Énoncés intégrales doubles analyse 3 -Analyse 3 - Télécharge
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Exercice 5
Calculer I = ∬∬D dx dy / ((1 + x²) (1 + y²)).
Exercice 1
Calculer I = ∬∬D xy dx dy avec D = {(x, y) ∈ ℝ² | 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}.
Exercice 6
Calculer I = ∬∬D sin(x + y) dx dy avec D = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≥ 0, y ≥ 0 et x + y ≤ 1}.
Exercice 2
Calculer I = ∬∬D x² dx dy où D = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≥ 0, y ≥ 0 et x + y ≤ π}.
Exercice 7
Calculer I = ∬∬D yx² dx dy où D = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≤ 1, y ≥ 0 et y² ≤ x}.
Exercice 3
Calculer ∬∬D x² dx dy où D = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≤ 1, y ≥ 0 et y² ≤ x}.
Exercice 8
Calculer ∬∬Δ (x³ - 2y) dx dy où Δ est l'intérieur de l'ellipse d'équation x²/a² + y²/b² = 1.
Exercice 4
Avec Δ = {(x, y) ∈ ℝ² | x ≥ 0, y ≥ 0, x²/a² + y²/b² ≤ 1}.
(a) Donner les coordonnées des foyers F et F' de l'ellipse E d'équation x²/a² + y²/b² = 1. On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et y = bu sin θ.
(b) Calculer I = ∬∬D (MF + MF') dx dy où D désigne l'intérieur de l'ellipse (avec 0 < b < a).
Exercice 9
Soit In = ∬∬[0;1]² dx dy / (1 + xn + yn). Déterminer la limite de In quand n → +∞.
Exercice 10
Calculer ∬∬∬D (x + y + z)² dx dy dz où D = {(x, y, z) ∈ ℝ³, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.
Exercice 15
Calculer I = ∬∬D (x² + y²)/(x + √(x² + y²)) dx dy où D est le quart de disque unité inclus dans ℝ⁺ × ℝ⁺.
Exercice 11
Calculer ∬∬D (xy + 1) dx dy où D = {(x, y) ∈ (ℝ⁺)² | y + x - 1 ≤ 0}.
Exercice 16
Calculer ∬∬D x dx dy où D désigne le domaine borné délimité par la cardioïde d'équation polaire ρ = 1 + cos θ.
Exercice 17
Calculer ∬∬D x dx dy où D = {(x, y) ∈ ℝ² | x² + y² - x ≤ 0}.
Exercice 12
Dessiner D = {(x, y) ∈ ℝ², x ≥ 0, 1 ≤ xy ≤ 2, 1 ≤ x² - y² ≤ 4}. Montrer que φ(x, y) = (xy, x² - y²) est un C¹ difféomorphisme sur ]0 ; +∞[². Expliciter φ(D). Calculer I = ∬∬D (xy / (x² - y²)) dx dy.
Exercice 18
Calculer I = ∬∬D (1 + xy) dx dy où D désigne le disque fermé de centre O et de rayon 1. (Calculs d'intégrales doubles en coordonnées polaires).
Exercice 19
Calculer I = ∬∬D x²y² dx dy où D est l'intérieur de la boucle de la lemniscate d'équation polaire r = √(cos(2θ)) obtenue pour θ ∈ [-π/4 ; π/4].
Exercice 13
Calculer ∬∬D cos(x² + y²) dx dy où D est le disque de centre O et de rayon R.
Exercice 14
Calculer ∬∬D sin(x² + y²) dx dy où D désigne le disque de centre O et de rayon √π.
Exercice 20
Calculer ∬∬D (x + y)² dx dy où D = {(x, y) ∈ ℝ² | x² + y² - x ≤ 0, x² + y² - y ≥ 0, y ≥ 0}.
Exercice 21
Calculer ∬∬D dx dy / (1 + x² + y²)² où D est donné par |x| ≤ x² + y² ≤ 1.
Exercice 22
D désigne le demi-disque supérieur de centre (1, 0) et de rayon 1. Calculer I = ∬∬D y / (1 + x² + y²) dx dy.
Exercice 25
(a) Justifier la convergence de ∫0+∞ cos(u²) du et ∫0+∞ sin(u²) du.