Ce document constitue le premier Travaux Pratiques (TP1) d'Analyse numérique, destiné aux étudiants de l'Université Hassan II Casablanca, Faculté des Sciences et Techniques Mohammedia.
Il a pour objectif de familiariser les étudiants avec le logiciel Maple à travers des exercices pratiques. Les activités proposées permettent d'appliquer les concepts théoriques du cours et de maîtriser les fonctionnalités essentielles.
Le TP aborde notamment :
- Les calculs arithmétiques et symboliques
- Le calcul de sommes, limites, dérivées et intégrales
- L'étude de fonctions et leurs représentations graphiques
- Les développements de fonctions
Analyse numérique avec Maple : Premiers calculs (TP1)
Ce document présente une série d'exercices pratiques (TP1) conçus pour explorer les fonctionnalités de base du logiciel de calcul formel Maple en analyse numérique. Il couvre des opérations fondamentales telles que les calculs d'expressions, les sommes, les limites, la dérivation, l'intégration et la représentation graphique de fonctions.
Exercice 1 : Calcul d'expressions
Calculer les expressions suivantes, en simplifiant éventuellement le résultat à l'aide de la commande simplify (consulter l'aide de Maple pour plus de détails) :
- cos²(x) + sin²(x)
- 16 × 7
- 3 − 2√2
- 4 − 10 × 3
Explication : Pour entrer ces expressions dans Maple, utilisez des opérateurs standards et des fonctions intégrées. Par exemple, cos(x)^2 + sin(x)^2 ou 16*7. La commande simplify(expression) permet de réduire les expressions à leur forme la plus simple.
Exercice 2 : Valeur approchée de Pi
Donner une valeur approchée du nombre π avec 20 chiffres significatifs.
Explication : Maple peut calculer des valeurs numériques avec une précision arbitraire. La constante π est représentée par Pi. Pour obtenir une valeur numérique avec un nombre spécifique de chiffres significatifs, la commande evalf est utilisée : evalf(expression, nombre_de_chiffres).
Exercice 3 : Calcul de sommes
Calculer les sommes suivantes :
- ∑k=1n k²
- ∑k=1n (1/k²)
Explication : La commande sum de Maple permet de calculer des sommes. La syntaxe générale est sum(expression, indice=debut..fin). Par exemple, sum(k^2, k=1..n).
Exercice 4 : Calcul de limites
Calculer les limites suivantes :
- limn→∞ (en / n5)
- limn→∞ ((2n² − 5) / (7n² + 2n + 4))
- limn→∞ (n × ln(1 + 1/n))
Explication : Pour calculer des limites dans Maple, utilisez la commande limit. La syntaxe est limit(expression, variable=valeur_limite). Pour l'infini, utilisez infinity.
Exercice 5 : Étude de fonction
On cherche à étudier la fonction f(x) = tan(2x) / x.
- Déterminer à la main le domaine de définition de f que l'on notera Df.
- On restreint alors l'étude à Df ∩ [-π/2, π/2].
- En utilisant Maple, calculer les limites aux bornes de ce domaine.
- Tracer la courbe représentative de f pour x ∈ ]-π/2, π/2[.
Explication : La définition de fonction dans Maple se fait avec l'opérateur flèche (->) : f := x -> tan(2*x)/x;. La commande plot permet de tracer des fonctions : plot(f(x), x=a..b).
Exercice 6 : Approximation de Taylor
Soit f la fonction définie par f(x) = arctan(x) et on construit g comme l'approximation de Taylor d'ordre 3 de f autour de x=0 : g(x) = f(0) + f'(0)/1! x + f''(0)/2! x² + f'''(0)/3! x³.
- Écrire les commandes Maple qui permettent de définir f, puis g.
- Tracer dans un même graphique ces deux fonctions grâce à la commande plot([f,g], x=-3..3, y=-2..2).
Explication : Pour calculer les dérivées, utilisez diff(f(x), x) pour la première dérivée, diff(f(x), x, x) ou diff(f(x), x$2) pour la seconde, etc. Pour l'approximation de Taylor, la commande taylor(f(x), x=a, ordre) est très utile.
Exercice 7 : Fonctions et leurs dérivées
- Définir la fonction f(x) = exp(-x²).
- Calculer les 3 premières dérivées successives (f', f'', f''') de f au point x. (On les écrira sous forme factorisée).
- On pose pour n = 1, 2, 3 : hn(x) = exp(x²) × f(n)(x). Calculer h1, h2, h3. (On les écrira sous forme simplifiée).
- Calculer les racines des polynômes h1, h2, h3.
- Représenter graphiquement h1, h2, h3 dans un même repère pour x compris entre -2 et 2.
- Calculer l'intégrale de h3(x) − h2(x) sur l'intervalle [-1, 1].
Explication : Utilisez diff pour les dérivées, factor pour factoriser, simplify pour simplifier, solve pour trouver les racines, plot pour les graphiques, et int pour les intégrales. Par exemple, int(expression, x=a..b).
Foire Aux Questions (FAQ) sur Maple
- Comment définir une fonction dans Maple ?
- Vous pouvez définir une fonction en utilisant la syntaxe avec l'opérateur flèche (->), par exemple : f := x -> x^2 + 3*x;
- Quelle commande utiliser pour calculer une limite ou une dérivée ?
- Pour les limites, utilisez la commande limit(expression, variable=valeur). Pour les dérivées, utilisez diff(expression, variable) pour la première dérivée, ou diff(expression, variable$n) pour la n-ième dérivée.
- Comment tracer plusieurs fonctions sur un même graphique avec Maple ?
- Pour tracer plusieurs fonctions simultanément, utilisez la commande plot en fournissant une liste des fonctions entre crochets, par exemple : plot([f(x), g(x)], x=min..max).