Le moment d’inertie d’une section droite par rapport à un axe est toujours positif. (Vrai)

  Explication : Le moment d'inertie est calculé à partir de la distribution de la surface par rapport à un axe et représente une grandeur toujours positive, car il implique des carrés de distances.

• Le produit d’inertie d’une section droite par rapport à deux axes perpendiculaires est toujours positif. (Faux)

  Explication : Le produit d'inertie peut être positif, négatif ou nul, selon la répartition de la surface de la section par rapport aux axes choisis. Il est nul si l'un des axes est un axe de symétrie.

• Un moment concentré positif fait augmenter brutalement le moment fléchissant Mfz. (Faux)

  Explication : Un moment concentré crée une discontinuité ou un "saut" dans le diagramme du moment fléchissant. Ce saut peut être une augmentation ou une diminution, selon le sens du moment appliqué et la convention de signe utilisée.

Q2 : Efforts internes pour différentes sollicitations

Identification des efforts internes principaux qui sollicitent une section droite d'une poutre en fonction du type de chargement.

• Traction pure : Effort normal (N)
• Torsion pure : Moment de torsion (Mt)
• Flexion pure : Moment fléchissant (Mfz)
• Flexion simple : Moment fléchissant (Mfz) et Effort tranchant (Ty)

Q3 : Définition des axes centraux principaux d'inertie

Les axes centraux principaux d'inertie d'une section droite sont deux axes perpendiculaires passant par le centre de gravité (G) de cette section. Par rapport à l'un de ces axes, le moment d'inertie est maximal, et par rapport à l'autre, il est minimal. Ils sont essentiels pour la simplification des calculs de contraintes en flexion en garantissant que le produit d'inertie est nul.

Q4 : Relation entre l'effort tranchant TY(x) et le moment fléchissant MfZ(x) en flexion simple

Démonstration de la relation fondamentale reliant l'effort tranchant et le moment fléchissant dans une poutre en flexion simple.

Considérons un élément infinitésimal de poutre de longueur dx. Sur la section située à x, on a un effort tranchant TY(x) et un moment fléchissant Mfz(x). Sur la section située à x + dx, ces efforts deviennent TY(x) + dTY et Mfz(x) + dMfz.

L'équation d'équilibre des moments par rapport au centre de gravité de la section à x + dx (ou toute autre convention) conduit à :

(Mfz(x) + dMfz) - Mfz(x) - TY(x) * dx = 0

Après simplification, on obtient :

dMfz = TY * dx

Cette expression peut être réécrite sous forme différentielle, ce qui montre que l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position x :

dMfz / dx = TY(x)

Exercices d'application en Résistance des Matériaux

Exercice 1 : Calcul de couple et contrainte tangentielle maximale en torsion

Cet exercice porte sur la détermination du couple de torsion et de la contrainte tangentielle maximale dans un tube soumis à une rotation.

Données :

• Module de cisaillement (G) = 8 × 10⁴ MPa
• Longueur du tube (L) = 2,5 m = 2500 mm
• Diamètre extérieur (D) = 100 mm
• Diamètre intérieur (d) = 80 mm
• Angle de rotation (α) = 2°

1. Calcul du couple C qui provoque une rotation de 2°

La formule de l'angle de torsion est α = (C * L) / (G * I0), où I0 est le moment d'inertie polaire.

• Conversion de l'angle en radians : α = 2 * (π / 180) rad ≈ 0,034907 rad. (La valeur de 0,035 rad peut être utilisée pour des calculs rapides).
• Calcul du moment d'inertie polaire I0 pour une section tubulaire : I0 = (π / 32) * (D4 - d4)
• I0 = (π / 32) * ((100 mm)4 - (80 mm)4) = (π / 32) * (100,000,000 - 40,960,000) = (π / 32) * 59,040,000 ≈ 5,797,716.29 mm4
• En réarrangeant la formule pour trouver C : C = (α * G * I0) / L
• C = (0,034907 * 8 × 104 N/mm2 * 5,797,716.29 mm4) / 2500 mm
• C ≈ 6,493,439 N.mm ≈ 6493,4 N.m

Résultat : Le couple C est d'environ 6493 N.m (valeur proche de 6492 Nm dans les calculs rapides).

2. Déduction de la contrainte tangentielle maximale (τmax)

La contrainte tangentielle maximale en torsion se produit à la fibre la plus éloignée de l'axe, soit le rayon extérieur (R = D/2).

τmax = (C * R) / I0

• Rayon extérieur R = D / 2 = 100 mm / 2 = 50 mm
• τmax = (6,493,439 N.mm * 50 mm) / 5,797,716.29 mm4 ≈ 55.999 MPa

Résultat : La contrainte tangentielle maximale τmax est d'environ 56 MPa.

Exercice 2 : Analyse des efforts normaux, contraintes et allongements dans un arbre étagé

Cette étude porte sur un arbre cylindrique à sections différentes, soumis à des charges axiales. L'objectif est de déterminer les efforts normaux, les contraintes, les allongements et de vérifier la résistance.

Données :

• Diamètre de la zone AB (D) = 30 mm
• Diamètre de la zone BC (d) = 20 mm
• Charge P = 50 KN = 50,000 N
• Longueur de la section BC (l) = 1 m = 1000 mm
• Longueur de la section AB = 2l = 2 m = 2000 mm
• Module d'Young (E) = 2 × 10⁵ MPa (correction du typo initial "2. Mpa", valeur typique pour l'acier : 200 GPa)
• Limite élastique (Rp) = 200 MPa

1. Calcul des efforts normaux et contraintes normales

• Calcul des surfaces des sections :
  • Section AB : AAB = π * D2 / 4 = π * (30 mm)2 / 4 ≈ 706,86 mm2
  • Section BC : ABC = π * d2 / 4 = π * (20 mm)2 / 4 ≈ 314,16 mm2
• Détermination des efforts normaux :
  • Pour la zone BC (en considérant une coupure entre B et C, en regardant vers C) : NBC = +P = +50,000 N (traction)
  • Pour la zone AB (en considérant une coupure entre A et B, en regardant vers C) : NAB = P - 3P = -2P = -100,000 N (compression)
• Calcul des contraintes normales (σ = N / A) :
  • Contrainte en zone AB : σAB = NAB / AAB = -100,000 N / 706,86 mm2 ≈ -141,47 MPa
  • Contrainte en zone BC : σBC = NBC / ABC = +50,000 N / 314,16 mm2 ≈ +159,16 MPa

2. Vérification de la résistance de l'arbre

La condition de résistance est que la contrainte normale maximale en valeur absolue ne dépasse pas la limite élastique (|σmax| ≤ Rp).

• La contrainte maximale en valeur absolue est |σBC| = 159,16 MPa.
• La limite élastique du matériau est Rp = 200 MPa.
• Puisque 159,16 MPa < 200 MPa, l'arbre résiste en toute sécurité.
• Conclusion : L'arbre est résistant sous les charges appliquées.

3. Calcul de l'allongement total (ΔLtotal)

L'allongement de chaque section est calculé à l'aide de la Loi de Hooke : ΔL = (N * L) / (A * E).

• Allongement de la zone AB (ΔL_AB) :
  • ΔLAB = (-100,000 N * 2000 mm) / (706,86 mm2 * 2 × 105 MPa) ≈ -1,4147 mm (raccourcissement)
• Allongement de la zone BC (ΔL_BC) :
  • ΔLBC = (50,000 N * 1000 mm) / (314,16 mm2 * 2 × 105 MPa) ≈ +0,7958 mm (allongement)
• Allongement total (ΔL_total) :
  • ΔLtotal = ΔLAB + ΔLBC = -1,4147 mm + 0,7958 mm ≈ -0,6189 mm

Résultat : L'allongement total (en réalité un raccourcissement) est d'environ -0,619 mm.

Exercice 3 : Étude d'une poutre en flexion simple : réactions, diagrammes et vérification

Cet exercice se concentre sur l'analyse d'une poutre en flexion simple, incluant le calcul des réactions d'appui, l'établissement des expressions des efforts internes, le calcul du moment d'inertie et la vérification de la résistance.

Données :

• Force concentrée (F) = 10 KN
• Moment concentré (M) = 10 KNm
• Distance (a) = 1 m
• Section droite rectangulaire : largeur (b) = 40 mm, hauteur (h) = 60 mm
• Limite élastique du matériau (Rp) = 300 MPa

1. Calcul des réactions des appuis A (RA) et C (RC)

La poutre est appuyée simplement en A et doublement en C.

• Équilibre des forces verticales (Σ F_y = 0) :

  RA + RC - F = 0 ⇒ RA + RC = F = 10 KN (Équation 1)

• Équilibre des moments autour de A (Σ M_Z,A = 0) :

  M - (F * a) + (RC * 2a) = 0 (en utilisant la convention de l'énoncé)

  10 KNm - (10 KN * 1 m) + (RC * 2 * 1 m) = 0

  10 - 10 + 2 * RC = 0 ⇒ 2 * RC = 0 ⇒ RC = 0 KN

• Substitution de RC dans l'Équation 1 :

  RA + 0 = 10 KN ⇒ RA = 10 KN

Résultats : Les réactions d'appui sont RA = 10 KN et RC = 0 KN.

2. Établir les expressions de l'effort tranchant TY(x) et du moment fléchissant MfZ(x)

L'origine de x est prise en A.

• Zone AB (de x = 0 à x = a = 1 m) :
  • Effort tranchant : TY(x) = RA = 10 KN (constant)
  • Moment fléchissant : MfZ(x) = RA * x = 10 * x (linéaire, en KNm)
• Zone BC (de x = a = 1 m à x = 2a = 2 m) :
  • Effort tranchant : TY(x) = RA - F = 10 KN - 10 KN = 0 KN (nul)
  • Moment fléchissant : MfZ(x) = RA * x - F * (x - a) - M = 10x - 10(x - 1) - 10 = 10x - 10x + 10 - 10 = 0 KNm (nul)

Le moment fléchissant maximal se trouve en x = a (point B) : MfZ_max = MfZ(a) = 10 KN * 1 m = 10 KNm.

3. Détermination du moment d'inertie IGZ de la section droite rectangulaire

Pour une section rectangulaire de largeur b = 40 mm et hauteur h = 60 mm, le moment d'inertie par rapport à l'axe central GZ (axe neutre en flexion autour de Z) est :

IGZ = (b * h3) / 12

• IGZ = (40 mm * (60 mm)3) / 12 = (40 * 216,000) / 12 = 8,640,000 / 12 = 720,000 mm4

Résultat : I_GZ = 72 × 10⁴ mm⁴.

4. Vérification de la résistance de la poutre

La contrainte normale maximale en flexion est donnée par la formule : σmax = (Mfz_max * |y_max|) / IGZ, où |y_max| est la distance maximale à la fibre neutre.

• Moment fléchissant maximal : Mfz_max = 10 KNm = 10 × 106 N.mm
• Distance maximale à la fibre neutre : |y_max| = h / 2 = 60 mm / 2 = 30 mm
• Moment d'inertie : IGZ = 720,000 mm4
• σmax = (10 × 106 N.mm * 30 mm) / 720,000 mm4 ≈ 416,67 MPa
• Comparaison avec la limite élastique (Rp) = 300 MPa.
• Puisque σmax = 416,67 MPa > Rp = 300 MPa, la poutre n'est pas suffisamment dimensionnée pour résister en toute sécurité à ces sollicitations.

Conclusion : La poutre ne résiste pas en toute sécurité.

Foire Aux Questions (FAQ) sur la Résistance des Matériaux

Qu'est-ce que la Résistance des Matériaux (RDM) ?

La Résistance des Matériaux est une discipline de l'ingénierie qui analyse le comportement des pièces et des structures soumises à des forces extérieures. Elle permet de prédire les contraintes internes, les déformations et les risques de rupture pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des constructions.

Quelle est la signification du module de Young (E) ?

Le module de Young, ou module d'élasticité longitudinale, mesure la rigidité d'un matériau. Il représente la relation entre la contrainte normale appliquée et la déformation élastique qui en résulte. Un module de Young élevé indique que le matériau est rigide et se déforme peu sous contrainte, tandis qu'un module faible caractérise un matériau plus souple.

Comment la section d'une poutre influence-t-elle sa résistance à la flexion ?

La résistance d'une poutre à la flexion est fortement influencée par la forme et les dimensions de sa section transversale, via le moment d'inertie (I). Plus le moment d'inertie est grand, plus la poutre est rigide et résiste à la flexion. C'est pourquoi les poutres sont souvent conçues avec des sections en I ou en H, qui maximisent le moment d'inertie pour une quantité de matière donnée, en éloignant au maximum la matière de l'axe neutre.