Exercices sur les proprietes de r et les rationnels analyse
Télécharger PDFExercice 1 : Propriétés des nombres rationnels et irrationnels
1. Démontrer que si r est un nombre rationnel (r ∈ Q) et x est un nombre irrationnel (x ∉ Q), alors la somme r + x est irrationnelle. De plus, si r ≠ 0, démontrer que le produit r ⋅ x est irrationnel.
2. Montrer que la racine carrée de 2 (√2) est irrationnelle (√2 ∉ Q).
3. En déduire qu'entre deux nombres rationnels distincts, il existe toujours au moins un nombre irrationnel.
Exercice 2 : Irrationalité du rapport de logarithmes
Montrer que le rapport ln 3 / ln 2 est un nombre irrationnel.
Exercice 3 : Écriture décimale et nombres rationnels
1. Soit Nn le nombre décimal 0,1997 1997...1997, où la séquence "1997" se répète n fois. Mettre Nn sous la forme d'une fraction p/q, avec p et q des entiers naturels non nuls (p, q ∈ N*).
2. Soit M le nombre décimal périodique infini 0,1997 1997 1997... Donner la forme rationnelle (fraction) dont M est l'écriture décimale.
3. Donner la forme rationnelle de P, où P est la somme suivante : P = 0,11111... + 0,22222... + 0,33333... + 0,44444... + 0,55555... + 0,66666... + 0,77777... + 0,88888... + 0,99999...
Exercice 4 : Racines rationnelles de polynômes
Soit p(x) un polynôme défini par p(x) = ∑ni=0 aixi, où tous les coefficients ai sont des entiers.
1. Montrer que si p(x) possède une racine rationnelle α/β (avec α et β des entiers premiers entre eux, β ≠ 0), alors α divise le terme constant a0 et β divise le coefficient du terme de plus haut degré an.
2. On considère le nombre √2 + √3. En calculant son carré, montrer que ce carré est une racine d'un polynôme de degré 2. En déduire, à l'aide du résultat de la première question, que √2 + √3 n'est pas un nombre rationnel.
Exercice 5 : Maximum, minimum et borne supérieure
Le maximum de deux nombres x, y (c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x, y). De même, on notera min(x, y) le plus petit des deux nombres x, y. Démontrer les formules suivantes :
max(x, y) = (x + y + |x − y|) / 2
min(x, y) = (x + y − |x − y|) / 2
Ensuite, trouver une formule pour max(x, y, z).
Exercice 6 : Bornes supérieure et inférieure d'une suite
Déterminer la borne supérieure (supremum) et la borne inférieure (infimum), si elles existent, de l'ensemble A = {un | n ∈ N}, où la suite un est définie par : un = 2n si n est pair, et un = 2-n sinon.
Exercice 7 : Caractérisation d'ensembles de réels
Déterminer, pour chacun des ensembles suivants (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément et le plus petit élément.
[0, 1] ∩ Q (intervalle fermé 0-1 intersecté avec les rationnels)
]0, 1[ ∩ Q (intervalle ouvert 0-1 intersecté avec les rationnels)
N (l'ensemble des entiers naturels)
{(-1)n + 1/n² | n ∈ N*} (ensemble des termes d'une suite)
Exercice 8 : Borne supérieure de la somme d'ensembles
Soient A et B deux parties bornées de l'ensemble des nombres réels (R). On définit la somme d'ensembles A + B comme suit : A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B}.
1. Montrer que la somme des bornes supérieures, sup A + sup B, est un majorant de l'ensemble A + B.
2. Montrer que la borne supérieure de l'ensemble A + B est égale à la somme des bornes supérieures : sup(A + B) = sup A + sup B.
Exercice 9 : Vrai ou Faux sur les bornes d'ensembles
Soient A et B deux parties bornées de l'ensemble des nombres réels (R). Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si A est inclus dans B (A ⊂ B), alors sup A ≤ sup B.
2. Si A est inclus dans B (A ⊂ B), alors inf A ≤ inf B.
3. sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B).
4. sup(A + B) < sup A + sup B.
5. sup(−A) = −inf A.
6. sup A + inf B ≤ sup(A + B).
Exercice 10 : Partie entière et densité de Q dans R
Soit x un nombre réel.
1. Donner l'encadrement qui définit la partie entière E(x) d'un réel x.
2. Soit (un)n∈N* la suite définie par un = (E(x) + E(2x) + ... + E(nx)) / n². Donner un encadrement simple de n² ⋅ un, en utilisant la somme ∑nk=1 k.
3. En déduire que la suite (un) converge et calculer sa limite.
4. En déduire que l'ensemble des nombres rationnels (Q) est dense dans l'ensemble des nombres réels (R).
Exercice 11 : Propriétés des fonctions additives
Soit f une fonction de R dans R telle que pour tout (x, y) ∈ R², f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer que :
1. Pour tout entier naturel n (n ∈ N), f(n) = n ⋅ f(1).
2. Pour tout entier relatif n (n ∈ Z), f(n) = n ⋅ f(1).
3. Pour tout nombre rationnel q (q ∈ Q), f(q) = q ⋅ f(1).
4. Pour tout nombre réel x (x ∈ R), f(x) = x ⋅ f(1), si f est une fonction croissante.
Indications
Exercice 1
1. Raisonner par l'absurde.
2. Raisonner par l'absurde en écrivant √2 = p/q avec p et q premiers entre eux. Plusieurs méthodes sont possibles, par exemple, essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs.
3. Considérer r + (√2/2)(r0 − r) (faites un dessin !) pour deux rationnels r, r0. Puis utiliser les deux questions précédentes.
Exercice 2
Raisonner par l'absurde !
Exercice 3
1. Multiplier Nn par une puissance de 10 suffisamment grande pour obtenir un nombre entier.
2. Multiplier M par une puissance de 10 suffisamment grande (pas trop grande) puis soustraire M pour obtenir un nombre entier.
Exercice 4
1. Calculer βn ⋅ p(α/β) et utiliser le lemme de Gauss.
2. Utiliser la première question avec p(x) = (x² − 5)² − 24.
Exercice 5
Distinguer des cas.
Exercice 6
inf A = 0, A n'a pas de borne supérieure.
Exercice 8
Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d'un ensemble borné : c'est le plus petit des majorants. En particulier, la borne supérieure est un majorant.
Exercice 9
Deux propositions sont fausses...
Exercice 10
1. Rappelez-vous que la partie entière de x est le plus grand entier, inférieur ou égal à x. Mais il est ici préférable de donner la définition de E(x) en disant que E(x) ∈ Z et que x vérifie un certain encadrement...
2. Encadrer E(kx), pour k = 1,...,n.
3. Rappelez-vous d'abord de la formule 1+2+...+n puis utilisez le fameux théorème des gendarmes.
4. Les un ne seraient-ils pas des rationnels ?
Exercice 11
1. f(2) = f(1+1) = ..., faire une récurrence.
2. f((-n) + n) = ...
3. Si q = a/b, calculer f(a/b + a/b + ... + a/b) avec b termes dans cette somme.
4. Utiliser la densité de Q dans R : pour x ∈ R fixé, prendre une suite de rationnels qui croît vers x, et une autre qui décroît vers x.
Corrections
Exercice 1
1. Soit r = p/q ∈ Q et x ∉ Q. Par l'absurde supposons que r + x ∈ Q. Alors il existe deux entiers p0, q0 tels que r + x = p0/q0. Donc x = p0/q0 − p/q = (q p0 − p q0) / (q q0) ∈ Q, ce qui est absurde car x ∉ Q. De la même façon, si r ⋅ x ∈ Q alors r ⋅ x = p0/q0 et donc x = (p0 q) / (q0 p). Ce qui est absurde.
2. Méthode "classique". Supposons, par l'absurde, que √2 ∈ Q. Alors il existe deux entiers p, q tels que √2 = p/q. De plus, nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (p et q sont premiers entre eux). En élevant l'égalité au carré nous obtenons q² ⋅ 2 = p². Donc p² est un nombre pair, cela implique que p est un nombre pair (si vous n'êtes pas convaincu écrivez la contraposée "p impair ⇒ p² impair"). Donc p = 2p0 avec p0 ∈ N, d'où p² = 4p0². Nous obtenons q² = 2p0². Nous en déduisons maintenant que q² est pair et, comme ci-dessus, que q est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et q étant tous les deux pairs, la fraction p/q n'est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Donc √2 ∉ Q.
Autre méthode. Supposons par l'absurde que √2 ∈ Q. Alors √2 = p/q pour deux entiers p, q ∈ N*. Alors nous avons q ⋅ √2 ∈ N. Considérons l'ensemble suivant : N = {n ∈ N* | n ⋅ √2 ∈ N}. Cet ensemble N est une partie de N* qui est non vide car q ∈ N. On peut alors prendre le plus petit élément de N : n0 = min N. En particulier n0 ⋅ √2 ∈ N. Définissons maintenant n1 de la façon suivante : n1 = n0 ⋅ √2 − n0. Il se trouve que n1 appartient aussi à N car d'une part n1 ∈ N (car n0 et n0 ⋅ √2 sont des entiers) et d'autre part n1 ⋅ √2 = n0 ⋅ 2 − n0 ⋅ √2 ∈ N. Montrons maintenant que n1 est plus petit que n0. Comme 0 < √2 − 1 < 1, alors n1 = n0(√2 − 1) < n0 et est non nul. Bilan : nous avons trouvé n1 ∈ N strictement plus petit que n0 = min N. Ceci fournit une contradiction. Conclusion : √2 n'est pas un nombre rationnel.
3. Soient r, r0 deux rationnels avec r < r0. Notons x = r + (√2/2)(r0 − r). D'une part x ∈ ]r, r0[ (car 0 < √2/2 < 1) et d'après les deux premières questions √2 est irrationnel, donc (√2/2)(r0 − r) est irrationnel (car r0 − r ≠ 0 et est rationnel). Puis r + (√2/2)(r0 − r) est irrationnel. Et donc x est un nombre irrationnel compris entre r et r0.
Exercice 2
Par l'absurde, supposons que ln 3 / ln 2 soit un rationnel. Il s'écrit alors p/q avec p > 0, q > 0 des entiers. On obtient q ln 3 = p ln 2. En prenant l'exponentielle nous obtenons : exp(q ln 3) = exp(p ln 2) soit 3q = 2p. Si p ≥ 1 alors 2 divise 3q, ce qui est absurde. Donc p = 0. Ceci nous conduit à l'égalité 3q = 1, donc q = 0. La seule solution possible est p = 0, q = 0, ce qui contredit q ≠ 0. Donc ln 3 / ln 2 est irrationnel.
Exercice 3
1. Soit p = 1997 1997 ...1997 (n fois) et q = 104n. Alors Nn = p/q.
2. Remarquons que 10 000 ⋅ M = 1997,1997 1997 ... Alors 10 000 ⋅ M − M = 1997 ; donc 9999 ⋅ M = 1997 d'où M = 1997/9999.
3. 0,111... = 1/9, 0,222... = 2/9, etc. D'où P = 1/9 + 2/9 + ... + 9/9 = (1 + 2 + ... + 9) / 9 = 45/9 = 5.
Exercice 4
1. Soit α/β ∈ Q avec pgcd(α,β) = 1. Pour p(α/β) = 0, alors ∑ni=0 ai(α/β)i = 0. Après multiplication par βn nous obtenons l'égalité suivante : anαn + an-1αn-1β + ... + a1αβn-1 + a0βn = 0. En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier par β, nous écrivons anαn + βq = 0. Ceci entraîne que β divise anαn, mais comme β et αn sont premiers entre eux, alors par le lemme de Gauss, β divise an. De même, en factorisant par α tous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous obtenons αq0 + a0βn = 0 et par un raisonnement similaire, α divise a0.
2. Notons γ = √2 + √3. Alors γ² = 5 + 2√6. Et donc (γ² − 5)² = (2√6)² = 24. Nous choisissons p(x) = (x² − 5)² − 24, qui s'écrit aussi p(x) = x4 − 10x² + 1. Vu notre choix de p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γ est rationnel, alors γ = α/β et d'après la première question α divise le terme constant de p, c'est-à-dire 1. Donc α = ±1. De même β divise le coefficient du terme de plus haut degré de p, donc β divise 1, soit β = 1. Ainsi γ = ±1, ce qui est évidemment absurde !
Exercice 5
Explicitons la formule pour max(x, y). Si x > y, alors |x−y| = x−y donc (1/2)(x+y+|x−y|) = (1/2)(x+y+x−y) = x. De même si x ≤ y, alors |x−y| = −x+y donc (1/2)(x+y+|x−y|) = (1/2)(x+y−x+y) = y. Pour trois éléments, nous avons max(x, y, z) = max(max(x, y), z), donc d'après les formules pour deux éléments : max(x, y, z) = (max(x, y) + z + |max(x, y) − z|) / 2.
Exercice 6
La sous-suite (u2k)k (lorsque n est pair, un = 2n) tend vers +∞ et donc A ne possède pas de majorant. Ainsi A n'a pas de borne supérieure (cependant certains écrivent alors sup A = +∞). D'autre part toutes les valeurs de (un) sont positives et la sous-suite (u2k+1)k (lorsque n est impair, un = 2-n = 1/2n) tend vers 0, donc inf A = 0.
Exercice 7
1. [0, 1] ∩ Q. Les majorants : [1, +∞[. Les minorants : ]−∞, 0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément : 0.
2. ]0, 1[ ∩ Q. Les majorants : [1, +∞[. Les minorants : ]−∞, 0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Il n'existe pas de plus grand élément ni de plus petit élément.
3. N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants : ]−∞, 0]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0.
4. {(-1)n + 1/n² | n ∈ N*}. Les majorants : [5/4, +∞[. Les minorants : ]−∞, −1]. La borne supérieure : 5/4. La borne inférieure : −1. Le plus grand élément : 5/4 (pour n=2, (-1)² + 1/2² = 1 + 1/4 = 5/4). Pas de plus petit élément.
Exercice 8
1. Soient A et B deux parties bornées de R. On sait que sup A est un majorant de A, c'est-à-dire, pour tout a ∈ A, a ≤ sup A. De même, pour tout b ∈ B, b ≤ sup B. On veut montrer que sup A + sup B est un majorant de A + B. Soit donc x ∈ A + B. Cela signifie que x est de la forme a + b pour un a ∈ A et un b ∈ B. Or a ≤ sup A, et b ≤ sup B, donc x = a + b ≤ sup A + sup B. Comme ce raisonnement est valide pour tout x ∈ A + B cela signifie que sup A + sup B est un majorant de A + B.
2. On veut montrer que, quel que soit ε > 0, sup A + sup B − ε n'est pas un majorant de A + B. On prend donc un ε > 0 quelconque, et on veut montrer que sup A + sup B − ε ne majore pas A + B. On s'interdit donc dans la suite de modifier ε. Comme sup A est le plus petit des majorants de A, sup A − ε/2 n'est pas un majorant de A. Cela signifie qu'il existe un élément a de A tel que a > sup A − ε/2. Attention : sup A − ε/2 n'est pas forcément dans A ; sup A non plus. De la même manière, il existe b ∈ B tel que b > sup B − ε/2. Or l'élément x défini par x = a + b est un élément de A + B, et il vérifie x > (sup A − ε/2) + (sup B − ε/2) = sup A + sup B − ε. Ceci implique que sup A + sup B − ε n'est pas un majorant de A + B.
3. sup A + sup B est un majorant de A + B d'après la partie 1. Mais, d'après la partie 2, dès qu'on prend un ε > 0, sup A + sup B − ε n'est pas un majorant de A + B. Donc sup A + sup B est bien le plus petit des majorants de A + B, c'est donc la borne supérieure de A + B. Autrement dit sup(A + B) = sup A + sup B.
Exercice 9
1. Vrai.
2. Faux. C'est vrai avec l'hypothèse B ⊂ A et non A ⊂ B.
3. Vrai.
4. Faux. Il y a égalité.
5. Vrai.
6. Vrai.
Exercice 10
1. Par définition, E(x) est l'unique nombre entier tel que E(x) ≤ x < E(x) + 1.
2. Pour le réel kx, (k = 1,...,n) l'encadrement précédent s'écrit E(kx) ≤ kx < E(kx) + 1. Ces deux inégalités s'écrivent aussi E(kx) ≤ kx et E(kx) > kx − 1, d'où l'encadrement kx − 1 < E(kx) ≤ kx. On somme cet encadrement, k variant de 1 à n, pour obtenir : ∑nk=1 (kx − 1) < ∑nk=1 E(kx) ≤ ∑nk=1 kx. Ce qui donne x ⋅ ∑nk=1 k − n < n² ⋅ un ≤ x ⋅ ∑nk=1 k.
3. On se rappelle que ∑nk=1 k = n(n+1)/2 donc nous obtenons l'encadrement : x ⋅ (1/n²) ⋅ (n(n+1)/2) − 1/n < un ≤ x ⋅ (1/n²) ⋅ (n(n+1)/2). Le terme (1/n²) ⋅ (n(n+1)/2) = (n+1)/(2n) tend vers 1/2, donc par le théorème des gendarmes (un) tend vers x/2.
4. Chaque un est un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite (un) tend vers x/2, alors la suite de rationnels (2un) tend vers x. Chaque réel x ∈ R peut être approché d'aussi près que l'on veut par des rationnels, donc Q est dense dans R.
Exercice 11
1. Calculons d'abord f(0). Nous savons f(1) = f(1+0) = f(1) + f(0), donc f(0) = 0. Montrons le résultat demandé par récurrence : pour n = 1, nous avons bien f(1) = 1 ⋅ f(1). Si f(n) = n f(1) alors f(n+1) = f(n) + f(1) = n f(1) + f(1) = (n+1)f(1).
2. 0 = f(0) = f(−1+1) = f(−1) + f(1). Donc f(−1) = −f(1). Puis comme ci-dessus f(−n) = n f(−1) = −n f(1).
3. Soit q = a/b. Alors f(a) = f(a/b + a/b + ... + a/b) (b termes dans cette somme). Donc f(a) = b f(a/b). Or d'après la question 1, f(a) = a f(1). Soit a f(1) = b f(a/b). Ce qui s'écrit aussi f(a/b) = (a/b)f(1).
4. Fixons x ∈ R. Soit (αi) une suite croissante de rationnels qui tend vers x. Soit (βi) une suite décroissante de rationnels qui tend vers x : α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ ... ≤ x ≤ ... ≤ β2 ≤ β1. Alors comme αi ≤ x ≤ βi et que f est croissante, nous avons f(αi) ≤ f(x) ≤ f(βi). D'après la question précédente cette inéquation devient : αif(1) ≤ f(x) ≤ βif(1). Comme (αi) et (βi) tendent vers x, par le "théorème des gendarmes" nous obtenons en passant à la limite : x f(1) ≤ f(x) ≤ x f(1). Soit f(x) = x f(1).
FAQ
Qu'est-ce qu'un nombre rationnel et irrationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme une fraction p/q, où p est un entier et q est un entier non nul. Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous cette forme, comme √2 ou π.
Comment démontrer qu'un nombre est irrationnel ?
La méthode la plus courante est la preuve par l'absurde. On suppose que le nombre est rationnel (peut être écrit p/q sous forme irréductible) et on dérive une contradiction logique, ce qui invalide l'hypothèse initiale et prouve l'irrationalité.
Qu'est-ce que la borne supérieure et inférieure d'un ensemble ?
Pour un ensemble de nombres réels borné, la borne supérieure (supremum) est le plus petit des majorants de cet ensemble, tandis que la borne inférieure (infimum) est le plus grand des minorants. Contrairement au plus grand ou plus petit élément, la borne supérieure ou inférieure n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.