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Télécharger PDFEspaces Vectoriels Normés – Série d'Exercices
Présenté par Adrien Fontaine le 11 janvier 2017
Exercice 1
Démontrer l’inégalité triangulaire dans (Lp(ℝ), || ⋅ ||p) pour 1 ≤ p ≤ +∞.
Exercice 2
Soit E un espace vectoriel, et N une semi-norme sur E. On pose F = {x ∈ E; N(x) = 0}.
1) Sous-espace vectoriel
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
2) Définition d'une norme sur l'espace quotient
Pour ξ appartenant au quotient E/F et x un représentant de ξ, on pose ||ξ|| = N(x). Montrer que || ⋅ || est bien définie et est une norme sur E/F.
Exercice 3
Soit L l’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0, 1] à valeurs dans ℝ.
1) Définition et norme
Montrer que l’application N : f → N(f) = |f(0)| + sup0 ≤ x < y ≤ 1 ∣f(x) − f(y)∣ / ∣x − y∣ est bien définie sur L et qu’elle y définit une norme.
2) Équivalence de normes (partie 1)
Montrer qu’il existe une constante c > 0 telle que pour tout f ∈ L : ||f||∞ ≤ cN(f).
3) Équivalence de normes (partie 2)
Existe-t-il une constante c0 > 0 telle que pour tout f ∈ L : N(f) ≤ c0||f||∞ ? Conclure.
Exercice 4
Soit L l’ensemble des fonctions lipschitziennes de ℝ dans ℝ. On définit, pour f ∈ L, ||f||Lip = supx ≠ y ∣f(x) − f(y)∣ / ∣x − y∣.
1) Inégalité pour fonctions positives
Soit f ∈ L, positive (et non nulle). Montrer que, pour tout x ≥ 0, on a : f(x)2 ≤ 2||f||Lip ∫xx+f(x) f(y) dy.
2) Propriétés des fonctions de $L \cap L^1(\mathbb{R})$
Montrer que, si f ∈ L ∩ L1(ℝ), alors f ∈ L∞(ℝ) et f tend vers 0 à l’infini.
3) Norme sur $E = L \cap L^1(\mathbb{R})$
Montrer que, sur E = L ∩ L1(ℝ), l’application || ⋅ ||Lip définit une norme.
4) Inégalité de normes
Montrer que, pour f ∈ E, on a : ||f||∞ ≤ ||f||L1(ℝ) + ||f||Lip.
5) Équivalence de normes (partie 1)
Les normes || ⋅ ||∞ et || ⋅ ||L1(ℝ) + || ⋅ ||Lip sont-elles équivalentes sur E ?
6) Équivalence de normes (partie 2)
Les normes || ⋅ ||Lip et || ⋅ ||L1(ℝ) + || ⋅ ||Lip sont-elles équivalentes sur E ?
7) Équivalence de normes (partie 3)
Les normes || ⋅ ||L1(ℝ) et || ⋅ ||L1(ℝ) + || ⋅ ||Lip sont-elles équivalentes sur E ?
Exercice 5
Comme on a pu le voir dans les exercices précédents, dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, les normes ne sont pas toutes équivalentes et il est important, par exemple lorsque l’on parle de la continuité d’une application ou de la convergence d’une suite, de bien préciser la norme considérée. Il est tout de même assez surprenant de voir, dans l’exercice suivant, qu’une suite donnée de vecteurs peut converger vers n’importe quelle limite fixée à l’avance pour une norme bien choisie.
Soit Q un polynôme de ℝ[X]. Construire une norme sur ℝ[X] telle que la suite (Xn)n∈ℕ tende vers Q au sens de cette norme.
Indication
On pourra définir une suite (Pn) de ℝ[X] par Pn := Xn pour n ≤ n0, et Pn := 2n(Xn − Q) pour n > n0, où n0 est le degré de Q, et chercher une norme pour laquelle ||Pn|| = 1.
Exercice 6
Sur l’espace ℂ[X] des polynômes on pose, pour P ∈ ℂ[X] tel que P = ∑k=0n akXk :
- ||P||∞ = supk|ak|
- ||P||1 = ∑k=0n |ak|
- ||P||2 = √(∑k=0n |ak|2)
Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que l’espace ℂ[X] n’est complet pour aucune de ces normes.
Exercice 7
Soit E l’ensemble des fonctions de classe C1 de [0, 1] dans ℝ telles que f(0) = 0. Démontrer que :
- ||f|| = supt∈[0,1] |f(t)| + supt∈[0,1] |f'(t)|
- ||f||1 = supt∈[0,1] |f(t) + f'(t)|
définissent deux normes équivalentes sur E et que E est complet.
Exercice 8
Soient E un espace de Banach et F un sous-espace vectoriel fermé de E. On introduit sur le quotient E/F la fonction N définie par N(ξ) = infx ∈ ξ ||x||.
Montrer que l’on définit ainsi une norme et que (E/F, N) est complet.
Exercice 9
Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que E est complet si et seulement si toute série absolument convergente d’éléments de E est convergente.
Exercice 10
On note E l’espace des fonctions continues sur [0, 1].
1) Définition d'une norme
Montrer que l’application f ∈ E → ||f||1 = ∫01 |f(t)|dt définit une norme sur E.
2) Complétude
(E, || ⋅ ||1) est-il complet ?
Exercice 11
Soit α ∈ ]0, 1]. On note Lipα l’ensemble des fonctions α-höldériennes définies sur [0, 1] à valeurs réelles : f appartient à Lipα s’il existe une constante C > 0 telle que pour tous x, y dans [0, 1] |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|α.
1) Définition et norme
Montrer que l’application N définie par N(f) = ||f||∞ + sup0≤x<y≤1 ∣f(x) − f(y)∣ / ∣x − y∣α est une norme sur Lipα.
2) Espace de Banach
Montrer que Lipα muni de N est un espace de Banach.
3) Équivalence de normes
Les normes N et || ⋅ ||∞ sont-elles équivalentes ?
Exercice 12
Soit X un ensemble et (E, || ⋅ ||E) un espace de Banach. On note B(X, E) l’espace vectoriel des fonctions bornées de X dans E. On norme B(X, E) en posant ∀f ∈ B(X, E), ||f|| = supx∈X ||f(x)||E.
Muni de cette norme, montrer que B(X, E) est un espace de Banach.
Exercice 13
Pour 1 ≤ p < +∞, on introduit l’espace ℓp(ℕ) des suites (à valeurs complexes) p-sommables : ℓp(ℕ) = {(un)n∈ℕ ; ∑n∈ℕ |un|p < +∞}, que l’on munit de la norme ||(un)n∈ℕ||p = (∑n∈ℕ |un|p)1/p.
On définit ℓ∞(ℕ) comme l’espace des suites bornées, sur lequel on considère la norme || ⋅ ||∞ = supn∈ℕ |un|. Enfin, on note c0(ℕ) le sous-espace de ℓ∞(ℕ) formé des suites qui tendent vers 0.
1) Inclusion des espaces $ℓ^p(\mathbb{N})$
Soit 1 ≤ p < q ≤ +∞. Montrer que ℓp(ℕ) ⊂ ℓq(ℕ). Cette inclusion peut-elle être une égalité ?
2) Complétude des espaces $ℓ^p(\mathbb{N})$
Montrer que les ℓp(ℕ), 1 ≤ p ≤ +∞, sont complets.
3) Complétude de $c_0(\mathbb{N})$
Montrer que c0(ℕ), muni de || ⋅ ||∞, est complet.
4) Adhérence
Quelle est l’adhérence de ℓp(ℕ) dans ℓ∞(ℕ) ?
5) Séparabilité
Montrer que pour 1 ≤ p < +∞, ℓp(ℕ) est séparable, mais que ℓ∞(ℕ) n’est pas séparable.
Exercice 14 : Complétion d'un espace vectoriel normé
Soit (E, || ⋅ ||E) un espace vectoriel normé. On note C l’ensemble des suites de Cauchy U = (un)n∈ℕ de E. Le but de l’exercice est de plonger (E, || ⋅ ||E) dans un espace de Banach dont la norme prolonge celle de E.
1) Propriétés de la semi-norme
a) Convergence de la norme
Soit U = (un)n∈ℕ ∈ C. Montrer que la suite (||un||E)n∈ℕ converge. On note ||U|| sa limite.
b) Définition d'une semi-norme
Montrer que || ⋅ || est une semi-norme sur C (c’est-à-dire vérifie tous les axiomes d’une norme excepté celui de séparation, ||U|| = 0 ⇒ U = 0).
2) Espace quotient et norme induite
On considère la relation d’équivalence sur C définie par (U ∼ V ) ⇔ (||U − V || = 0). On note ÛE l’espace quotient C/∼ et ÛU la classe d’équivalence dans ÛE de U ∈ C.
a) Classe d'une suite convergente
Quelle est la classe d’une suite convergente dans E ?
b) Indépendance de la norme
Montrer que si U ∼ U0, alors ||U|| = ||U0||. Lorsque ÛU ∈ ÛE, le réel ||U|| est donc indépendant du choix du représentant U de ÛU. On le note ||ÛU||.
c) Espace vectoriel normé
Ainsi défini, montrer que (ÛE, || ⋅ ||) est un espace vectoriel normé.
d) Injection isométrique
Montrer qu’il existe une injection naturelle i : E → ÛE, isométrique, et que i(E) est dense dans ÛE.
3) Complétude de l'espace quotient
Montrer que (ÛE, || ⋅ ||) est un espace de Banach.
Remarques
- On peut de manière tout à fait similaire, construire le complété d’un espace métrique (E, d) quelconque. L’exercice 2 de la feuille de TD 1 montre alors que ÛE est unique à une isométrie bijective près. On l’appelle le complété de E.
- On procède de manière similaire pour construire ℝ à partir de ℚ (ℝ est le complété de ℚ). La différence est que, ℝ "n’existant pas encore", on ne peut pas définir ||U|| pour U ∈ C. On peut par contre définir la classe d’équivalence U ∼ V ⇔ limn→+∞ (un − vn) = 0. La notion de limite peut en effet être définie si l’on reste uniquement sur ℚ (il suffit de prendre les ε et les η dans ℚ).
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?
Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une fonction appelée "norme", qui attribue à chaque vecteur une longueur ou une taille. Cette fonction doit satisfaire trois propriétés : la positivité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.
Quelle est la différence entre une norme et une semi-norme ?
Une norme est une semi-norme qui respecte en plus la propriété de séparation, c'est-à-dire que le seul vecteur dont la norme est nulle est le vecteur nul lui-même. Pour une semi-norme, il peut exister des vecteurs non nuls dont la semi-norme est égale à zéro.
À quoi sert la complétion d'un espace vectoriel normé ?
La complétion d'un espace vectoriel normé permet de "remplir les trous" de l'espace, en ajoutant les limites de toutes les suites de Cauchy. L'espace complété est alors un espace de Banach, où toutes les suites de Cauchy convergent, assurant ainsi une meilleure structure pour l'analyse mathématique.