Exercices td transformateurs monophasés calculs rendement et
Télécharger PDFCorrigé des Exercices sur le Transformateur Monophasé
Exercice 1
Soit un transformateur parfait 380 V / 220 V, 50 Hz, de puissance apparente nominale S = 2 kVA.
1. Calcul des courants nominaux I1N, I2N et du rapport de transformation m.
I1N = S / V1N = 2000 / 380 = 5,26 A
I2N = S / V2N = 2000 / 220 = 9,09 A
m = V2N / V1N = I1N / I2N = 0,57
2. Charge inductive composée d’une résistance R = 20 Ω en série avec une inductance L = 50 mH.
Impédance de la charge : Z = √(R² + (Lω)²) = √(20² + (50 × 10⁻³ × 2π × 50)²) = 25,43 Ω
Facteur de puissance : tg Φ = XL / R = (Lω) / R = 0,785 → Φ = arctg(0,785) = 38,14° → fp = cos Φ = 0,786
Courants du transformateur : I1 = I1N = 5,26 A et I2 = V2 / Z = 220 / 25,43 = 8,65 A
Puissance active fournie : P = S × fp = 2000 × 0,786 = 1572 W
Exercice 2
Un transformateur de distribution possède les caractéristiques nominales suivantes : S2N = 25 kVA, pertes Joule nominales pJouleN = 700 W et pertes fer pfer = 115 W.
1. Calcul du rendement nominal pour une charge résistive et inductive.
Pour une charge résistive (cos ϕ2 = 1) : P2N = S2N × cos ϕ2 = 25000 × 1 = 25 kW
P1 = P2N + pJouleN + pfer = 25000 + 700 + 115 = 25815 W
Rendement nominal = P2N / P1 = 25000 / 25815 = 96,8 %
Pour une charge inductive (cos ϕ2 = 0,8) : P2N = 25000 × 0,8 = 20 kW
P1 = 20000 + 700 + 115 = 20815 W
Rendement nominal = 20000 / 20815 = 96,1 %
2. Calcul du rendement pour une charge résistive consommant la moitié du courant nominal.
I2 = I2N / 2 → P2 ≈ P2N / 2 ≈ 12500 W
Pertes Joule réduites = pJouleN × (1/2)² = 700 × 0,25 = 175 W
P1 = P2 + pertes Joule réduites + pfer = 12500 + 175 + 115 = 12790 W
Rendement = 12500 / 12790 = 97,7 %
Exercice 3
Un transformateur monophasé possède les caractéristiques suivantes : tension primaire nominale U1N = 5375 V / 50 Hz, rapport des spires N2/N1 = 0,044, résistance de l’enroulement primaire R1 = 12 Ω, résistance de l’enroulement secondaire R2 = 25 mΩ, inductance de fuite primaire L1 = 50 mH, inductance de fuite secondaire L2 = 100 μH.
1. Tension à vide au secondaire : U2V = U1N × (N2/N1) = 5375 × 0,044 = 236,5 V
2. Résistance des enroulements ramenée au secondaire RS :
RS = R2 + R1 × (N2/N1)² = 0,025 + 12 × 0,044² = 48,2 mΩ
3. Inductance de fuite ramenée au secondaire LS et réactance XS :
LS = L2 + L1 × (N2/N1)² = 100 × 10⁻⁶ + 50 × 10⁻³ × 0,044² = 197 μH
XS = LS × ω = 197 × 10⁻⁶ × 2π × 50 = 61,8 mΩ
4. Calcul de la tension U2 et du courant I2 pour une charge résistive R = 1 Ω.
Impédance complexe totale : Z = (RS + R) + jXS
Z = √((RS + R)² + XS²) = √((0,0482 + 1)² + 0,0618²) ≈ 1,048 Ω
Courant au secondaire : I2 = U2V / Z = 236,5 / 1,048 ≈ 225,6 A
Tension aux bornes du secondaire : U2 = R × I2 = 1 × 225,6 = 225,6 V
Exercice 4
Un transformateur monophasé de commande et signalisation a les caractéristiques suivantes : 230 V / 24 V, 50 Hz, 630 VA, 11,2 kg.
1. Rendement nominal pour cos ϕ2 = 1 et cos ϕ2 = 0,3.
Pour cos ϕ2 = 1 : P2N = 630 × 1 = 630 W
P1 = P2N + pertes totales = 630 + 54,8 = 684,8 W
Rendement nominal = 630 / 684,8 = 92 %
Pour cos ϕ2 = 0,3 : P2N = 630 × 0,3 = 189 W
P1 = 189 + 54,8 = 243,8 W
Rendement nominal = 189 / 243,8 = 77,5 %
2. Courant nominal au secondaire : I2N = S / V2N = 630 / 24 = 26,25 A
3. Pertes fer à vide = 32,4 W → Pertes Joule à charge nominale = 54,8 - 32,4 = 22,4 W
RS = Pertes Joule / I2N² = 22,4 / 26,25² = 32,5 mΩ
4. Chute de tension au secondaire pour cos ϕ2 = 0,6 (inductif) = 3,5 % de U2N.
ΔU2 = 0,035 × 24 = 0,84 V
ΔU2 = (RS × cos ϕ2 + XS × sin ϕ2) × I2N
XS = (0,84 / 26,25 - 0,0325 × 0,6) / 0,8 = 15,6 mΩ
5. Court-circuit à 15 m du transformateur avec un câble en cuivre de section 1,5 mm².
5-1. Résistance totale du câble : R = ρ × L / S = 0,027 × 2 × 15 / 1,5 = 540 mΩ
5-2. Courant de court-circuit : Z = √((RS + R)² + XS²) = √((0,0325 + 0,540)² + 0,0156²) ≈ 573 mΩ
I2CC = U2N / Z = 24 / 0,573 ≈ 42 A
Exercice 5
Les essais d’un transformateur monophasé donnent :
À vide : U1 = 220 V, 50 Hz ; U2V = 44 V ; P1V = 80 W ; I1V = 1 A.
En court-circuit : U1CC = 40 V ; P1CC = 250 W ; I2CC = 100 A (courant nominal secondaire).
En courant continu au primaire : I1 = 10 A ; U1 = 5 V.
1. Rapport de transformation à vide mv et nombre de spires au secondaire (N1 = 500).
mv = U2V / U1 = 44 / 220 = 0,2
N2 = N1 × mv = 500 × 0,2 = 100 spires
2. Résistance de l’enroulement primaire : R1 = U1 / I1 = 5 / 10 = 0,5 Ω
3. Pertes Joule au primaire lors de l’essai à vide : R1 × I1V² = 0,5 × 1² = 0,5 W (négligeables devant 80 W).
4. Pertes fer proportionnelles au carré de la tension primaire.
Pertes fer en court-circuit = P1V × (U1CC / U1)² = 80 × (40 / 220)² = 2,6 W (négligeables devant 250 W).
5. Schéma équivalent en court-circuit vu du secondaire : Rs = 0,025 Ω, Xs = 0,075 Ω.
Le transformateur, alimenté sous tension nominale, débite 100 A au secondaire avec un facteur de puissance cos ϕ2 = 0,9 (charge inductive).
6. Tension secondaire et puissance délivrée :
ΔU2 = (Rs × cos ϕ2 + Xs × sin ϕ2) × I2 = (0,025 × 0,9 + 0,075 × 0,436) × 100 = 5,5 V
U2 = U2V - ΔU2 = 44 - 5,5 = 38,5 V
Puissance délivrée au secondaire : P2 = U2 × I2 × cos ϕ2 = 38,5 × 100 × 0,9 = 3465 W
7. Puissance absorbée au primaire et rendement.
Pertes globales = P1V + P1CC = 80 + 250 = 330 W
Puissance absorbée au primaire : P1 = P2 + pertes globales = 3465 + 330 = 3795 W
Rendement = P2 / P1 = 3465 / 3795 ≈ 91 %
Facteur de puissance au primaire : cos ϕ1 = P1 / (U1 × I1) = P1 / (U1 × mv × I2) = 0,86
FAQ
1. Comment calculer le rapport de transformation d’un transformateur ?
Le rapport de transformation m = V2N / V1N = N1 / N2, où V2N et V1N sont les tensions nominales secondaires et primaires, et N1 et N2 sont les nombres de spires des enroulements primaire et secondaire.
2. Qu’est-ce que le facteur de puissance et comment l’obtenir ?
Le facteur de puissance fp = cos Φ, où Φ est l’angle de déphasage entre tension et courant. Il se calcule à partir de la relation tg Φ = XL / R, avec XL = Lω et R la résistance de la charge.
3. Pourquoi les pertes Joule sont-elles proportionnelles au carré du courant ?
Les pertes Joule s’expriment par P = R × I², où R est la résistance et I le courant. Ainsi, si le courant est divisé par deux, les pertes Joule sont réduites à un quart.