Smpc s1 m3 e1 analyse série d exercices 2 suites réelles ana
Télécharger PDFSérie d'exercices 2 : Analyse de Suites Réelles
Faculté des Sciences de Rabat – SMPC-S1 Département de Mathématiques M3-E1
Exercice 1
Les suites suivantes sont-elles majorées, minorées ou monotones ?
un = (n² − 25) / (2n² + 1)
un = (−1)n
un = cos(nπ/6)
un = sin(1/√n)
un = n² + 1
un = 1 / (n² + (−1)n(n + 1))
Exercice 2
On considère la suite (un) définie par un = Σk=1n (1 / (n² + k²)). En utilisant le fait que pour tout 0 ≤ k ≤ n, on a 1 / (n² + n²) ≤ 1 / (n² + k²) ≤ 1 / n², donner un encadrement de un. Que peut-on en déduire concernant sa convergence ?
Exercice 3
Soit (un) la suite réelle définie par récurrence en posant u0 = 1 et un+1 = √(1 + un) si n ∈ N*.
Montrer que (un) est croissante et majorée.
Montrer que (un) converge vers un nombre réel positif l qui vérifie l² − l − 1 = 0, et calculer l.
On suppose maintenant v0 = 1 et vn+1 = √(1 + vn²) si n ∈ N*. Montrer que vn est croissante mais non bornée.
Exercice 4
Étudier la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = (1/2)un(un² − 3un + 5) pour tout n > 0. Montrer que un diverge. (On montrera que un+1 > k un pour un certain k > 1.)
Exercice 5
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang.
Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang. Réciproque ?
La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent.
Exercice 6
Une méthode ancienne (attribuée à Platon) permettait d’extraire la racine carrée d’un nombre par un procédé itératif. Pour calculer la racine carrée d’un nombre k, on construit la suite récurrente u0 = 1 et un+1 = (un + k) / (un + 1). On suppose dans notre cas k = 2.
Montrer que 1 ≤ un ≤ 2 pour tout n.
Vérifier que les sous-suites Vn = u2n et Wn = u2n+1 sont monotones.
En déduire que vn et wn convergent toutes les deux vers √2.
Donner √2 à 4 chiffres après la virgule.
Exercice 7
Dans l'exercice précédent, nous avons vu comment calculer √2. On donne deux autres suites récurrentes dont on admet la convergence :
v0 = 1, vn+1 = (vn/2) + (1/vn)
x0 = 1, xn+1 = xn(xn² + 6) / (3xn² + 2)
Montrer que vn et xn convergent vers √2.
En calculant v2 et x2, laquelle des deux suites vous semble la plus efficace en termes de vitesse de convergence ?
Corrections Détaillées
Correction 1
un = (n² − 25) / (2n² + 1) : croissante et bornée.
un = (−1)n : bornée et non monotone.
un = cos(nπ/6) : elle alterne un nombre fini de valeurs, bornée et non monotone.
un = sin(1/√n) : bornée et décroissante.
un = n² + 1 : croissante et non bornée.
-
un = 1 / (n² + (−1)n(n + 1)) : bornée et non monotone (elle est toutefois décroissante à partir de n = 2).
Le calcul de la différence un+1 − un implique une analyse plus complexe :
un+1 − un = [1 / ((n+1)² + (−1)n+1(n + 2))] − [1 / (n² + (−1)n(n + 1))]
= [ (n² + (−1)n(n + 1)) − ((n+1)² + (−1)n+1(n + 2)) ] / [ ((n+1)² + (−1)n+1(n + 2))(n² + (−1)n(n + 1)) ]
Note : Le numérateur est négatif pour n ≥ 2, ce qui confirme la décroissance.
Correction 2
Pour n ≥ 2, l'encadrement donné est 1 / (2n) ≤ un ≤ 1 / n. D'après le théorème des gendarmes, comme lim (1 / (2n)) = 0 et lim (1 / n) = 0 lorsque n tend vers l'infini, on en déduit que un converge vers zéro.
Correction 3
u0 = 1 et un+1 = √(1 + un) si n ∈ N*.
Par récurrence, on montre que 0 ≤ un ≤ 2. On a u0 = 1 ≤ u1 = √2. Par induction, si un-1 ≤ un, alors un = √(1 + un-1) ≤ √(1 + un) = un+1. Donc (un) est croissante et majorée.
Puisque (un) est croissante et majorée, elle converge vers un nombre réel positif l qui vérifie l = √(1 + l). En élevant au carré, on obtient l² − l − 1 = 0. En résolvant cette équation quadratique, on trouve l = (1 + √5) / 2 (la solution positive).
La croissance de (vn) s'obtient de la même manière. Cependant, si on suppose qu'elle est majorée, elle serait alors croissante et majorée, donc convergente vers un l satisfaisant l = √(1 + l²). Cela implique l² = 1 + l², ce qui mène à 0 = 1, une contradiction. Ainsi, (vn) ne peut pas être majorée, elle est donc non bornée.
Correction 4
On a un+1 = (1/2)un(un² − 3un + 5). On peut réécrire l'expression du second degré en complétant le carré : un² − 3un + 5 = (un − 3/2)² + 5 − 9/4 = (un − 3/2)² + 11/4. Puisque (un − 3/2)² ≥ 0, alors (un − 3/2)² + 11/4 ≥ 11/4. Par conséquent, un+1 = (1/2)un((un − 3/2)² + 11/4) ≥ (1/2)un(11/4) = (11/8)un. Comme 11/8 > 1, la suite (un) diverge vers l'infini si u0 > 0 (ce qui est le cas avec u0 = 1).
Correction 5
Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d’un certain rang. Faux. Un contre-exemple est un = exp((-1)n)/n. Cette suite tend vers 0 mais n'est pas monotone.
Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang. Vrai (d'après le théorème de conservation du signe). Réciproque : Faux. Un contre-exemple est un = 1/n. Tous ses termes sont strictement positifs, mais sa limite est 0, non strictement positive.
La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent. Faux. Un contre-exemple est un = n et vn = 1/n - n. La somme un + vn = 1/n converge vers 0, mais ni un ni vn ne convergent.
Correction 6
On pose f(x) = (x + 2) / (x + 1). La fonction f est décroissante sur les intervalles où elle est définie. On peut aussi écrire f(x) = 1 + 1 / (x + 1) pour simplifier l'analyse sans calculer la dérivée.
Par induction : si 1 ≤ un ≤ 2, alors, puisque f est décroissante sur [1,2], on a f(2) ≤ f(un) ≤ f(1), ce qui donne 4/3 ≤ un+1 ≤ 3/2. Puisque [4/3, 3/2] est inclus dans [1, 2], on en déduit 1 ≤ un+1 ≤ 2. La propriété est ainsi établie.
Les sous-suites vn = u2n et wn = u2n+1 vérifient vn+1 = f(f(vn)) et wn+1 = f(f(wn)). La composée f∘f est une fonction croissante. Ainsi, les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones.
Puisque les deux sous-suites sont monotones et bornées (par [1, 2]), elles sont convergentes vers des limites l1 et l2 respectivement. Ces limites doivent satisfaire l1 = f(l2) et l2 = f(l1). La seule solution positive est l1 = l2 = √2.
√2 ≈ 1.4142.
Correction 7
Ces suites sont des méthodes d'approximation de √2. La première est la méthode de Newton (ou méthode babylonienne).
Pour vn : Si vn converge vers l, alors l = l/2 + 1/l. Multipliant par l, on obtient l² = l²/2 + 1, ce qui simplifie en l²/2 = 1, donc l² = 2. Comme vn > 0, l = √2.
Pour xn : Si xn converge vers l, alors l = l(l² + 6) / (3l² + 2). En simplifiant par l (si l ≠ 0), on obtient 1 = (l² + 6) / (3l² + 2), d'où 3l² + 2 = l² + 6, ce qui donne 2l² = 4, donc l² = 2. Comme xn > 0, l = √2.
-
Calculs d'approximation :
- Pour vn : v0 = 1, v1 = (1/2) + (1/1) = 1.5, v2 = (1.5/2) + (1/1.5) = 0.75 + (2/3) ≈ 1.41666...
- Pour xn : x0 = 1, x1 = 1(1² + 6) / (3(1)² + 2) = 7/5 = 1.4, x2 = 1.4((1.4)² + 6) / (3(1.4)² + 2) = 1.4(1.96 + 6) / (3(1.96) + 2) = 1.4(7.96) / (5.88 + 2) = 1.4(7.96) / 7.88 ≈ 1.41421356.
Comparaison : √2 ≈ 1.414213562373.
En observant les valeurs, x2 est déjà très proche de √2 (jusqu'à la 8ème décimale), tandis que v2 est moins précise. La suite xn semble converger plus rapidement vers √2.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une suite majorée, minorée ou bornée ?
Une suite est dite majorée s'il existe un nombre M tel que tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à M. Elle est minorée s'il existe un nombre m tel que tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à m. Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Quand dit-on qu'une suite est monotone ?
Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent (un+1 ≥ un). Elle est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal au précédent (un+1 ≤ un).
Quel est l'intérêt d'étudier la convergence d'une suite ?
L'étude de la convergence permet de déterminer si les termes d'une suite s'approchent d'une valeur fixe (sa limite) lorsque le rang n devient très grand. Cela est fondamental en mathématiques pour comprendre le comportement à long terme de processus itératifs, les approximations numériques (comme pour √2), et pour définir des concepts comme les séries ou les intégrales.