Examen final corrigé résistance des matériaux 1 janvier 2020

Examen final corrigé résistance des matériaux 1 janvier 2020

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Résistance des Matériaux 1

Questions de cours

Q1 : Vrai ou Faux

Répondez par vrai (V) ou faux (F) aux affirmations suivantes :

• Un matériau est isotrope s'il se comporte de la même façon en traction ou en compression. (F)

  Explication : L'isotropie concerne l'uniformité des propriétés dans toutes les directions, indépendamment du type de sollicitation. Un comportement identique en traction et compression est une propriété distincte, non directement liée à l'isotropie directionnelle.

• Le bois est un matériau homogène et isotrope. (F)

  Explication : Le bois est un matériau anisotrope (ses propriétés dépendent de la direction par rapport aux fibres) et hétérogène (sa composition n'est pas uniforme).

• Plus le module de Young E est faible, plus le matériau est rigide. (F)

  Explication : Un module de Young E faible indique que le matériau est peu rigide, c'est-à-dire qu'il se déforme facilement sous contrainte.

• Plus le module de Young E est faible, plus le matériau est élastique. (F)

  Explication : Le module de Young E mesure la rigidité élastique. Un matériau est dit élastique s'il retrouve sa forme initiale après décharge, quelle que soit sa rigidité. Un faible E signifie qu'il est moins rigide, pas nécessairement "plus élastique" dans le sens d'une plus grande plage de déformation élastique.

• La longueur d'une éprouvette après sa rupture par traction est égale à sa longueur initiale. (F)

  Explication : Après rupture par traction, une éprouvette présente une déformation permanente et sa longueur finale est supérieure à sa longueur initiale.

• Tout axe de symétrie est un axe central principal d'inertie. (V)

  Explication : Un axe de symétrie est toujours un axe principal d'inertie et, s'il passe par le centre de gravité, il est également central.

• Tout axe central perpendiculaire à un axe de symétrie est également un axe principal d'inertie. (V)

  Explication : Dans le cas d'une section ayant un axe de symétrie, l'axe passant par le centre de gravité et perpendiculaire à cet axe de symétrie est également un axe principal d'inertie.

• Le moment d'inertie d'une section droite par rapport à un axe est toujours positif. (V)

  Explication : Le moment d'inertie est calculé à partir de la somme des produits de l'aire par le carré de la distance à l'axe, donc il est intrinsèquement positif ou nul.

• Le produit d'inertie d'une section droite par rapport à deux axes perpendiculaires est toujours positif. (F)

  Explication : Le produit d'inertie peut être positif, négatif ou nul, selon la répartition de la matière par rapport aux axes.

• Un moment concentré positif fait augmenter brutalement le moment fléchissant M. (V)

  Explication : Un moment concentré crée une discontinuité (un saut) dans le diagramme du moment fléchissant.

Q2 : Efforts internes et démonstration de la relation entre effort tranchant et moment fléchissant

Quels sont les efforts internes qui interviennent sur une section droite d'une poutre ?

Les efforts internes principaux sont :

• Effort Normal (N) : Sollicitation en traction ou compression.
• Effort Tranchant (Ty, Tz) : Sollicitations en cisaillement.
• Moment Fléchissant (My, Mz) : Sollicitations en flexion.
• Moment de Torsion (Mt ou Mx) : Sollicitation en torsion.

Démontrez la relation entre l'effort tranchant T_y(x) et le moment fléchissant M_z(x).

Nous considérons un élément de poutre d'épaisseur dx soumis à une flexion simple variable. La section S est soumise à T_y et M_z, et la section S' à T_y + dT_y et M_z + dM_z. L'équation d'équilibre des moments autour de S conduit à :

(M_z + dM_z) - M_z - T_y . dx = 0

D'où : dM_z = T_y . dx

Ce qui peut s'écrire sous forme intégrale : M_z(x) = ∫ T_y(x) dx

Ou sous forme dérivée : T_y(x) = dM_z / dx

Q3 : Définition des axes centraux principaux d'inertie

Définissez les axes centraux principaux d'inertie.

Ce sont les deux axes perpendiculaires qui passent par le centre de gravité G de la section droite et par rapport auxquels le moment d'inertie est maximal pour l'un et minimal pour l'autre.

Exercice 1 (4 pts)

Un tube est soumis à un couple de torsion.

Données :

• Module de cisaillement G = 8 . 10⁴ MPa
• Longueur L = 2,5 m
• Diamètre extérieur D = 100 mm
• Diamètre intérieur d = 80 mm

1/ Calculez le couple C qui provoque une rotation relative des sections extrêmes du tube de 2°.

Données converties et angle de torsion :

• L = 2,5 m = 2500 mm
• α (angle de torsion) = 2° = 2 * (π / 180) ≈ 0,035 rad

Calcul du moment d'inertie polaire I_p pour un tube :

I_p = (π / 32) * (D⁴ - d⁴)

I_p = (π / 32) * (100⁴ - 80⁴) = (π / 32) * (100 000 000 - 40 960 000) = (π / 32) * 59 040 000 ≈ 5 798 061,6 mm⁴

Formule de l'angle de torsion :

α = (C . L) / (G . I_p) => C = (G . I_p . α) / L

Calcul du couple C :

C = (8 . 10⁴ N/mm² * 5 798 061,6 mm⁴ * 0,035 rad) / 2500 mm

C ≈ 6 492 406,8 Nmm ≈ 6492 Nm

2/ En déduire la contrainte tangentielle maximale (τ_max).

Formule de la contrainte tangentielle maximale :

τ_max = (C . (D/2)) / I_p

τ_max = (6 492 406,8 Nmm * (100/2) mm) / 5 798 061,6 mm⁴

τ_max ≈ 56 MPa

Exercice 2 (4 pts)

Soit l'arbre cylindrique étagé suivant :

• Zone AB : diamètre D = 30 mm
• Zone BC : diamètre d = 20 mm

Des forces sont appliquées : P est appliquée en C et 3P est appliquée en B.

Données :

• P = 50 kN
• l = 1 m (longueur)
• E = 2 . 10⁵ MPa (module de Young)

1/ Construire les diagrammes de l'effort normal (N) et de la contrainte normale (σ) dans les deux zones.

Calcul des aires des sections :

• A_AB = π * (D/2)² = π * (30/2)² = 225π ≈ 706,86 mm²
• A_BC = π * (d/2)² = π * (20/2)² = 100π ≈ 314,16 mm²

Calcul des efforts normaux :

• Zone BC : N_BC = +P = +50 kN (traction)
• Zone AB : N_AB = +P - 3P = -2P = -100 kN (compression)

Diagramme de l'effort normal (N) :

• De A à B : N = -100 kN
• De B à C : N = +50 kN

Calcul des contraintes normales (σ) :

• Zone AB : σ_AB = N_AB / A_AB = -100 . 10³ N / 706,86 mm² ≈ -141,47 MPa (compression)
• Zone BC : σ_BC = N_BC / A_BC = +50 . 10³ N / 314,16 mm² ≈ +159,16 MPa (traction)

Diagramme de la contrainte normale (σ) :

• De A à B : σ = -141,47 MPa
• De B à C : σ = +159,16 MPa

2/ Si l'arbre est en acier avec une limite élastique R_p = 200 MPa, vérifier sa résistance.

Condition de résistance : |σ_max| ≤ R_p

La contrainte maximale absolue est σ_max = 159,16 MPa.

159,16 MPa < 200 MPa (R_p)

L'arbre résiste en toute sécurité.

3/ Calculer son allongement total ΔL_total.

Loi de Hooke pour l'allongement : ΔL = (N . L) / (A . E)

Allongement de la zone AB (longueur 2l) :

• Longueur L_AB = 2 * l = 2 * 1 m = 2000 mm

ΔL_AB = (N_AB . L_AB) / (A_AB . E)

ΔL_AB = (-100 . 10³ N * 2000 mm) / (706,86 mm² * 2 . 10⁵ MPa)

ΔL_AB ≈ -1,415 mm

Allongement de la zone BC (longueur l) :

• Longueur L_BC = l = 1 m = 1000 mm

ΔL_BC = (N_BC . L_BC) / (A_BC . E)

ΔL_BC = (+50 . 10³ N * 1000 mm) / (314,16 mm² * 2 . 10⁵ MPa)

ΔL_BC ≈ +0,796 mm

Allongement total :

ΔL_total = ΔL_AB + ΔL_BC

ΔL_total = -1,415 mm + 0,796 mm ≈ -0,619 mm

Exercice 3 (4 pts)

Une poutre AC s'appuyant simplement en A et doublement en C est chargée dans le plan vertical (figure non fournie).

Données :

• F = 10 kN (force)
• M = 10 kNm (moment concentré)
• a = 1 m (distance)

1/ Calculer les réactions d'appuis en A et C : R_A et R_C.

Conditions d'équilibre :

• Somme des forces verticales : ΣF_y = 0 => R_A + R_C - F = 0
• Somme des moments autour du point A : ΣM_A = 0 => M + 2a R_C - a F = 0

De la deuxième équation :

10 kNm + 2 * (1 m) * R_C - (1 m) * 10 kN = 0

10 + 2 R_C - 10 = 0

2 R_C = 0 => R_C = 0 kN

De la première équation :

R_A + 0 - 10 kN = 0 => R_A = 10 kN

Réactions calculées :

• R_A = 10 kN
• R_C = 0 kN

2/ Établir les expressions de l'effort tranchant T_y(x) et du moment fléchissant M_z(x) le long de la poutre.

Zone AB (0 ≤ x ≤ a) :

• T_y(x) = R_A = 10 kN
• M_z(x) = R_A . x = 10 . x (kNm)

Zone BC (a < x ≤ 2a) :

• T_y(x) = R_A - F = 10 - 10 = 0 kN
• M_z(x) = R_A . x - F . (x - a) - M

  M_z(x) = 10x - 10(x - 1) - 10 = 10x - 10x + 10 - 10 = 0 kNm

3/ Tracer les diagrammes de T_y(x) et de M_z(x) le long de la poutre.

Diagramme de l'effort tranchant T_y(x) :

• De 0 à a : T_y = +10 kN
• De a à 2a : T_y = 0 kN

Diagramme du moment fléchissant M_z(x) :

• À x=0 : M_z = 0 kNm
• À x=a (avant le moment concentré M) : M_z = R_A . a = 10 kN . 1 m = 10 kNm
• À x=a (après le moment concentré M) : M_z = 10 kNm - M = 10 kNm - 10 kNm = 0 kNm
• De a à 2a : M_z = 0 kNm

Le moment fléchissant maximal est M_z,max = 10 kNm (à x = a, juste avant l'application du moment concentré).

4/ Déterminer le moment d'inertie I_Gz de la section droite rectangulaire (non fournie, dimensions supposées b=40 mm, h=60 mm) par rapport à son axe central principal d'inertie Gz.

I_Gz = (b . h³) / 12

I_Gz = (40 mm . (60 mm)³) / 12

I_Gz = (40 * 216 000) / 12 = 8 640 000 / 12 = 720 000 mm⁴

5/ Si la limite élastique R_p = 300 MPa, vérifier la résistance de la poutre.

Contrainte normale maximale due à la flexion :

σ_max = (M_z,max * y_max) / I_Gz

où y_max est la distance maximale entre l'axe neutre et la fibre la plus éloignée. Pour une section rectangulaire de hauteur h=60mm, y_max = h/2 = 30 mm.

σ_max = (10 . 10⁶ Nmm * 30 mm) / 720 000 mm⁴

σ_max = 300 000 000 / 720 000 ≈ 416,67 MPa

Condition de résistance : σ_max ≤ R_p

416,67 MPa > 300 MPa

La poutre ne résiste pas en toute sécurité car la contrainte maximale dépasse la limite élastique du matériau.

Questions Fréquentes (FAQ)

• Quelle est la différence entre un matériau isotrope et homogène ?

  Un matériau est homogène si ses propriétés sont identiques en tout point de son volume. Il est isotrope si ses propriétés sont identiques dans toutes les directions à partir d'un point donné. Un matériau peut être homogène sans être isotrope (ex: bois) et vice-versa, bien que la plupart des matériaux étudiés en résistance des matériaux soient souvent idéalisés comme homogènes et isotropes.

• Pourquoi est-il important de vérifier la résistance d'une structure ?

  La vérification de la résistance est cruciale pour garantir la sécurité et la fiabilité d'une structure. Elle consiste à s'assurer que les contraintes maximales (normales ou tangentielles) induites par les charges appliquées ne dépassent pas la limite élastique (ou la limite de rupture pour certains matériaux) du matériau. Si cette condition n'est pas respectée, la structure risque une déformation permanente, une défaillance ou une rupture, mettant en danger les personnes et les biens.

• Comment le module de Young E affecte-t-il la déformation d'un matériau ?

  Le module de Young (E) est une mesure de la rigidité d'un matériau en traction ou compression. Un matériau avec un E élevé est très rigide, ce qui signifie qu'il se déformera peu sous une contrainte donnée. Inversement, un matériau avec un E faible est moins rigide et se déformera davantage sous la même contrainte. Il caractérise la relation entre la contrainte normale et la déformation longitudinale dans le domaine élastique.