Exercices chaîne de cotes tolérancement ajustements corrigé

Exercices chaîne de cotes tolérancement ajustements corrigé

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Exercice 1 : Analyse d'une Chaîne de Cotes pour un Dépassement de Vis

Énoncé du Problème

Pour un assemblage mécanique, on souhaite analyser une condition fonctionnelle "b". Cette condition représente le dépassement d'une vis par rapport à la pièce 9. L'objectif est de vérifier si ce dépassement reste dans une plage souhaitée.

Les étapes à suivre sont :

1. Identifier les surfaces terminales et fonctionnelles.
2. Tracer la chaîne de cotes et compléter le diagramme de contact.
3. Écrire les équations permettant de calculer la condition « b ».

La condition fonctionnelle désirée est que la vis ne dépasse la pièce 9 que de 3 à 4 mm.

Identification des Surfaces et Cotes Impliquées

La condition fonctionnelle "b" dépend de plusieurs cotes de pièces : b4, b9, b8 et b3. Ces cotes sont définies par des surfaces fonctionnelles spécifiques sur les composants.

Les dimensions nominales et leurs tolérances, telles qu'utilisées dans les calculs, sont :

• Cote 4 : 53 mm avec une tolérance de ±0,15 mm.
• Cote 9 : 20 mm avec une tolérance de -0,05 mm et +0,1 mm.
• Cote 8 : 26 mm avec une tolérance de -0,25 mm et +0 mm.
• Cote 3 : 3 mm avec une tolérance de -0,2 mm et +0 mm.

Diagramme de Contact et Chaîne de Cotes

La chaîne de cotes est le cheminement des cotes élémentaires qui composent la cote condition. Le diagramme de contact visualiserait comment les pièces 4, 3, 8 et 9 s'articulent pour définir la condition fonctionnelle "b". Les surfaces terminales de la chaîne sont celles qui délimitent directement la cote "b", et les surfaces fonctionnelles sont les interfaces entre les pièces participant à la chaîne.

Pour la condition « b », la chaîne de cotes est :

• S4 (associée à la cote 4)
• S9 (associée à la cote 9)
• S8 (associée à la cote 8)
• S3 (associée à la cote 3)

Équations de la Condition Fonctionnelle "b"

Pour calculer les valeurs extrêmes de la condition fonctionnelle "b", on utilise les équations suivantes, basées sur l'addition et la soustraction des cotes élémentaires et de leurs tolérances :

b_maxi = Cote4_maxi – Cote9_mini – Cote8_mini – Cote3_mini

b_mini = Cote4_mini – Cote9_maxi – Cote8_maxi – Cote3_maxi

Calculs Détaillés

En utilisant les dimensions et tolérances fournies :

Cote4_maxi = 53 + 0,15 = 53,15 mm
Cote4_mini = 53 - 0,15 = 52,85 mm

Cote9_maxi = 20 + 0,1 = 20,1 mm
Cote9_mini = 20 - 0,05 = 19,95 mm

Cote8_maxi = 26 + 0 = 26 mm
Cote8_mini = 26 - 0,25 = 25,75 mm

Cote3_maxi = 3 + 0 = 3 mm
Cote3_mini = 3 - 0,2 = 2,8 mm

Application des équations :

b_maxi = (53 + 0,15) – (20 – 0,05) – (26 – 0,25) – (3 – 0,2)

b_maxi = 53,15 – 19,95 – 25,75 – 2,8 = 4,65 mm

b_mini = (53 – 0,15) – (20 + 0,1) – (26 + 0) – (3 + 0)

b_mini = 52,85 – 20,1 – 26 – 3 = 3,75 mm

Conclusion

Les calculs montrent que la condition fonctionnelle "b" varie entre 3,75 mm et 4,65 mm. La condition souhaitée était que le dépassement soit compris entre 3 mm et 4 mm.

Étant donné que la valeur maximale calculée (b_maxi = 4,65 mm) dépasse la valeur maximale souhaitée (4 mm), la condition fonctionnelle ne sera pas respectée dans toutes les configurations possibles. Il y a un risque que la vis dépasse de plus de 4 mm. Des ajustements sur les tolérances des cotes des pièces seraient nécessaires pour respecter cette exigence.

Exercice 2 : Détermination des Tolérances d'une Pièce

Énoncé du Problème

Dans cet exercice, il s'agit d'analyser une chaîne de cotes pour la condition fonctionnelle "c". L'objectif est de déterminer les écarts de tolérance (mini et maxi) pour la cote de la pièce 4 afin d'obtenir une valeur précise pour la condition "c".

Les étapes sont :

1. Identifier les surfaces terminales et fonctionnelles.
2. Tracer la chaîne de cotes et compléter le diagramme de contact.
3. Écrire les équations permettant de calculer la condition « c ».

La condition fonctionnelle souhaitée est que la cote « c » soit égale à 4 mm.

Identification des Surfaces et Cotes Impliquées

La condition fonctionnelle "c" est liée aux cotes c1, c5, c7, c4. Ces cotes sont associées à des pièces identifiées (Pièce 7, Vis 4, Écrou 5).

Les dimensions nominales et tolérances connues sont :

• Cote 1 : 60 mm avec une tolérance de ±0,15 mm.
• Cote 5 (Écrou 5) : 13 mm avec une tolérance de -0,15 mm et +0 mm.
• Cote 7 (Pièce 7) : 20 mm avec une tolérance de -0,1 mm et +0 mm.

On cherche la cote nominale et les tolérances de la Cote 4 (Vis 4).

Diagramme de Contact et Chaîne de Cotes

La chaîne de cotes pour la condition "c" est définie par les surfaces S1, S5, S7 et S4, associées respectivement aux cotes c1, c5, c7 et c4.

La chaîne s'établit comme suit :

• S1 (associée à la cote 1)
• S5 (associée à la cote 5)
• S7 (associée à la cote 7)
• S4 (associée à la cote 4)

Équations de la Condition Fonctionnelle "c"

Les équations pour les valeurs extrêmes de "c" sont :

c_maxi = c1_maxi – c5_mini – c7_mini – c4_mini

c_mini = c1_mini – c5_maxi – c7_maxi – c4_maxi

L'objectif est d'avoir c = 4 mm. Pour un calcul de tolérance symétrique autour de 4 mm (par exemple, 4 ± tolérance), ou pour une condition de jeu, on peut utiliser c_maxi et c_mini pour déterminer les tolérances de c4.

Calculs pour la Pièce 4

Partant des équations de c_maxi et c_mini, nous devons réarranger pour trouver c4_mini et c4_maxi, en imposant une valeur cible pour c (ici, on veut que c soit 4 mm, donc on peut prendre c_maxi = c_mini = 4 pour simplifier le calcul des écarts pour c4).

Si l'on cherche les écarts de c4 pour que "c" soit exactement 4 mm, cela signifie que la plage de variation de c doit contenir 4 mm. Cependant, les calculs dans le corrigé suggèrent de trouver les bornes de c4 qui mènent à des bornes de c. Il est plus courant de définir une plage pour "c" (par exemple c_{min_désiré} et c_{max_désiré}) et de résoudre pour c4_min et c4_max.

Les calculs fournis semblent dériver les valeurs de c4 pour que c ait certaines bornes. Si l'on fixe c = 4, on peut prendre, par exemple, une plage cible pour c (par exemple c = 4 ± 0,1 pour un jeu de 3,9 à 4,1 mm). Ici, on a directement les calculs qui semblent faire des allers-retours pour trouver c4.

Prenons les expressions dérivées pour c4 :

Pour c_maxi, on utilise c = 4 (la cible) :
4 = c1_maxi – c5_mini – c7_mini – c4_mini
D'où, c4_mini = c1_maxi – c5_mini – c7_mini – 4

Pour c_mini, on utilise c = 4 (la cible) :
4 = c1_mini – c5_maxi – c7_maxi – c4_maxi
D'où, c4_maxi = c1_mini – c5_maxi – c7_maxi – 4

Calcul des valeurs extrêmes des cotes connues :

• c1_maxi = 60 + 0,15 = 60,15 mm
• c1_mini = 60 - 0,15 = 59,85 mm
• c5_maxi = 13 + 0 = 13 mm
• c5_mini = 13 - 0,15 = 12,85 mm
• c7_maxi = 20 + 0 = 20 mm
• c7_mini = 20 - 0,1 = 19,9 mm

En reprenant les calculs fournis :

c4_mini = c1_maxi – c5_mini – c7_mini – 4 (où 4 est la cible pour c)

c4_mini = (60 + 0,15) – (13 – 0,15) – (20 – 0,1) – 4

c4_mini = 60,15 – 12,85 – 19,9 – 4 = 23,4 mm

c4_maxi = c1_mini – c5_maxi – c7_maxi – 4 (où 4 est la cible pour c)

c4_maxi = (60 – 0,15) – (13 + 0) – (20 + 0) – 4

c4_maxi = 59,85 – 13 – 20 – 4 = 22,85 mm

Cependant, les résultats du corrigé présentent :

c4_mini = 22,95 mm = 23 – 0,05

c4_maxi = 23,15 mm = 23 + 0,15

Cela implique qu'ils ont utilisé les valeurs de 4,45 et 3,7 pour c dans leurs calculs intermédiaires, ce qui suggère que c n'était pas fixé à 4, mais que ces valeurs étaient des bornes à atteindre pour c, ou que le 4 mm était une valeur nominale à atteindre avec une certaine tolérance. En suivant le calcul original :

Pour déterminer c4_mini :
60,15 – 12,85 – 19,9 – c4_mini = c_{cible_maxi} (ici 4,45 selon le corrigé)

Donc, c4_mini = 60,15 – 12,85 – 19,9 – 4,45 = 22,95 mm

Pour déterminer c4_maxi :
59,85 – 13 – 20 – c4_maxi = c_{cible_mini} (ici 3,7 selon le corrigé)

Donc, c4_maxi = 59,85 – 13 – 20 – 3,7 = 23,15 mm

La cote de la pièce 4 devrait donc être de 23 mm avec une tolérance de -0,05 mm et +0,15 mm.

Conclusion

Pour que la condition fonctionnelle "c" se situe dans une plage spécifique (qui, d'après les calculs du corrigé, semble être 3,7 mm à 4,45 mm), la cote de la pièce 4 doit être de 23 mm avec une tolérance de -0,05 mm et +0,15 mm.

Exercice 3 : Vérification d'un Jeu Fonctionnel

Énoncé du Problème

L'objectif est de tracer la chaîne de cotes relative à une condition fonctionnelle "d", qui représente un jeu, et de vérifier si ce jeu est respecté. Le jeu "d" doit être compris entre 0,5 mm et 1,5 mm.

Diagramme de Contact et Chaîne de Cotes

La condition fonctionnelle "d" est formée par les cotes d5, d2 et d8, qui sont associées aux surfaces S2, S5 et S8 des composants (Bielle 2, Vis épaulée 5, Support 8).

La chaîne de cotes s'établit avec :

• S5 (associée à la cote d5)
• S2 (associée à la cote d2)
• S8 (associée à la cote d8)

Les cotes et leurs tolérances sont :

• Cote 5 (Vis épaulée 5) : 35 mm avec une tolérance de ±0,3 mm.
• Cote 2 (Bielle 2) : 28 mm avec une tolérance de -0,15 mm et +0 mm.
• Cote 8 (Support 8) : 6 mm avec une tolérance de -0,05 mm et +0,1 mm.

Équations de la Condition Fonctionnelle "d"

Les équations pour calculer les valeurs extrêmes du jeu "d" sont :

d_maxi = d5_maxi – d2_mini – d8_mini

d_mini = d5_mini – d2_maxi – d8_maxi

Calculs Détaillés

Calcul des valeurs extrêmes des cotes élémentaires :

• d5_maxi = 35 + 0,3 = 35,3 mm
• d5_mini = 35 - 0,3 = 34,7 mm
• d2_maxi = 28 + 0 = 28 mm
• d2_mini = 28 - 0,15 = 27,85 mm
• d8_maxi = 6 + 0,1 = 6,1 mm
• d8_mini = 6 - 0,05 = 5,95 mm

Application des équations :

d_maxi = d5_maxi – d2_mini – d8_mini

d_maxi = 35,3 – 27,85 – 5,95 = 1,5 mm

d_mini = d5_mini – d2_maxi – d8_maxi

d_mini = 34,7 – 28 – 6,1 = 0,6 mm

Conclusion

Les calculs montrent que le jeu "d" varie entre 0,6 mm et 1,5 mm. La condition fonctionnelle souhaitée était un jeu compris entre 0,5 mm et 1,5 mm.

Puisque d_mini (0,6 mm) est supérieur ou égal à 0,5 mm et d_maxi (1,5 mm) est inférieur ou égal à 1,5 mm, les valeurs calculées respectent la plage de tolérance souhaitée. La condition est donc respectée.

Exercice 4 : Ajustement d'une Cote de Pièce pour un Jeu Spécifique

Énoncé du Problème

Cet exercice vise à tracer la chaîne de cotes pour la condition fonctionnelle "a" (un jeu) et à calculer la cote nominale ainsi que les écarts de tolérance de la pièce 4. L'objectif est d'obtenir un jeu "a" compris entre 0,05 mm et 0,25 mm.

Diagramme de Contact et Chaîne de Cotes

La condition fonctionnelle "a" est définie par les cotes a10, a4 et a3, qui sont associées aux surfaces S3, S4 des composants (Axe épaulé 10, Bielle 3, Rondelle 4, Support 6).

La chaîne de cotes est composée de :

• S10 (associée à la cote a10)
• S4 (associée à la cote a4)
• S3 (associée à la cote a3)

Les cotes et leurs tolérances connues sont :

• Cote 10 (Axe épaulé 10) : 35 mm avec une tolérance de +0,1 mm et +0 mm.
• Cote 3 (Bielle 3) : 31 mm avec une tolérance de -0,05 mm et +0 mm.

On cherche la cote nominale et les écarts de tolérance de la Cote 4 (Rondelle 4).

Équations de la Condition Fonctionnelle "a"

Les équations pour les valeurs extrêmes du jeu "a" sont :

a_maxi = a10_maxi – a4_mini – a3_mini

a_mini = a10_mini – a4_maxi – a3_maxi

Calculs pour la Pièce 4

L'objectif est d'avoir un jeu "a" compris entre a_{mini_désiré} = 0,05 mm et a_{maxi_désiré} = 0,25 mm.

Nous devons réarranger les équations pour trouver a4_mini et a4_maxi :

À partir de a_{maxi_désiré} :
a4_mini = a10_maxi – a3_mini – a_{maxi_désiré}

À partir de a_{mini_désiré} :
a4_maxi = a10_mini – a3_maxi – a_{mini_désiré}

Calcul des valeurs extrêmes des cotes connues :

• a10_maxi = 35 + 0,1 = 35,1 mm
• a10_mini = 35 + 0 = 35 mm
• a3_maxi = 31 + 0 = 31 mm
• a3_mini = 31 - 0,05 = 30,95 mm

Application des équations pour a4 :

a4_mini = (35 + 0,1) – (31 – 0,05) – 0,25

a4_mini = 35,1 – 30,95 – 0,25 = 3,9 mm

a4_maxi = (35 + 0) – (31 + 0) – 0,05

a4_maxi = 35 – 31 – 0,05 = 3,95 mm

Conclusion

Pour que le jeu "a" soit compris entre 0,05 mm et 0,25 mm, la cote de la pièce 4 doit avoir une valeur nominale et des tolérances qui lui permettent de varier entre 3,9 mm et 3,95 mm. On peut donc définir la cote a4 comme étant de 3,9 mm avec une tolérance de +0,05 mm et +0 mm, ou 3,925 ± 0,025 mm si l'on cherche une tolérance centrée.

Exercice 5 : Construction de Chaînes de Cotes Multiples

Énoncé du Problème

Cet exercice demande de tracer les chaînes de cotes relatives aux conditions fonctionnelles a, b et c, et de préciser les équations permettant de calculer les valeurs extrêmes de ces trois cotes.

Analyse de la Condition "a"

Surfaces Impliquées

La condition "a" est définie par les cotes a2 et a4, associées aux surfaces S2 et S4.

Diagramme de Contact (éléments)

• S2 (associée à la cote a2)
• S4 (associée à la cote a4)

Équations

a_maxi = a2_maxi – a4_mini

a_mini = a2_mini – a4_maxi

Analyse de la Condition "b"

Surfaces Impliquées

La condition "b" est définie par les cotes b2 et b4, associées aux surfaces S2 et S4.

Diagramme de Contact (éléments)

• S2 (associée à la cote b2)
• S4 (associée à la cote b4)

Équations

b_maxi = b2_maxi – b4_mini

b_mini = b2_mini – b4_maxi

Analyse de la Condition "c"

Surfaces Impliquées

La condition "c" est définie par les cotes c2, c7 et c4, associées aux surfaces S2, S7 et S4.

Diagramme de Contact (éléments)

• S2 (associée à la cote c2)
• S7 (associée à la cote c7)
• S4 (associée à la cote c4)

Équations

c_maxi = c2_maxi + c7_maxi – c4_mini

c_mini = c2_mini + c7_mini – c4_maxi

Exercice 6 : Élaboration de Chaînes de Cotes Complexes

Énoncé du Problème

Cet exercice consiste à tracer les chaînes de cotes relatives aux conditions fonctionnelles a, b et c, et à spécifier les équations permettant de calculer les valeurs extrêmes de ces trois cotes.

Analyse de la Condition "a"

Surfaces Impliquées

La condition "a" est définie par les cotes a7, a1 et a8, associées aux surfaces S1, S7 et S8.

Diagramme de Contact (éléments)

• S7 (associée à la cote a7)
• S1 (associée à la cote a1)
• S8 (associée à la cote a8)

Équations

a_maxi = a7_maxi – a1_mini – a8_mini

a_mini = a7_mini – a1_maxi – a8_maxi

Analyse de la Condition "b"

Surfaces Impliquées

La condition "b" est définie par les cotes b1 et b5, associées aux surfaces S1 et S5.

Diagramme de Contact (éléments)

• S1 (associée à la cote b1)
• S5 (associée à la cote b5)

Équations

b_maxi = b1_maxi – b5_mini

b_mini = b1_mini – b5_maxi

Analyse de la Condition "c"

Surfaces Impliquées

La condition "c" est définie par les cotes c5 et c2, associées aux surfaces S2 et S5.

Diagramme de Contact (éléments)

• S5 (associée à la cote c5)
• S2 (associée à la cote c2)

Équations

c_maxi = c5_maxi – c2_mini

c_mini = c5_mini – c2_maxi

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Chaînes de Cotes

Qu'est-ce qu'une chaîne de cotes ?

Une chaîne de cotes est un ensemble de dimensions fonctionnelles (ou cotes élémentaires) qui se suivent pour relier deux surfaces d'un mécanisme dont l'écart (la cote condition ou cote fonctionnelle) doit être maîtrisé. Elle est essentielle pour l'analyse des tolérances et des ajustements entre les pièces.

Pourquoi est-il important de réaliser une chaîne de cotes ?

La réalisation d'une chaîne de cotes est cruciale en conception mécanique pour garantir que les assemblages de pièces respectent les fonctions prévues. Elle permet de :

• Vérifier la faisabilité d'un assemblage.
• Déterminer les tolérances à appliquer aux cotes des pièces pour assurer la fonction.
• Anticiper les problèmes de montage ou de fonctionnement liés à l'accumulation des tolérances.
• Optimiser les coûts en évitant des tolérances trop serrées et coûteuses si elles ne sont pas nécessaires.

Quels sont les principaux types de calculs en chaîne de cotes ?

Il existe principalement deux types de calculs en chaîne de cotes :

1. Calcul direct (ou de vérification) : Il s'agit de déterminer la plage de variation (maximum et minimum) d'une cote condition à partir des dimensions nominales et des tolérances des cotes élémentaires. Ceci permet de vérifier si la condition fonctionnelle sera respectée.
2. Calcul inverse (ou de détermination) : Ce calcul vise à définir les tolérances d'une (ou plusieurs) cote(s) élémentaire(s) pour que la cote condition respecte une plage de variation donnée. C'est souvent utilisé pour concevoir les tolérances de fabrication.

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