M111 td 1 (solution) -Analyse 1

M111 td 1 (solution) -Analyse 1 - Télécharger pdf

Télécharger PDF

Introduction aux Nombres Réels et Leurs Propriétés

Ce document explore plusieurs concepts fondamentaux des nombres réels, incluant les inégalités, la fonction partie entière, et les propriétés des bornes d'ensembles. Il s'adresse aux étudiants en première année de mathématiques ou à toute personne souhaitant approfondir ces notions.

Inégalités et Valeur Absolue

Exercice 1 : Propriétés de la Valeur Absolue

Pour tous réels x et y, nous rappelons les propriétés fondamentales de la valeur absolue :

Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y|
Variante de l'inégalité triangulaire : ||x| - |y|| ≤ |x - y|

Ces inégalités sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes en analyse et en algèbre. La clarté de ces définitions est primordiale pour toute application.

Fonction Partie Entière (E(x) ou ⌊x⌋)

La fonction partie entière, notée E(x) ou ⌊x⌋, associe à tout réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x. Par définition, un entier p est la partie entière de x si et seulement si p ≤ x < p + 1.

Propriétés Fondamentales de la Partie Entière

Pour tout entier relatif x ∈ ℤ : E(x) + E(-x) = 0. (Exemple : E(5) + E(-5) = 5 + (-5) = 0)
Pour tout réel x ∈ ℝ \ ℤ (non entier) : E(x) + E(-x) = -1. (Exemple : E(2.3) + E(-2.3) = 2 + (-3) = -1)
Pour tous réels x, y ∈ ℝ : E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.

Identité de Hermite : E(x) + E(x + 1/2) = E(2x)

Démontrons cette identité pour tout réel x. Soit p = E(x). On a donc p ≤ x < p + 1.

Nous distinguons deux cas :

Cas 1 : p ≤ x < p + 1/2

Dans ce cas :
- E(x) = p
- En ajoutant 1/2 à l'inégalité de x, on obtient p + 1/2 ≤ x + 1/2 < p + 1/2 + 1/2, c'est-à-dire p + 1/2 ≤ x + 1/2 < p + 1. Donc E(x + 1/2) = p.
- Par conséquent, E(x) + E(x + 1/2) = p + p = 2p.
D'autre part, en multipliant l'inégalité de x par 2, on obtient 2p ≤ 2x < 2p + 1. Donc E(2x) = 2p.

L'identité est vérifiée dans ce cas : E(x) + E(x + 1/2) = E(2x).
Cas 2 : p + 1/2 ≤ x < p + 1

Dans ce cas :
- E(x) = p
- En ajoutant 1/2 à l'inégalité de x, on obtient p + 1/2 + 1/2 ≤ x + 1/2 < p + 1 + 1/2, c'est-à-dire p + 1 ≤ x + 1/2 < p + 3/2. Donc E(x + 1/2) = p + 1.
- Par conséquent, E(x) + E(x + 1/2) = p + (p + 1) = 2p + 1.
D'autre part, en multipliant l'inégalité de x par 2, on obtient 2(p + 1/2) ≤ 2x < 2(p + 1), c'est-à-dire 2p + 1 ≤ 2x < 2p + 2. Donc E(2x) = 2p + 1.

L'identité est vérifiée également dans ce cas : E(x) + E(x + 1/2) = E(2x).

L'identité de Hermite est ainsi démontrée pour tous les réels.

Supremum, Infimum, Minimum et Maximum d'un Ensemble

Ces concepts sont cruciaux pour l'analyse des propriétés des ensembles de nombres réels.

Définitions Claires

Minorant : Un réel m est un minorant d'un ensemble A si pour tout a ∈ A, m ≤ a.
Majorant : Un réel M est un majorant d'un ensemble A si pour tout a ∈ A, a ≤ M.
Minimum (min A) : Le plus petit élément de A, s'il existe. C'est un minorant qui appartient à A.
Maximum (max A) : Le plus grand élément de A, s'il existe. C'est un majorant qui appartient à A.
Infimum (inf A) : Le plus grand des minorants de A. Il existe si A est non vide et minoré.
Supremum (sup A) : Le plus petit des majorants de A. Il existe si A est non vide et majoré.

Exercice 2 : Tableau Récapitulatif des Bornes

Complétons les bornes pour différents ensembles de nombres réels :

Ensemble	Minorant (Ex.)	Majorant (Ex.)	Minimum	Maximum	Infimum	Supremum
[0, 1]	-1	2	0	1	0	1
ℕ	-5	Aucun	0	Aucun	0	Aucun
[0, +∞[	-10	Aucun	0	Aucun	0	Aucun
]-∞, 0]	Aucun	1	Aucun	0	Aucun	0
[1, +∞[	-2	Aucun	1	Aucun	1	Aucun
{1/n \| n ∈ ℕ*}	0	1	Aucun	1	0	1
{(-1)ⁿ + 1/n² \| n ∈ ℕ*}	-2	2	Aucun	5/4	-1	5/4
{xy \| x, y ∈ ]-4, 1[}	-5	17	Aucun	Aucun	-4	16
]-∞, -8]	Aucun	-7	Aucun	-8	Aucun	-8
[40, 400[	0	400	40	Aucun	40	400

Propriétés du Supremum et de l'Infimum

Si A et B sont deux ensembles non vides et majorés de ℝ, alors sup(A + B) = sup A + sup B. (où A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B})
Si A et B sont deux ensembles non vides et majorés de ℝ⁺ (nombres réels positifs ou nuls), alors sup(A · B) = sup A · sup B. (où A · B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B})
Relation entre supremum et infimum : inf A = -sup(-A) et sup A = -inf(-A). (où -A = {-a | a ∈ A})

Démonstration de inf {1 + 1/(4n²) | n ∈ ℕ*} = 1

Soit l'ensemble A = {1 + 1/(4n²) | n ∈ ℕ*}.

Démonstration que 1 est un minorant : Pour tout n ∈ ℕ*, n² ≥ 1, donc 4n² ≥ 4, ce qui implique 0 < 1/(4n²) ≤ 1/4. Par conséquent, 1 < 1 + 1/(4n²) ≤ 1 + 1/4 = 5/4. Cela signifie que tous les éléments de A sont strictement supérieurs à 1. Donc, 1 est bien un minorant de A.
Démonstration que 1 est le plus grand minorant : Montrons que pour tout ε > 0, il existe un élément de A, disons a_n, tel que a_n < 1 + ε.

Nous cherchons un entier n ∈ ℕ* tel que 1 + 1/(4n²) < 1 + ε.

Ceci est équivalent à 1/(4n²) < ε, ce qui se réécrit 1/(4ε) < n².

Si ε > 0, on peut prendre la racine carrée : n > 1/(2√ε).

D'après la propriété d'Archimède, pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n₀ ∈ ℕ* tel que n₀ > 1/(2√ε). Pour ce n₀, l'élément 1 + 1/(4n₀²) appartient à A et est strictement inférieur à 1 + ε.

Puisque 1 est un minorant de A et que tout nombre strictement plus grand que 1 n'est pas un minorant (car on peut trouver un élément de A plus petit), alors inf A = 1.

Nombres Rationnels et Irrationnels

Exercice : Preuve de l'Irrationalité par l'Absurde

Supposons que a, b ∈ ℚ⁺ (rationnels positifs) et que √ab soit un nombre irrationnel.

Montrons que dans ces conditions, √a + 3√b est un nombre irrationnel.

Raisonnement par l'absurde :

Supposons que √a + 3√b soit un nombre rationnel. On peut alors l'écrire sous la forme p/q, où p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*, avec p/q une fraction irréductible.

√a + 3√b = p/q

En élevant au carré des deux côtés de l'équation :

(√a + 3√b)² = (p/q)²

Développons le membre de gauche :

a + 2(√a)(3√b) + (3√b)² = p²/q²

a + 6√ab + 9b = p²/q²

Puisque a et b sont des nombres rationnels, la somme a + 9b est un nombre rationnel. De plus, p²/q² est également un nombre rationnel.

Nous pouvons réarranger l'équation pour isoler le terme impliquant √ab :

6√ab = p²/q² - (a + 9b)

Le côté droit de l'équation est une différence de nombres rationnels, il est donc lui-même un nombre rationnel. Par conséquent, 6√ab est un nombre rationnel. Puisque 6 est un rationnel non nul, cela implique que √ab est aussi un nombre rationnel.

Ceci contredit directement notre hypothèse initiale que √ab est un nombre irrationnel.

Notre supposition que √a + 3√b est rationnel doit donc être fausse.

Conclusion : Si a, b ∈ ℚ⁺ et √ab est irrationnel, alors √a + 3√b est irrationnel.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la fonction partie entière et comment se comporte-t-elle avec les nombres négatifs ?

La fonction partie entière, notée E(x) ou ⌊x⌋, donne le plus grand entier inférieur ou égal à x. Pour les nombres positifs, c'est l'entier avant la virgule (ex: E(3.7) = 3). Pour les nombres négatifs, il faut faire attention : E(-2.1) = -3, car -3 est le plus grand entier inférieur ou égal à -2.1.

Quelle est la distinction essentielle entre un minimum/maximum et un infimum/supremum ?

Le minimum et le maximum sont les plus petits et plus grands éléments d'un ensemble, respectivement, et ils doivent faire partie de l'ensemble. L'infimum est le plus grand des minorants, et le supremum est le plus petit des majorants ; ils n'appartiennent pas nécessairement à l'ensemble. Par exemple, l'intervalle ]0, 1[ n'a ni minimum ni maximum, mais son infimum est 0 et son supremum est 1.

Pourquoi l'identité de Hermite (E(x) + E(x + 1/2) = E(2x)) est-elle importante en mathématiques ?

Cette identité est un résultat élégant de la théorie des nombres qui relie la partie entière d'un nombre à celle de son double et de son double plus un demi. Elle est souvent utilisée dans divers domaines comme l'analyse numérique, la combinatoire, et la simplification d'expressions complexes impliquant la fonction partie entière, notamment dans les problèmes de dénombrement ou d'approximations.