Smpc s1 m3 e1 analyse série d exercices 2 suites réelles ana
Télécharger PDFFacult´e des Sciences de Rabat SMPC-S1 D´epartement de Math´ematiques M3-E1 : Analyse S´erie d’exercices 2
Exercice 1Les suites suivantes sont-elle major´ees, minor´ees ? monotones ? : 1. un =n2 − 25 2n2 + 1, un = (−1)n 2. un = cosnπ6, un = sin1√n 3. un = n2 + 1, un =1 n2 + (−1)n(n + 1)
Exercice 2On consid`ere la suite (un) d´efinie par un =Pnk=11 En utilisant le fait que 1 n2+n2 61 n2+k2 . peut-on en d´eduire ? n2+k2 61n2 pour tout 0 6 k 6 n, donner un encadrement de un. Que
Exercice 3Soit (un) la suite r´eelle d´efinie par r´ecurrence en posant u0 = 1 et un+1 =√1 + un si n ∈ N∗. 1. Montrer que (un) est croissante et major´ee. 2. Montrer que (un) converge vers le nombre r´eel positif ` qui v´erifie `2 − ` − 1 = 0 et calculer `. 3. On suppose maintenant v0 = 1 et vn+1 =p1 + v2nsi n ∈ N∗. Montrer que vn est croissante non born´ee.
Exercice 4Etudier la suite (un) d´efinie par u0 = 1 et un+1 =12un(u2n − 3un + 5) ∀n > 0. Montrer que un diverge. ( On montrera que un+1 > kun pour un certain k > 1.
Exercice 5Les ´enonc´es suivants sont-ils vrais ou faux ? 1. Une suite `a termes positifs qui tend vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang. 2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs `a partir d’un certain rang. R´eciproque ? 3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent.
Exercice 6Une m´ethode ancienne ( attribu´ee `a Platon) permettait d’extraire la racine carr´ee d’un nombre par un proc´ed´e it´eratif. Pour calculer la racine carr´ee d’un nombre k construit la suite r´eccurente uo = 1 et un+1 =un+k un+1 . On suppose dans notre cas k = 2. 1. Montrer que 1 6 un 6 2 pour tout n 2. V´erifier que Vn = u2n et Wn = u2n+1 monotone 3. En d´eduire que vn et wn convergent toute les deux vers √2 4. donner √2 a 4 chiffre apr`es la virgule.
Exercice 7Dans l exercice pr´ec”dent on au vu calculer √2 ; On donne deux autre suites r´ecurrente dont on admet la convergence v0 = 1 , vn+1 =vn2 +1vnet w0 = 1 , xn+1 = xn(x2n+6) 1. Montrer que vn et xn converge vers √2 3x2n+2 . 2. en calculant v2 et x2 laquelle des deux suites vous semble la plus efficace. 1
Correction 1 1. un =n2 − 25 2n2 + 1croissante born´ee 2. un = (−1)nborn´ee non monotone 3. un = cosnπ6, un alt`erne un nombre fini de valeurs : born´ee non monotone 4. un = sin1√nborn´ee decroissante 5. un = n2 + 1, croissante non born´ee 6. un =1 n2 + (−1)n(n + 1) born´e non monotone (elle est toutefois decroissante a partir de n = 2) un+1 − un =1 n2+(−1)n(n+1) =n2+(−1)n(n+1)−((n+1)2−(−1)n(n+2)) (n+1)2−(−1)n(n+2) −1 =n2−(n+1)2−(−1)n) ((n+1)2−(−1)n(n+2))(n2+(−1)n(n+1)) ((n+1)2−(−1)n(n+2))(n2+(−1)n(n+1)) 6 0 pour n > 2 Correction 2 12n 6 un 61npour n > 2. Donc un converge vers z´ero. Correction 3 u0 = 1 et un+1 =√1 + un si n ∈ N∗. 1. Par r´ecurrence 0 6 un 6 2, et on a u0 = 1 6 u1 =√2 et par induction si un−1 6 un on auraun =√1 + un−1 6√1 + un = un+1, donc (un) est croissante et major´ee. 2. (un) est croissante et major´ee, donc que (un) converge vers le nombre r´eel positif ` qui v´erifie l =√1 + l et par suite `2 − ` − 1 = 0. On r´esoud l’ ´equation pour avoir l =1+√5 2 3. La croissance s obtient de la mˆeme mani`ere,par contre si on suppose qu elle est major´ee, on aura croissante major´ee, donc convergente vers l satisfaisant l =√1 + l2 et donc `2 − ` + 1 = 0 impossible. Correction 4 On a un+1 =12un(u2n − 3un + 5) = 12un(un −32)2 +114) >118un Correction 5 1. Une suite `a termes positifs qui tend vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang. Faux un =exp(−1)n n 2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs `a partir d’un certain rang. Vrais (cours) R´eciproque Faux un =1n 3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent. Faux un = n et vn =1n − n Correction 6 On pose f(x) = x+2 x+1 , alors f est d´ecroissante, on ecrit f(x) = 1+ 1 la d´eriv´ee. x+1 si on veut eviter 1. par induction 1 6 un 6 2 on aura f(2) 6 f(un) 6 f(1) ce qui donne 1 6 un+1 6 2 2. vn et wn verifient vn+1 = fof(vn) et wn+1 = fof(wn) et comme fof croissante, implique que u2n et u2n+1 sont monotones 3. les deux suiteS sont monotones born´ees, donc convergente vers l1 et l2 respectivement. On r´esoud l1 = f(l2 et l2 = f(l1 pour trouver l1 = l2 =√2. Correction 7 1. On passe a la limite dans la formule de xn et de vn pour montrer que l =√2 2. par la calculatrice √2 = 1, 4142135623730950488016887242096980. On a v1 = 1.5, v2 = 1.41, v2 = 1, 41421 et x1 = 1.41x2 = 1, 414213, x3 = 1, 414213562373095048 2