Td espaces vectoriels normes analyse 3 -Analyse 3 - Téléchar
Télécharger PDFTD Espaces vectoriels normés Adrien Fontaine 11 janvier 2017
Exercice 1Démontrer l’inégalité triangulaire dans (Lp(R), k · kp) pour 1 ≤ p ≤ +∞.
Exercice 2Soit E un espace vectoriel, et N une semi-norme sur E. On pose F = {x ∈ E; N(x) = 0} . 1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. 2) Pour ξ appartenant au quotient E/F et x un représentant de ξ, on pose kξk = N(x). Montrer que k · k est bien définie et est une norme sur E/F.
Exercice 3Soit L l’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0, 1] à valeurs dans R. 1) Montrer que l’application N : f → N(f) = |f(0)| + sup 0≤x<y≤1 est bien définie sur L et qu’elle y définit une norme. |f(x) − f(y)| |x − y| 2) Montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que pour tout f ∈ L : kfk∞ ≤ cN(f). 3) Existe-t-il une constante c0 > 0 telle que pour tout f ∈ L : N(f) ≤ c0kfk∞ ? Conclure.
Exercice 4Soit L l’ensemble des fonctions lipschitziennes de R dans R. On définit, pour f ∈ L, kfkLip = sup x6=y |f(x) − f(y)| |x − y|. 1) Soit f ∈ L, positive (et non nulle). Montrer que, pour tout x ≥ 0, on a : Z x+f(x) f(x)2 ≤ 2kfkLip kfkLip x f(y) dy . 2) Montrer que, si f ∈ L ∩ L1(R), alors f ∈ L∞(R) et f tend vers 0 à l’infini. 1
2 3) Montrer que, sur E = L ∩ L1(R), l’application k · kLip définit une norme. 4) Montrer que, pour f ∈ E, on a : kfk∞ ≤ kfkL1(R) + kfkLip . 5) Les normes k · k∞ et k · kL1(R) + k · kLip sont-elles équivalentes sur E ? 6) Les normes k · kLip et k · kL1(R) + k · kLip sont-elles équivalentes sur E ? 7) Les normes k · kL1(R) et k · kL1(R) + k · kLip sont-elles équivalentes sur E ?
Exercice 5Comme on a pu le voir dans les exercices précédents, dans un espace vectoriel normé de di mension infinie, les normes ne sont pas toutes équivalentes et il est important, par exemple lorsque l’on parle de la continuité d’une application ou de la convergence d’une suite, de bien préciser la norme considérée. Il est tout de même assez surprenant de voir, dans l’exercice suivant, qu’une suite donnée de vecteurs peut converger vers n’importe quelle limite fixée à l’avance pour une norme bien choisie. Soit Q un polynôme de R[X]. Construire une norme sur R[X] telle que la suite (Xn)n∈N tende vers Q au sens de cette norme. Indication : On pourra définir une suite (Pn) de R[X] par Pn := Xn pour n ≤ n0, et Pn := 2n(Xn − Q) pour n > n0, où n0 est le degré de Q, et chercher une norme pour laquelle kPnk = 1.
Exercice 6Sur l’espace C[X] des polynômes on pose, pour P ∈ C[X], P =Xn 0 akXk, kPk∞ = supk|ak|, vuutXn kPk1 =Xn 0 |ak|, kPk2 = 0 |ak|2. Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que l’espace C[X] n’est complet pour aucune de ces normes.
Exercice 7Soit E l’ensemble des fonctions de classe C1 de [0, 1] dans R telles que f(0) = 0. Démontrer que kfk = sup t∈[0,1] |f(t)| + sup t∈[0,1] |f0(t)| et kfk1 = sup t∈[0,1] |f(t) + f0(t)| définissent deux normes équivalentes sur E et que E est complet.
Exercice 8Soient E un espace de Banach et F un sous-espace vectoriel fermé de E. On introduit sur le quotient E/F N(ξ) = inf ξ=¯xkxk. Montrer que l’on définit ainsi une norme et que (E/F, N) est complet.
Exercice 9Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que E est complet si et seulement si toute série
3 absolument convergente d’éléments de E est convergente.
Exercice 10On note E l’espace des fonctions continues sur [0, 1]. 1) Montrer que l’application |f(t)|dt définit une norme sur E. 2) (E, k · k1) est-il complet ?
Exercice 11f ∈ E 7→ kfk1 = Z 1 0 Soit α ∈]0, 1]. On note Lipαl’ensemble des fonctions α-Höldériennes définies sur [0, 1] à valeurs réelles : f appartient à Lipαs’il existe une constante C > 0 telle que pour tous x, y dans [0, 1] |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|α. 1) Montrer que l’application N définie par |f(x) − f(y)| |x − y|α est une norme sur Lipα. N(f) = kfk∞ + sup 0≤x<y≤1 2) Montrer que Lipα muni de N est un espace de Banach. 3) Les normes N et k · k∞ sont-elles équivalentes ?
Exercice 12Soit X un ensemble et (E, k · kE) un espace Banach. On note B(X, E) l’espace vectoriel des fonctions bornées de X dans E. On norme B(X, E) en posant ∀f ∈ B(X, E), kfk = sup x∈X ||f(x)kE Muni de cette norme, montrer que B(X, E) est un espace de Banach.
Exercice 13Pour 1 ≤ p < +∞, on introduit l’espace `p(N) des suites (à valeurs complexes) p-sommables : , que l’on munit de la norme `p(N) = (un)n∈N;X n∈N |un|p < +∞ k(un)n∈Nkp = X n∈N |un|p 1/p . On définit `∞(N) comme l’espace des suites bornées, sur lequel on considère la norme k · k∞ = |un|. Enfin, on note c0(N) le sous-espace de `∞(N) formé des suites qui tendent vers 0. sup n∈N 1) Soit 1 ≤ p < q ≤ +∞. Montrer que `p(N) ⊂ `q(N). Cette inclusion peut-elle être une égalité ? 2) Montrer que les `p(N), 1 ≤ p ≤ +∞, sont complets.
4 3) Montrer que c0(N), muni de k · k∞, est complet. 4) Quelle est l’adhérence de `p(N) dans `∞(N) ? 5) Montrer que pour 1 ≤ p < +∞, `p(N) est séparable, mais que `∞(N) n’est pas séparable.
Exercice 14Soit (E, k · kE) un espace vectoriel normé. On note C l’ensemble des suites de Cauchy U = (un)n∈N de E. Le but de l’exercice est de plonger (E, k · kE) dans un espace de Banach dont la norme prolonge celle de E. 1)a) Soit U = (un)n∈N ∈ C. Montrer que la suite (kunkE)n∈N converge. On note kUk sa limite. 1)b) Montrer que k · k est une semi-norme sur C (c’est à dire vérifie tous les axiomes d’une norme excepté celui de spération, kUk = 0 ⇒ U = 0). 2) On considère la relation d’équivalence sur C définie par (U ∼ V ) ⇔ (kU − V k = 0). On note Eˆ l’espace quotient C/ ∼ et Uˆ la classe d’équivalence dans Eˆ de U ∈ C. a) Quelle est la classe d’une suite convergente dans E ? b) Montrer que si U ∼ U0, alors kUk ∼ kU0k. Lorsque Uˆ ∈ Eˆ, le réel kUk est donc indépendant du choix du représentant U de Uˆ. On le note kUˆk. c) Ainsi défini, montrer que (E, ˆ k · k) est un espace vectoriel normé. d) Montrer qu’il existe une injection naturelle i : E → Eˆ, isométrique, et que i(E) est dense dans Eˆ. 3) Montrer que (E, ˆ k · k) est un espace de Banach. Remarque : — On peut de manière tout à fait similaire, construire le complété d’un espace métrique (E, d) quelconque. L’exercice 2 de la feuille de TD 1 montre alors que Eˆ est unique à une isométrie bijective près. On l’appelle le complété de E. — On procède de manière similaire pour construire R à partir de Q (R est le complété de Q). La différence est que, R "n’existant pas encore", on ne peut pas définir kUk pour U ∈ C. On peut par contre définir la classe d’équivalence U ∼ V ⇔ limn→+∞ un−vn = 0. La notion de limite peut en effet être définie si l’on reste uniquement sur Q (il suffit de prendre les ε et les η dans Q).