Exercices sur les proprietes de r et les rationnels analyse
Télécharger PDFExo7 Propriétés de R 1 Les rationnels Q
Exercice 11. Démontrer que si r ∈ Q et x ∈/ Q alors r +x ∈/ Q et si r 6= 0 alors r.x ∈/ Q. 2. Montrer que √2 6∈ Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indication H Correction H Vidéo [000451]
Exercice 2Montrer que ln 3 ln 2 est irrationnel. Indication H Correction H Vidéo [000461]
Exercice 31. Soit Nn = 0,1997 1997...1997 (n fois). Mettre Nn sous la forme pqavec p,q ∈ N∗. 2. Soit M = 0,1997 1997 1997...... Donner le rationnel dont l’écriture décimale est M. 3. Même question avec : P = 0,11111... + 0,22222... + 0,33333... + 0,44444... + 0,55555... + 0,66666... + 0,77777... + 0,88888...+0,99999... Indication H Correction H Vidéo [000459]
Exercice 4Soit p(x) = ∑ni=0ai· xi. On suppose que tous les ai sont des entiers. 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ(avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an. 2. On considère le nombre √2+√3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indication H Correction H Vidéo [000457] 2 Maximum, minimum, borne supérieure...
Exercice 5Le maximum de deux nombres x, y (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x, y). De même on notera min(x, y) le plus petit des deux nombres x, y. Démontrer que : max(x, y) = x+y+|x−y| 2et min(x, y) = x+y−|x−y| 2. Trouver une formule pour max(x, y,z). Indication H Correction H Vidéo [000464]
Exercice 6Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : A = {un | n ∈ N} en posant un = 2nsi n est pair et un = 2−nsinon. Indication H Correction H Vidéo [000465] 1
Exercice 7Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0,1]∩Q , ]0,1[∩Q , N , (−1)n +1n2| n ∈ N∗ . Correction H Vidéo [000466]
Exercice 8Soient A et B deux parties bornées de R. On note A+B = {a+b | (a,b) ∈ A×B}. 1. Montrer que supA+supB est un majorant de A+B. 2. Montrer que sup(A+B) = supA+supB. Indication H Correction H Vidéo [000476]
Exercice 9Soit A et B deux parties bornées de R. Vrai ou faux ? 1. A ⊂ B ⇒ supA 6 supB, 2. A ⊂ B ⇒ infA 6 infB, 3. sup(A∪B) = max(supA,supB), 4. sup(A+B) < supA+supB, 5. sup(−A) = −infA, 6. supA+infB 6 sup(A+B). Indication H Correction H Vidéo [000477] 3 Divers
Exercice 10Soit x un réel. 1. Donner l’encadrement qui définit la partie entière E(x). 2. Soit (un)n∈N∗ la suite définie par un =E(x) +E(2x) +...+E(nx) n2. Donner un encadrement simple de n2 ×un, qui utilise ∑nk=1k. 3. En déduire que (un) converge et calculer sa limite. 4. En déduire que Q est dense dans R. Indication H Correction H Vidéo [005982]
Exercice 11Soit f : R → R telle que ∀(x, y) ∈ R2f(x+y) = f(x) + f(y). Montrer que 1. ∀n ∈ N f(n) = n · f(1). 2. ∀n ∈ Z f(n) = n · f(1). 3. ∀q ∈ Q f(q) = q · f(1). 4. ∀x ∈ R f(x) = x · f(1) si f est croissante. Indication H Correction H Vidéo [000497] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur .emath.fr 2
Indication pour l’exercice 1 N 1. Raisonner par l’absurde. 2. Raisonner par l’absurde en écrivant √2 =pqavec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs. 3. Considérer r + √22(r0 −r) (faites un dessin !) pour deux rationnels r,r0. Puis utiliser les deux questions précédentes. Indication pour l’exercice 2 N Raisonner par l’absurde ! Indication pour l’exercice 3 N 1. Mutiplier Nn par une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier. 2. Mutiplier M par une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire M pour obtenir un nombre entier. Indication pour l’exercice 4 N 1. Calculer βn p(αβ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 −5)2 −24. Indication pour l’exercice 5 N Distinguer des cas. Indication pour l’exercice 6 N infA = 0, A n’a pas de borne supérieure. Indication pour l’exercice 8 N Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d’un ensemble borné : c’est le plus petit des majorants. En particulier la borne supérieure est un majorant. Indication pour l’exercice 9 N Deux propositions sont fausses... Indication pour l’exercice 10 N 1. Rappelez-vous que la partie entière de x est le plus grand entier, inférieur ou égal à x. Mais il est ici préférable de donner la définition de E(x) en disant que E(x) ∈ Z et que x vérifie un certain encadrement... 2. Encadrer E(kx), pour k = 1,...,n. 3. Rappelez-vous d’abord de la formule 1+2+···+n puis utilisez le fameux théorème des gendarmes. 4. Les un ne seraient-ils pas des rationnels ? Indication pour l’exercice 11 N 1. f(2) = f(1+1) = ···, faire une récurrence. 2. f((−n) +n) = ···. 3. Si q =ab, calculer f(ab +ab +···+ab) avec b termes dans cette somme. 4. Utiliser la densité de Q dans R : pour x ∈ R fixé, prendre une suite de rationnels qui croit vers x, et une autre qui décroit vers x. 3
Correction de l’exercice 1 N 1. Soit r =pq∈ Q et x ∈/ Q. Par l’absurde supposons que r + x ∈ Q alors il existe deux entiers p0,q0tels que r + x =p0q0 . Donc x =p0q0 −pq =qp0−pq0 qq0 ∈ Q ce qui est absurde car x ∈/ Q. De la même façon si r· x ∈ Q alors r· x =p0q0 Et donc x =p0q0qp. Ce qui est absurde. 2. Méthode “classique”. Supposons, par l’absurde, que √2 ∈ Q alors il existe deux entiers p,q tels que √2 =pq. De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (p et q sont premiers entre eux). En élevant l’égalité au carré nous obtenons q2 × 2 = p2. Donc p2est un nombre pair, cela implique que p est un nombre pair (si vous n’êtes pas convaincu écrivez la contraposée “p impair ⇒ p2impair”). Donc p = 2× p0avec p0 ∈ N, d’où p2 = 4× p02. Nous obtenons q2 = 2× p02. Nous en déduisons maintenant que q2est pair et comme ci-dessus que q est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et q étant tous les deux pairs la fraction pqn’est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Donc √2 ∈/ Q. Autre méthode. Supposons par l’absurde que √2 ∈ Q. Alors √2 =pqpour deux entiers p,q ∈ N∗. Alors nous avons q ·√2 ∈ N. Considérons l’ensemble suivant : n N = n ∈ N∗| n ·√2 ∈ No. Cet ensemble N est une partie de N∗ qui est non vide car q ∈ N . On peut alors prendre le plus petit élément de N : n0 = minN . En particulier n0 ·√2 ∈ N. Définissons maintenant n1 de la façon suivante : n1 = n0 ·√2 − n0. Il se trouve que n1 appartient aussi à N car d’une part n1 ∈ N (car n0 et n0 ·√2 sont des entiers) et d’autre part n1 ·√2 = n0 · 2−n0 ·√2 ∈ N. Montrons maintenant que n1 est plus petit que n0. Comme 0 <√2−1 < 1 alors n1 = n0(√2−1) < n0 et est non nul. Bilan : nous avons trouvé n1 ∈ N strictement plus petit que n0 = minN . Ceci fournit une contradiction. Conclusion : √2 n’est pas un nombre rationnel. 3. Soient r,r0 deux rationnels avec r < r0. Notons x = r +√22(r0 − r). D’une part x ∈]r,r0[ (car 0 <√22 < 1) et d’après les deux premières questions √2 r0−r 2 Correction de l’exercice 2 N Par l’absurde supposons que ln 3 ∈/ Q donc x ∈/ Q. Et donc x est un nombre irrationnel compris entre r et r0. ln 2 soit un rationnel. Il s’écrit alors pqavec p > 0,q > 0 des entiers. On obtient qln 3 = pln 2. En prenant l’exponentielle nous obtenons : exp(qln 3) = exp(pln 2) soit 3q = 2p. Si p ≥ 1 alors 2 divise 3q donc 2 divise 3, ce qui est absurde. Donc p = 0. Ceci nous conduit à l’égalité 3q = 1, donc q = 0. La seule solution possible est p = 0, q = 0. Ce qui contredit q 6= 0. Donc ln 3 ln 2 est irrationnel. Correction de l’exercice 3 N 1. Soit p = 1997 1997 ...1997 et q = 1 0000 0000 ...0000 = 104n. Alors Nn =pq. 2. Remarquons que 10 000× M = 1997,1997 1997 ... Alors 10 000× M − M = 1997 ; donc 9999× M = 1997 d’où M =1997 3. 0,111... =19, 0,222... =29, etc. D’où P =19 +29 +···+99 =1+2+···+9 9 =459 = 5. Correction de l’exercice 4 N 9999 . 1. Soit αβ∈ Q avec pgcd(α,β) = 1. Pour p(αβ) = 0, alors ∑ni=0ai αβ i= 0. Après multiplication par βn nous obtenons l’égalité suivante : anαn +an−1αn−1β +···+a1αβn−1 +a0βn = 0. En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier par β, nous écrivons anαn +βq = 0. Ceci entraîne que β divise anαn, mais comme β et αnsont premier entre eux alors par le lemme de Gauss β divise an. De même en factorisant par α tous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous obtenons αq0 +a0βn = 0 et par un raisonnement similaire α divise a0. 2. Notons γ =√2+√3. Alors γ2 = 5+2√2√3 Et donc γ2 −5 2= 4×2×3, Nous choisissons p(x) = (x2 −5)2 −24, qui s’écrit aussi p(x) = x4 − 10x2 + 1. Vu notre choix de p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γ est rationnel, alors γ =αβet d’après la première question α divise le terme constant de p, c’est-à-dire 1. Donc α = ±1. De même β divise le coefficient du terme de plus haut degré de p, donc β divise 1, soit β = 1. Ainsi γ = ±1, ce qui est évidemment absurde ! Correction de l’exercice 5 N Explicitons la formule pour max(x, y). Si x > y, alors |x−y| = x−y donc 12(x+y+|x−y|) = 12(x+y+x−y) = x. De même si x 6 y, alors |x−y| = −x+y donc 12(x+y+|x−y|) = 12(x+y−x+y) = y. Pour trois éléments, nous avons max(x, y,z) = maxmax(x, y),z , donc d’après les formules pour deux éléments : max(x, y,z) = max(x, y) +z+|max(x, y)−z| 2 12(x+y+|x−y|) +z+ 12(x+y+|x−y|)−z = 2. 4
Correction de l’exercice 6 N (u2k)ktend vers +∞ et donc A ne possède pas de majorant, ainsi A n’a pas de borne supérieure (cependant certains écrivent alors supA = +∞). D’autre part toutes les valeurs de (un) sont positives et (u2k+1)ktend vers 0, donc infA = 0. Correction de l’exercice 7 N 1. [0,1] ∩ Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ] − ∞,0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0. 2. ]0,1[∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ] − ∞,0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément. 3. N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants : ] − ∞,0]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. n (−1)n +1n2| n ∈ N∗o. Les majorants : [54,+∞[. Les minorants : ]−∞,−1]. La borne supérieure : 54. La borne inférieure : −1. 4. Le plus grand élément : 54. Pas de plus petit élément. Correction de l’exercice 8 N 1. Soient A et B deux parties bornées de R. On sait que supA est un majorant de A, c’est-à-dire, pour tout a ∈ A, a 6 supA. De même, pour tout b ∈ B, b ≤ supB. On veut montrer que supA+supB est un majorant de A+B. Soit donc x ∈ A+B. Cela signifie que x est de la forme a+b pour un a ∈ A et un b ∈ B. Or a 6 supA, et b ≤ supB, donc x = a+b 6 supA+supB. Comme ce raisonnement est valide pour tout x ∈ A+B cela signifie que supA+supB est un majorant de A+B. 2. On veut montrer que, quel que soit ε > 0, supA+supB−ε n’est pas un majorant de A+B. On prend donc un ε > 0 quelconque, et on veut montrer que supA+supB−ε ne majore pas A+B. On s’interdit donc dans la suite de modifier ε. Comme supA est le plus petit des majorants de A, supA − ε/2 n’est pas un majorant de A. Cela signifie qu’il existe un élément a de A tel que a > supA−ε/2. Attention : supA−ε/2 n’est pas forcément dans A ; supA non plus. De la même manière, il existe b ∈ B tel que b > supB−ε/2. Or l’élément x défini par x = a+b est un élément de A+B, et il vérifie x > (supA−ε/2) + (supB−ε/2) = supA+supB−ε. Ceci implique que supA+supB−ε n’est pas un majorant de A+B. 3. supA+supB est un majorant de A+B d’après la partie 1. Mais, d’après la partie 2., dès qu’on prend un ε > 0, supA+supB−ε n’est pas un majorant de A+B. Donc supA+supB est bien le plus petit des majorants de A+B, c’est donc la borne supérieure de A+B. Autrement dit sup(A+B) = supA+supB. Correction de l’exercice 9 N 1. Vrai. 2. Faux. C’est vrai avec l’hypothèse B ⊂ A et non A ⊂ B. 3. Vrai. 4. Faux. Il y a égalité. 5. Vrai. 6. Vrai. Correction de l’exercice 10 N 1. Par définition est l’unique nombre E(x) ∈ Z tel que E(x) ≤ x < E(x) +1. 2. Pour le réel kx, (k = 1,...,n) l’encadrement précédent s’écrit E(kx) ≤ kx < E(kx) + 1. Ces deux inégalités s’écrivent aussi E(kx) ≤ kx et E(kx) > kx −1, d’où l’encadrement kx −1 < E(kx) ≤ kx. On somme cet encadrement, k variant de 1 à n, pour obtenir :n∑ k=1 (kx−1) < n∑ k=1 E(kx) ≤ n∑ k=1 kx. Ce qui donne x · n∑ k=1 k −n < n2· un ≤ x ·n∑ k=1 5
k. 3. On se rappelle que ∑nk=1k =n(n+1) 2donc nous obtenons l’encadrement : x ·1n2·n(n+1) 2−1n< un ≤ x ·1n2·n(n+1) 2. n2·n(n+1) 1 2tend vers 12, donc par le théorème des gendarmes (un) tend vers x2. 4. Chaque un est un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite (un) tend vers x2, alors la suite de rationnels (2un) tend vers x. Chaque réel x ∈ R peut être approché d’aussi près que l’on veut par des rationnels, donc Q est dense dans R. Correction de l’exercice 11 N 1. Calculons d’abord f(0). Nous savons f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0), donc f(0) = 0. Montrons le résultat demandé par récur rence : pour n = 1, nous avons bien f(1) = 1× f(1). Si f(n) = n f(1) alors f(n+1) = f(n)+ f(1) = n f(1)+ f(1) = (n+1)f(1). 2. 0 = f(0) = f(−1+1) = f(−1) + f(1). Donc f(−1) = −f(1). Puis comme ci-dessus f(−n) = n f(−1) = −n f(1). 3. Soit q =ab. Alors f(a) = f(ab +ab + ··· +ab) = f(ab) + ··· + f(ab) (b termes dans ces sommes). Donc f(a) = b f(ab). Soit a f(1) = b f(ab). Ce qui s’écrit aussi f(ab) = abf(1). 4. Fixons x ∈ R. Soit (αi) une suite croissante de rationnels qui tend vers x. Soit (βi) une suite décroissante de rationnels qui tend vers x : α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ ... ≤ x ≤ ··· ≤ β2 ≤ β1. Alors comme αi ≤ x ≤ βi et que f est croissante nous avons f(αi) ≤ f(x) ≤ f(βi). D’après la question précédent cette inéquation devient : αif(1) ≤ f(x) ≤ βif(1). Comme (αi) et (βi) tendent vers x. Par le “théorème des gendarmes” nous obtenons en passant à la limite : x f(1) ≤ f(x) ≤ x f(1). Soit f(x) = x f(1). 6