Td2 corrigé résolution numérique des systèmes linéaires

Correction Td2 numérique des systèmes linéaires

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TD n°2 SM4-SMP4 (2017) Résolution Numérique des systèmes linéaires Méthodes directes

Exercice 1

1. Donner une condition suffisante pour qu’une matrice carrée admette une décomposition LU Montrer que si la décomposition LU existe alors cette décomposition est unique. 2. Déterminer l’inverse de la matrice triangulaire A (utiliser la méthode de remontée) et appliquer la méthode de Gauss pour résoudre le système linéaire (S)

Exercice 3

Soit A une matrice carré donné par

1. Vérifier que la décomposition LU de A existe 2. Calculer la décomposition LU de A

Exercice 4

1. Vérifier que la matrice suivante est définie positive et calculer sa décomposition de Cholesky : 2. Calculer la décomposition QR de Gram-Schmidt de la matrice suivante :

Corrigé de TD n°2 SMA4-SMI4-SMP4 (2017) Résolution Numérique des systèmes linéaires

Correction Exercice 1

1. Si A=L1 U1 =L2 U2 alors L2 -1L1=U 2U 2

-1 =Id (matrice triangulaire inférieure = matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale) d’où L1 =L2 et U1 =U2 Pour montrer l’existence de la décomposition LU on peut vérifier que les déterminants principaux de A sont non nuls ce qui implique que les pivots sont non nuls. 2. On considère le système Ax=b et on utilise la méthode de remontée pour exprimer x en fonction de b on obtient :     1000 21004210 84211 A

Pour le système (S) en appliquant gauss on obtient le système triangulaire :     42002420 41284321 321321 xxxxxx xxx

Correction Exercice 3

1. On peut vérifier que les déterminants principaux de A sont non nuls. 2. Avec la méthode d’élimination de Gauss on obtient (voir cours) :

Correction Exercice 4

1- Les valeurs propres de A sont 0.5858, 2.0000 et 3.4142 elles sont positives donc A admet une décomposition de Cholesky donné par (voir formules dans le cours) :   

1547.18165.00

02247.17071.0

004142.1L 2- Procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt : 111aaq 2221122 2

,qqqaqaaq 33 322311333 ,,qqqaqaaqaaq 

Ce qui donne ),,(321 qqqQ

La matrice R est donné par AQRt 

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