Énoncés intégrales doubles analyse 3 -Analyse 3 - Télécharge
Télécharger PDF[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 1 Intégrales doubles
Exercice 5[ 03746 ] [Correction] Calculs d'intégrales doubles Calculer I = Z Z D dx dy (1 + x2)(1 + y2)
Exercice 1[ 01947 ] [Correction] Calculer I = Z Z D xy dx dy avec D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 .
Exercice 6[ 00085 ] [Correction] Calculer avec D = (x, y) ∈ R2 x, y ≥ 0 et x + y ≤ 1 . I = Z Z D sin(x + y) dx dy
Exercice 2[ 01949 ] [Correction] Calculer I = Z Z D x2 dx dy où D = (x, y) ∈ R2 x, y ≥ 0 et x + y ≤ π .
Exercice 7[ 00086 ] [Correction] où D = (x, y) ∈ R2 x ≤ 1, y ≥ 0 et y2 ≤ x . Calculer I = Z Z D yx2 dx dy
Exercice 3[ 01950 ] [Correction] CalculerZ Z D x2 dx dy où D = (x, y) ∈ R2 x ≤ 1, y ≥ 0 et y2 ≤ x .
Exercice 8[ 00096 ] [Correction] où D est l'intérieur de l'ellipse d'équation x2 a2+y2 b2= 1. CalculerZ Z ∆ (x3 − 2y) dx dy
Exercice 4[ 03373 ] [Correction] avec ∆ = (x, y) ∈ R2 x ≥ 0, y ≥ 0,x2 a2+y2 b2≤ 1 . (a) Donner les coordonnées des foyers F et F0 de l'ellipse E d'équation x2 a2+y2 b2= 1 On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et y = bu sin θ.
Exercice 9[ 02914 ] [Correction] (avec 0 < b < a) (b) Calculer Z Z Soit In = Z Z [0;1]2 dx dy 1 + xn + yn. I = D (MF + MF0) dx dy Déterminer la limite de In quand n → +∞. où D désigne l'intérieur de l'ellipse Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 2
Exercice 10[ 03365 ] [Correction]
Exercice 15[ 01953 ] [Correction] CalculerZ Z Z D (x + y + z)2 dx dy dz Calculer I = Z Z D x2 + y2 x +px2 + y2dx dy où D = (x, y, z) ∈ R3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1 . où D est le quart de disque unité inclus dans R+ × R+.
Exercice 11[ 03815 ] [Correction] CalculerZ Z (xy + 1) dx dy
Exercice 16[ 01954 ] [Correction] CalculerZ Z D x dx dy où D D = (x, y) ∈ (R+)2 y + x − 1 ≤ 0 . où D désigne le domaine borné délimité par la cardioïde d'équation polaire ρ = 1 + cos θ.
Exercice 17[ 01957 ] [Correction]
Exercice 12[ 02564 ] [Correction] CalculerZ Z Dessiner D = (x, y) ∈ R2, x ≥ 0, 1 ≤ xy ≤ 2, 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4 . D x dx dy Montrer que φ(x, y) = (xy, x2 − y2) est un C1 di éomorphisme sur ]0 ; +∞[2. Expliciter φ(D). où D = (x, y) ∈ R2 x2 + y2 − x ≤ 0 . Calculer Z Z f(x, y) dx dy où f(x, y) = xy(x2 + y2)
Exercice 18[ 03396 ] [Correction] I = D x2 − y2. Calculer I = Z Z (1 + xy) dx dy Étudier les extrema de f. Calculs d'intégrales doubles en coordonnées polaires D où D désigne le disque fermé de centre O et de rayon 1.
Exercice 19[ 00089 ] [Correction]
Exercice 13[ 01951 ] [Correction] Calculer Z Z Calculer I = Z Z cos(x2 + y2) dx dy I = D x2y2 dx dy D où D est le disque de centre O et de rayon R.
Exercice 14[ 01952 ] [Correction] CalculerZ Z sin(x2 + y2) dx dy D où D désigne le disque de centre O et de rayon √π. où D est l'intérieur de la boucle de la lemniscate d'équation polaire r =√cos 2θ obtenue pour θ ∈ [−π/4 ; π/4].
Exercice 20[ 00090 ] [Correction] CalculerZ Z (x + y)2 dx dy D où D = (x, y) ∈ R2 x2 + y2 − x ≤ 0, x2 + y2 − y ≥ 0, y ≥ 0 . Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 3
Exercice 21[ 00095 ] [Correction] CalculerZ Z D dx dy (1 + x2 + y2)2 (b) CalculerZ Z C(R) e−x2−y2dx dy. où D est donné par |x| ≤ x2 + y2 ≤ 1.
Exercice 22[ 03200 ] [Correction] D désigne le demi-disque supérieur de centre (1, 0) et de rayon 1. Calculer (c) En déduire la valeur deZ +∞ 0 e−t2dt. I = Z Z D y 1 + x2 + y2dx dy.
Exercice 25[ 00097 ] [Correction] (a) Justi er la convergence de Applications du calcul d'intégrales doubles Z +∞ 0 cos(u2) du et Z +∞ 0 sin(u2) du.
Exercice 23[ 00093 ] [Correction] Soit R > 0. On note AR = [0 ; R] × [0 ; R] et BR = (x, y) ∈ R2 x, y ≥ 0 et x2 + y2 ≤ R2 . On pose (b) Soit f : [0 ; π/2] → R∗+ une application continue. Pour t > 0 on pose Dt = (r cos θ, r sin θ)/θ ∈ [0 ; π/2], r ∈ [0 ;tf(θ)] et on introduit f(R) = Z Z AR exp(−(x2 + y2)) dx dy et g(R) = Z Z BR exp(−(x2 + y2)) dx dy. ϕ(t) = Z Z Dt sin(x2 + y2) dx dy et ψ(t) = Z Z Dt cos(x2 + y2) dx dy. (a) Montrer que g(R) ≤ f(R) ≤ g(R√2). Déterminer les limites, quand T tend vers +∞ de (b) En déduire la valeur deZ +∞ e−t2dt. 1 T Z T 0 ϕ et1TZ T 0 ψ. 0
Exercice 24[ 02546 ] [Correction] (c) On choisit f pour que D1 = [0 ; 1]2. On pose Z t Z t Soit C(R) le quart de disque x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ R2, R > 0. C(t) = 0 cos(u2) du et S(t) = 0 sin(u2) du. (a) Montrer que Z R 0 e−t2dt Montrer que ϕ(t) = 2C(t)S(t) et ψ(t) = C(t)2 − S(t)2. 2 (d) En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel est compris entre Z Z C(R) e−x2−y2dx dy et Z Z C(R√2)e−x2−y2dx dy. Z +∞ 0 cos(u2) du et Z +∞ 0 sin(u2) du. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 4
Exercice 26[ 03515 ] [Correction] Calculer I = Z +∞ 0 sin t tdt (a) Calculer l'intégrale double I = Z Z D (x2 + y2) dx dy en utilisant l'intégrale double J(u) = Z Z [0;u]2 sin(x)e−xy dx dy. (on posera x = ar cos θ et y = br sin θ) (b) Calculer l'intégrale curviligne Z J = Γ (y3 dx − x3 dy).
Exercice 27[ 00091 ] [Correction] Soient 1 < a < b. En calculant de deux manières (c) Quelle relation existe-t-il entre I etJ ? Z π 0 déterminerZ π Z b a dx x − costdt
Exercice 30[ 00269 ] [Correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d'intersection, de la droite ln b − cost d'équation y = x et de la parabole d'équation y = x2. 0 a − costdt. (a) Calculer I = I Γ (y + xy) dx.
Exercice 28[ 00092 ] [Correction] Observer que pour tout x ∈ [0 ; 1], ln(1 + x) = Z 1 0 x dy 1 + xy. (b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale.
Exercice 31[ 00108 ] [Correction] En déduire la valeur de I = Z 1 0 ln(1 + x) dx 1 + x2. On considère f : R2 → R de classe C2 véri ant : ∂2f ∂x2+∂2f ∂y2= 0. Formule de Green Riemann
Exercice 29[ 03363 ] [Correction] Soit (a, b) ∈ R2, a > 0, b > 0. On note Γ l'ellipse d'équation Soit ϕ: R+ → R dé nie par ϕ(r) = Z 2π 0 f(r cos θ, r sin θ) dθ. a2+y2 (a) Montrer que la fonction ϕ est dérivable. x2 b2− 1 = 0 et D la partie de R2 dé nie par (b) Calculer ϕ0et en déduire une expression ϕ. On pourra interpréter rϕ0(r) comme la circulation d'une forme di érentielle sur un contour simple. (c) Soit D le disque de centre 0 et de rayon R. Quelle est la valeur de x2 a2+y2 b2− 1 ≤ 0. Z Z D f(x, y) dx dy ?. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 5 Calcul d'aires
Exercice 32[ 00111 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'ellipse donnée par x(t) = a cost y(t) = b sin t(avec a, b > 0).
Exercice 38[ 00062 ] [Correction] Calculer l'aire de la boucle de la strophoïde droite d'équation polaire r =cos 2θ cos θ.
Exercice 39[ 00110 ] [Correction] (Inégalité isopérimétrique) Soit γ une application de classe C1et 2π-périodique de
Exercice 33[ 00079 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'astroïde donnée par R vers C telle que ∀s ∈ R, γ0(s) = 1. x(t) = a cos3t y(t) = a sin3t(avec a > 0).
Exercice 34[ 00606 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'arche de la cycloïde x(t) = t − sin t y(t) = 1 − cost On note S l'aire orientée délimitée par γ [0;2π]. (a) Exprimer S à l'aide des coe cients de Fourier exponentiels de γ. (b) Montrer S ≤ π et préciser le cas d'égalité.
Exercice 40[ 03769 ] [Correction] On considère la courbe paramétrée du plan donnée par (x(t) = t obtenue pour t ∈ [0 ; 2π] et l'axe des abscisses. 1+t4 y(t) = t3 1+t4 avec t ∈ R.
Exercice 35[ 02462 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe dé nie par x(t) = cos2t y(t) = (1 + sin t) cost.
Exercice 36[ 00112 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d'équation polaire r = 1 + cos θ.
Exercice 37[ 00069 ] [Correction] Calculer l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d'équation (a) Déterminer centre de symétrie et axe de symétrie. Indice : calculer x(1/t) et y(1/t). (b) Voici l'allure de la courbe sur R. Calculer l'aire intérieure délimitée par cette polaire r =√cos 2θ. courbe. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 6 Intégrales doubles sur un produit d'intervalles (a) Justi er l'existence de I et établir
Exercice 41[ 02919 ] [Correction] CalculerZ Z I = Z +∞ x=0 Z +∞ u=0 xe−(1+u2)x2du dx. [0;+∞[2
Exercice 42[ 00098 ] [Correction] y (1 + x2 + y2)2dx dy. (b) En déduire la valeur deZ +∞ 0 e−t2dt. En calculant de deux façonsZ Z ]0;1]2 xy dx dy
Exercice 46[ 00102 ] [Correction] Que dire de l'intégrale double Z Z x − y déterminer la valeur deZ 1 0
Exercice 43[ 00099 ] [Correction] t − 1 ln tdt. (x + y)3dx dy D où D = ]0 ; 1] × [0 ; 1] ?
Exercice 47[ 00250 ] [Correction] En calculant de deux façons Z Z [0;π]×[0;1[ 1 1 + y cos xdx dy CalculerZ Z R+×R+ En déduireZ π/2 ln(tan θ) dx dy (1 + x2)(1 + y2). Z +∞ ln t déterminer la valeur deZ π 0 ln(1 + cost) costdt. 0 cos 2θdθ et 0 t2 − 1dt.
Exercice 44[ 00100 ] [Correction] En calculant de deux façons
Exercice 48[ 00270 ] [Correction] Soit A ∈ M2(R) une matrice symétrique dé nie positive. Calculer Z Z Z Z I = R2 exp(−tXAX) dx dy [0;+∞[2 e−(x2+y2) dx dy ou X désigne le vecteur de coordonnées (x, y). déterminer la valeur deZ +∞ 0
Exercice 45[ 00101 ] [Correction] e−t2dt.
Exercice 49[ 03514 ] [Correction] CalculerZ Z ]0;1[×]0;π/2[ et en déduire la valeur de l'intégrale dx dy 1 + (x tan y)2 On pose I = Z Z ]0;+∞[2 e−(x2+y2) dx dy. Z π/2 0 y tan ydy. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Enoncés 7
Exercice 50[ 03690 ] [Correction] Existence et calcul de I = Z Z ]0;1]2 min(x, y) max(x, y)dx dy.
Exercice 51[ 02557 ] [Correction] (a) Domaine de dé nition des fonctions B(x, y) = (b) Montrer que Z 1 0 ux−1(1 − u)y−1 du et de Γ(x) = Z +∞ Z +∞ 0 ux−1e−u du. ∀x ∈ ]0 ; +∞[, Γ(x) = 2 0 u2x−1e−u2du. (c) Écrire Γ(x)Γ(y) sous forme d'une intégrale double. (d) À l'aide des coordonnées polaires, montrer que B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). (e) Montrer que ∀x ∈ R∗+, Γ(x + 1) = xΓ(x) et en déduire B(m, n) pour m, n ∈ N∗. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 8 Corrections Le jacobien de ce changement de variable est
Exercice 1: [énoncé] Puisque D(x, y) D(λ, t)= cost −λ sin t λ2−c2sin t√λ2 − c2 cost √λ =pλ2 − c2 cos2t +λ2 √λ2 − c2sin2t D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1 − x on peut calculer l'intégrale et on obtient Z a Z 2π 2λpλ2 − c2 cos2t +2λ3 I = Z 1 0 Z 1−x 0 xy dy dx = Z 1 0 2x(1 − x)2 dx =124. 1 I = dλ c 0 d'où Z a √λ2 − c2sin2t dt λpλ2 − c2 +λ3
Exercice 2: [énoncé] On peut décrire D sous la forme D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤√x et ainsi exprimer l'intégrale étudiée I = 2π c Après calculs
Exercice 5: [énoncé] √λ2 − c2dλ. I =2π3(3a2 − b2)b. I =
Exercice 3: [énoncé] Z 1 0 Z √x 0 x2 dy dx = Z 1 0 x5/2 dx =27. On peut décrire la partie D sous la forme D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ x . On peut alors réexprimer l'intégrale double Dx2 dx dy =R a−aR y= ba√a2−x2 Z 1 Z x RR R π/2 y=− ba√a2−x2 x2 dy dx =R a−a2bax2√a2 − x2 dx = I = 1 1 + x2 dy 1 + y2dx −π/22a3b sin2t cos2t dt =a3bπ 4.
Exercice 4: [énoncé] (a) F(c, 0) et F0(−c, 0) avec c =√a2 − b2. (b) L'intérieur de l'ellipse est la réunion des courbes et donc I =
Exercice 6: [énoncé] Z 1 0 0 arctan x 1 + x2dx = 0 1 2(arctan x)2 1 0 =π2 32. Eλ : MF + MF0 = 2λ pour λ ∈ [c ; a]. Procédons alors au changement de variable On peut décrire D sous la forme D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ π et 0 ≤ y ≤ π − x et ainsi exprimer l'intégrale étudiée x = λ cost Z π y =√λ2 − c2 sin t I = x=0 qui donne l'intérieur de l'ellipse pour (λ, t) parcourant [c ; a] × [0 ; 2π]. Z π−x y=0 sin(x + y) dy dx = Z π x=0 cos(x) + 1 dx = π. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 9
Exercice 7: [énoncé] On peut décrire D sous la forme D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤√x et ainsi exprimer l'intégrale étudiée
Exercice 12: [énoncé] La condition 1 ≤ xy ≤ 2 donne une portion du plan comprise entre deux hyperboles. Dans le repère (O; ~uπ/4, ~vπ/4), la condition 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4 devient 1 ≤ 2XY ≤ 4 ce qui conduit encore à une portion de plan comprise entre 2 hyperboles. I =
Exercice 8: [énoncé] Z 1 0 Z √x 0 yx2 dy dx = Z 1 0 2x3 dx =18. 1 Pour x, y, X, Y > 0, on obtient xy = X x2 − y2 = Y⇐⇒ x =√ √2X √Y 2+4X2−Y y = √12p√Y 2 + 4X2 − Y . Φ: (u, θ) 7→ (au cos θ, bu sin θ) réalise une bijection de [0 ; 1] × [0 ; π/2] vers ∆ de Cela permet de justi er que φ est une bijection de ]0 ; +∞[2vers lui-même. jacobien : abu. Par changement de variable φ est évidemment de classe C1et y x = −2(x2 + y2) 6= 0 Z Z Z π/2 Z 1 dθ =215aba3−5b . Jac φ(x, y) = 2x −2y (x3 − 2y) dx dy = ∆ 0 0 (a3u3cos3θ−2bu sin θ)abu du donc, par le théorème d'inversion globale, φ est un C1 di éomorphisme. On aurait pu aussi observer que φ−1est de classe C1ce qui est immédiat car le système
Exercice 9: [énoncé] Z Z |In − 1| = xn + yn Z Z (xn + yn) dx dy =2 précédent permet d'exprimer φ−1. On a φ(D) = [1 ; 2] × [1 ; 4]. Par le changement de variable induit par φ, n + 1→ 0 [0;1]2 donc In → 1. 1 + xn + yndx dy ≤ [0;1]2 I = Z Z [1;2]×[1;4] X 2YdX dY =32ln 2.
Exercice 10: [énoncé] Z Z Z Z 1 Z 1−x Z 1−x−y L'application f est de classe C1. Après résolution du système(∂f ∂x (x, y) = 0 ∂f I = D (x + y + z)2 dx dy dz = x=0
y=0 (x + y + z)2 dz z=0 dy dx. ∂y (x, y) = 0 on obtient (0, 0) seul point critique. I =13Z 1 x=0 Z 1−x y=0 1−(x+y)3 dy dx =13 12−14Z 1 0 1−x4 dx =13 12−14+120 =110. En passant en polaires, f(x, y) = r2cos θ sin θ cos2 θ − sin2θ= r2tan 2θ
Exercice 11: [énoncé] D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1 − x donc qui change de signe. f n'a pas d'extremum locaux. Z Z D (xy + 1) dx dy = Z 1 0 Z 1−x 0 (xy + 1) dy dx.
Exercice 13: [énoncé] En passant aux coordonnées polaires Après calculsZ Z D (xy + 1) dx dy =1324. I = Z 2π θ=0 Z R ρ=0 r cos(r2) dr dθ = 2π 1 2sin r2 R 0 = π sin R2. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 10
Exercice 14: [énoncé] En coordonnées polaires
Exercice 18: [énoncé] En passant en coordonnées polaires Z Z D sin(x2 + y2) dx dy = Z 2π θ=0 Z √π ρ=0 ρ sin ρ2 dρ dθ = 2π. I = Z 2π 0 Z 1 0 r + r3cos θ sin θ dr dθ = π.
Exercice 15: [énoncé] En passant aux coordonnées polaires Le résultat se comprend car les aires positives, compensant les négatives, on a Z Z xy dx dy = 0. D I = Z π/2 0 Z 1 0 r2 r cos θ + rr dr dθ = Z π/2 0 1 3 1 cos θ + 1dθ = t=tan θ/2 2 3 Z 1 0 2=13. dt
Exercice 19: [énoncé] En passant en coordonnées polaires
Exercice 16: [énoncé] En coordonnées polaires Z π/4 I = Z√cos 2θ r5cos2θ sin2θ dr dθ = Z π/4 24sin22θ cos32θ dθ =1180. 1 Z Z x dx dy = Z π Z 1+cos θ ρ2cos θ dρ dθ =13Z π cos θ(1 + cos θ)3 dθ. θ=−π/4 r=0 −π/4 D θ=−π ρ=0 −π
Exercice 20: [énoncé] SachantZ π −π cos2θ dθ = π On peut décrire le domaine d'intégration en coordonnées polaires sous la forme D = M(r cos θ, r sin θ)/θ ∈ [0 ; π/4] sin θ ≤ r ≤ cos θ . etZ π Z π cos2θ dθ −14Z π sin22θ dθ =3π4 En passant aux coordonnées polaires cos4θ dθ = −π −π −π Z Z (x + y)2 dx dy = Z π/4 Z cos θ r3(cos θ + sin θ)2 dr on obtientZ Z D x dx dy =5π4. dθ D 0 sin θ donc
Exercice 17: [énoncé] On peut décrire D en coordonnées polaires Z Z D (x + y)2 dx dy =14Z π/4 0 (cos4θ−sin4θ)(cos θ+sin θ)2 dθ =14Z π/4 0 cos 2θ(1+sin 2θ) dθ D = (r cos θ, r sin θ)/θ ∈ [−π/2 ; π/2] 0 ≤ r ≤ cos θ . On a alors
Exercice 21: [énoncé] En visualisant le domaine comme le complémentaire de la réunion de deux cercles Z Z x dx dy = Z π/2 Z cos θ r cos θr dr dθ =13Z π/2 cos4θ dθ =π8. dans le cercle unité et par des considérations de symétrie, on obtient en passant aux coordonnées polaires D −π/2 0 −π/2 Z Z D dx dy (1 + x2 + y2)2= 4 Z π/2 0 Z 1 cos θ r (1 + r2)2dr dθ = 2 Z π/2 0 1 1 + cos2 θ−12dθ. Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 11 Or via le changement de variable t = tan θ Par encadrement, on obtient Z π/2 dθ Z +∞ t2 + 2=π f(R) −−−−−→ π 4. 0 1 + cos2 θ= 0 dt 2√2 Or R→+∞ doncZ Z D (1 + x2 + y2)2=π√2−π2=(√2 − 1)π dx dy 2. 2 et R +∞ f(R) = Z R 0 e−t2dt 2 −−−−−→ R→+∞ Z +∞ 0 e−t2dt
Exercice 22: [énoncé] Le cercle délimitant le disque étudié a pour équation polaire r = 2 cos θ. En passant en coordonnées polaires 0e−t2dt ≥ 0 doncZ +∞ 0
Exercice 24: [énoncé] (a) On a e−t2dt = √π 2. I = Z π/2 θ=0 Z 2 cos θ r=0 r sin θ 1 + r2r dr dθ. Z R 0 e−t2dt 2 = Z R 0 e−x2dx Z R 0 e−y2dy = Z Z [0;R]2 e−x2−y2dx dy. On obtient Z π/2 Or la fonction (x, y) 7→ e−x2−y2est positive et on a l'inclusion des domaines I = θ=0 sin θ h r − arctan r i2 cos θ r=0 dθ d'intégration On a donc C(R) ⊂ [0 ; R]2 ⊂ C(R√2). donc I = 2 Z π/2 θ=0 cos θ sin θ dθ − Z π/2 0 sin θ arctan(2 cos θ) dθ. Z Z C(R) e−x2−y2dx dy ≤ Z R 0 e−t2dt 2 ≤ Z Z C(R√2)e−x2−y2dx dy. La première intégrale est immédiate et la seconde s'obtient par changement de variable puis intégration par parties (b) En passant en coordonnées polaires I = 1 −12Z 2 0 arctan x dx = 1 − arctan 2 +14ln 5. Z Z C(R) e−x2−y2dx dy = Z π/2 0 Z R 0 re−r2dr dθ =π41 − e−R2 .
Exercice 23: [énoncé] (a) BR ⊂ AR ⊂ BR√2et la fonction intégrée est continue et positive sur R2 donc (c) La fonction f : t 7→ e−t2est dé nie et continue par morceaux sur [0 ; +∞[. Puisque e−t2= o1/t2 quand t → +∞, on peut a rmer que f est intégrable et il y a donc convergence de l'intégrale g(R) ≤ f(R) ≤ g(R√2). Z +∞ 0 e−t2dt. (b) En passant aux coordonnées polaires En passant à la limite quand R → +∞ l'encadrement obtenu à la première g(R) = Z π/2 0 Z R 0 re−r2dr dθ =π4(1 − e−R2) −−−−−→ R→+∞ π 4. question, on obtient Z +∞ 0 e−t2dt 2 =π4 Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 12 puisZ +∞ 0 e−t2dt = √π 2 puis 1 T Z π/2 0 Z T 0 cos(t2f2(θ)) dt dθ → 0. sachant l'intégrale positive. Finalement 1 T Z T 0 ϕ(t) dt →π4.
Exercice 25: [énoncé] De manière semblable, on obtient (a) Pour A ∈ R+ Z A Z 1 Z A 1 T Z T 0 ψ(t) dt → 0. cos(u2) du = 0 cos(u2) du + 0 1 cos(u2) du. (c) On a Z t Z t Par intégration par parties : ϕ(t) = x=0
sin(x2 + y2) dy y=0 dx Z A 1 u ucos(u2) du = 1 2usin(u2) A 1 +12Z A 1 sin(u2) u2du −−−−−→ A→+∞` ∈ R. or En séparant, sin(x2 + y2) = sin(x2) cos(y2) + sin(y2) cos(x2). On procède de même pour R +∞ 0sin(u2) du. (b) En passant aux coordonnées polaires ϕ(t) = Z t 0 sin(x2) dx Z t 0 cos(y2) dy + Z t 0 sin(y2) dy Z t 0 cos(x2) dx dθ donc ϕ(t) = Z Z Dt sin(x2 + y2) dx dy = Z π/2 Z π/2 θ=0 Z tf(θ) r=0 r sin(r2) dr puis ϕ(t) = 2S(t)C(t). De même ψ(t) = C(t)2 − S(t)2. ϕ(t) = θ=0 1 2 1 − cos(t2f2(θ)) dθ (d) Lorsqu'une fonction g : [0 ; +∞[ → R continue tend vers ` en +∞ il est connu puis 1 T Z T 0 ϕ(t) dt =π4−1TZ π/2 0 Z T 0 cos(t2f2(θ)) dt dθ. que 1 T On a donc Z T 0 g(t) dt −−−−−→ T→+∞`. Par changement de variable a ne, sachant f(θ) > 0, on a ϕ(t) −−−−→ t→+∞2CS et ψ(t) −−−−→ t→+∞C2 − S2 Z T 0 cos(f(θ)t2) dt =1 f(θ) Z f(θ)T 0 cos(u2) du. en notant C = Z +∞ 0 cos(u2) du et S = Z +∞ 0 sin(u2) du. Or A 7→R A 0cos(u2) du est continue sur R+ et admet une limite nie en +∞ donc elle est bornée par un certain M. On a alors On en déduit C2 = S2et 2CS = π/2. Il ne reste plus qu'à déterminer les signes de C et S pour conclure leur valeur. Z π/2 0 Z T 0 cos(t2f2(θ)) dt dθ ≤Z π/2 0 Z T 0 cos(t2f2(θ)) dt dθ ≤Z π/2 0 M f(θ)dθ = Cte Z +∞ 0 +∞ cos(u2) du =X n=0 In Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 13 avec In = Z√(n+1)π √nπcos(u2) du = Z (n+1)π nπ cost 2√tdt = (−1)n Z π 0 cos s 2√s + nπds. avec Z u 0 et sin x xe−xu dx ≤Z +∞ 0 e−xu dx =1u−−−−−→ u→+∞0 Z u On a alors In = (−1)n|In|, (|In|)n≥0 décroissante et In → 0 donc le critère spécial s'applique et assure que la somme P+∞ n=0 In est du signe de son 0 cos(u) + y sin(u) y2 + 1e−yu dy ≤Z u 0 y + 1 y2 + 1e−yu dy ≤ 2 Z +∞ 0 e−yu dy −−−−−→ u→+∞0. premier terme, à savoir I0 > 0. Ainsi C > 0. De plus CS > 0 donc S > 0 puis √π On en déduit lim u→+∞ Z u sin x xdx = lim u→+∞ Z u y2 + 1=π2 dy C = S = 2√2. 0 0
Exercice 26: [énoncé] ce qui donne la convergence et la valeur de l'intégrale dé nissant I.
Exercice 27: [énoncé] La fonction f dé nie sur R2 par f(x, y) = sin(x)e−xy D'une partZ π 0 Z b a dx x − costdt = Z π 0 ln b − cost a − costdt. est continue donc pour tout u ≥ 0 ; D'autre partZ π Z b Z b Z π J(u) = Z u 0 Z u 0 sin(x)e−xy dx dy = Z u 0 Z u 0 sin(x)e−xy dy dx. dt x − costdx 0 a etZ π dx x − costdt = Z +∞ a 0 dt (1 + x)u2 + x − 1=π D'une part Z u sin(x)e−xy dx = Im Z u e−(y−i)x dx = Im 1 − e−(y−i)u √x2 − 1. 0 On en déduit x − cost= u=tan t2 2 du 0 avec 0 Im 1 − e−(y−i)u y − i 0 =1 y2 + 1 y − i 1 − cos(u)e−yu − y sin(u)e−yu Z π 0 ln b − cost a − costdt = Z b a π √x2 − 1dx = π h argch x ib a = π ln b +√b2 − 1 a +√a2 − 1. et d'autre partZ u sin(x)e−xy dy =sin x 1 − e−xu .
Exercice 28: [énoncé] Par simple détermination de primitive On en déduit 0 x Z 1 0 x dy 1 + xy= h ln(1 + xy) i1 0 = ln(1 + x). Z u 0 sin x x 1 − e−xu dx =Z u 0 1 y2 + 1 1 − cos(u)e−yu − y sin(u)e−yu dy On a I = Z 1 ln(1 + x) dx 1 + x2= Z 1 Z 1 x (1 + xy)(1 + x2)dy dx. 0 0 0 ce qui se réorganise en Z u 0 sin x xdx = Z u 0 dy y2 + 1+ Z u 0 sin x xe−xu dx − Z u 0 cos(u) + y sin(u) y2 + 1e−yu dy Or x (1 + xy)(1 + x2)=a 1 + xy+bx + c 1 + x2avec a = −y 1 + y2, b =1 1 + y2, c =y 1 + y2 Di usion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 2017 Corrections 14 donc Z 1 Z 1 (1 + xy)(1 + y2)+x + y Z 1 Z 1 x + y
Exercice 30: [énoncé] (a) En paramétrant les deux courbes constituant Γ I = puis 0 −y 0 (1 + x2)(1 + y2)dx dy = −I+ 0 0 (1 + x2)(1 + y2)dx dy I = Z 1 x2 + x3 dx − Z 1 x + x2 dx = −14. I = Z 1 0 Z 1 0 y (1 + y2)(1 + x2)dx dy = Z 1 0 y (1 + y2)dy Z 1 0 1 + x2=π ln 2 dx 8. 0 (b) Par la formule de Green-Riemann Z Z I = − 0 (1 + x) dx dy
Exercice 29: [énoncé] (a) Le changement de variables proposé a pour jacobien D avec D = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x . D(x, y) D(r, θ)= a cos θ −ar sin θ b sin θ br cos θ = abr. On en déduit I = − Z 1 Z x x2 (1 + x) dy dx = − Z 1 (1 + x)(x − x2) dx = −14. 0 0 Ce changement de variable donne I = et donc Z 2π 0 Z 1 r=0 a2r2cos2θ + b2r2sin2θ × |abr| dr dθ I =πab(a2 + b2) 4.
Exercice 31: [énoncé] (a) g : (r, t) 7→ f(r cost, r sin t) est C1 donc g et ∂g ∂r sont continues sur R × [0 ; 2π] et ϕ est C1sur R. (b) La fonction (r, θ) 7→ f(r cos θ, r sin θ) admet une dérivée partielle en la (b) Par le paramétrage direct x(t) = a cost variable r et celle-ci est continue sur R × [0 ; 2π]. Par intégration sur un segment, ϕ est dérivable et on obtient y(t