M111 td 1 (solution) -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDFTD 1 Excercice ( 20 Série 1 Nombres Réels 2 x = x + x = x + y + x y z y = y + y = y + x + y = x 1~1 +18 | | x+y! 12 x < 10+8+x=4 | 2/ x 21 x + y + 1x-y]@ d'aprés et d'ou 20 2y| < | y+x+y=" 3/y | < |y + x | + | x=8l @ 20 2 (w+/yl) 2/x+y+2x-y| (2' (W + (yl) < 2 (1 x + y + 10-yl) | x | + |y| < | x2 + y + 1x - y l 20 19 = (1 + 1 ) = ( 1 + | ~ - 3 | ) ( 1 + |y1|) = 1 +|x1||+|y - 3 + ( 1 0 - 4 | | y − 4 ) 1+/x-4+/y-1+ ((x-1) (y-1)] = T 1 + x = 1 | + | y- 1 + | xy-x-y+ 1 | 14 | x-1) ly-1/ |2|+|y| | x+y) + 1x-1/+1y- || + | xy - x - y + 1/> 1 + 1 x - 1 + y - 1+xy-b 1 / 2 - 1 / 4 / 8 - 1 | + | xy - x - y + 1 > ± + /xy - 1 Excercice (2) d'ou 1 + 1 x y − 1 ) ( ( 1 + 1 x − 1 ) ( 1 + Ty-1)) C V x € Z E ( p J + E ( x ) = 0 et V x € IR / Z E (x) + E (- y) = 1 P < x <pty ou VxEZ E (x) = P E(-x) = -P Y E(x) + E(-x) = p-p = 0 = E (x)+ E(-x) = O ¥re B P < x < p + 1 E(x) = -p-1-p-1 <-xx-p E(x) + E(-x) = -p-1 + p = -1 21E (20) < x { -1 (E(x) <-→ 1 (E (x) + (x) 0 - 2 Exercice an Montons que dr 1x1+ 181 = = x + y +x-y (x+4y | Taryl 12x1 <1 жеулк-ур 12 Inay | + 1x-yl @ on Si vérifie que CEA+B + B = sup (A+B) 3a e A et b € B / C = a+b α) a et ß> b= d +BX C Er/1⁄2 La' Soit &,50 / 3a' € A | α = abe A / B - &/2 26 a2 + b2 EA+B / α + B- ε Latb → sap (A+B) = sup A+ sey B on pose B = {x} on a : sup (A+B) = Sup (A+x) = Sup A + sex A{-3;-13; B = {-2} = Say A = -1 sup B=-2 AB = {6, ε} + sey AB = 6 • Pour que sup Ax sup B = sup AB il faut que A et B E IR+ Excercice B Les ensembles Minimum Moximum Minorant Majorant inf [0,1] IN 30, G 10 ]-∞0,0] sup 0 O Q 0 1 ]-00,0] [1; +∞∞ [ O 1 O 1 ]-∞0;0] [1+00 [ 0 11 45 5/4 ]-001-8] [40:400 [ -8 10 1.1/n/REIN* (-1) " + 1/n2/mEIN" x ye]-4,1[ 1 1 5/4 J-00; -1] [5/4;+a[ 3 A & d'où VxER: E(x)+ E(x + 1/2) = E (2x) On suppose que a, b e Q + tq Jab & Q Puisque va +3√T est rationnel done Va+3√ Si (Absurde) va 4 3√5 € Q √a, 3√5 = 1990 z ⇒ (√a + 3√b)2 = p2/q= = a+ 9b + 6 √ab = p2/9°EQ d'où a, b € Q tq Jab & Q: √a+3 √¢Q € Q V 20 € R P < x < p + 2 p < 2 x < 2 p + 2 x = [p1p+= [ = 2 p < 2 x <2p+ 4 alors: & Q E (x) = P E(2x) = $p E (2x) - 2E (x) = 2p=2p = 0 E(2x)=2p+1 2p+ 1-2 p = 1 Si x ε [p1t, p+1 [: 2p+ 1/2 x <2p+ 2 alors: E (2x) - 2E(x) = d'où VxEIR OLE (2x) - 2 E(x) 1 OLE(2x)-2 O Soit a € A a = 1 + 4 4ne avec nen Thermus 1+1/4m2 > 1=ing A Sout Exo, 3 a' € A / 1 + ε) a' Soit ε0, no € IN / 1 + ε> 1 + 1/un2 = ε) 1/4" () no> √1/bn2 on a: √ EIR d'après Archimède 3 n。 EIN 442 Ε kne 1 + 2/271 + 2 A bel que: no> = no) 1 48 3 <~2 <= 3/1 < ; 47 - 237 <+> <v d'où inf{1+ 4 "nein"} = 1 4ns Excercice G 1 @ Soit M = sup A VaeA: My-a { vεyo, a εA | M-E <- a' VacA: -Mca VEDO, Ja'εA - M+ε) a' enfA = _M = _sup (A) = int _ _ sup (-A) → sux (-A) = _ inf (A) on pose α = sup A Va εA: α>a Vεso, Ja'EA / ∞ + ε/1⁄2 <a B = Sup A beA: Ba Vεjo, Jbe A/P + E/2 <b Exnuce ar Montons que 1x/+ lal dx x + x = x + y +x-y 12xl < 1 жутк-ур 12 Insy) + 1x-yl @ We'll d'ou E(x) E(-x)=-1 VxEIR/Z © Vx, y ER, E(x), E(y) < E(x+y) & E(x) + E(y) +1 P < x < p + d P < y < p+d P+P <*+* <p+p+ & E(x) + E (y) < E (x + y) < E (x) + E(y) + 2 Si xy € [a, a+ [: 33 E(x) + E(y) ( x + y « E (x) + E(y) + 1 x1y € [a+1, 0+2 [: E(x) + E(y) + ! < x + y < E (x) + E(y) + & E(x + y) = E(x)+ E(y) + ± d'où: V x, y EIR = TD: 2
Exercice 5+ VEIR E(x) + E (y) E (x+y) < E (x) + E(y)+ 1 E(x) E (x+1/2) = E(2x) on pose E (x) = p p < x <p+Y alas → P+ = + x + = < p + 3/2+ Si Si 20 P+1/2 141/2 20+4/2 P+1 P+3/e alors E( x + 1/2) = p P+1/12 ( <p+t x + 1/2 < p + t 价 • P < x < p + + /2 d'où: E(x)+ E(x+1/2) = alors 2 p < 2x (2p+1, E(2x) = 2p E(x) + E(x + 1/2) = p+ p = 2 p = E (2x) = p1p lp 4 p+ = < x + 1/2 < p + 3/2 alors € (x + 1/2) = p + 1 P+/1⁄2 < x < p + alors 2p+ 1 < 2 x < 2p+ 2 alors E (2x) = 2p+4 E(x) + E(x + 1/2) = p+p+1 = 2p+ 1 = E(2x)