Ce document de Travaux Pratiques (TP) est conçu pour les étudiants universitaires en Analyse Numérique. Il est spécifiquement dédié à l'étude et à l'application de l'interpolation polynomiale, une technique fondamentale pour approximer des fonctions à partir de points de données. L'objectif est de développer une compréhension pratique de ces méthodes essentielles.
Il couvre les notions suivantes :
- Les principes de l'interpolation de Lagrange.
- L'implémentation de l'algorithme d'interpolation de Newton.
- L'utilisation du logiciel Maple pour la résolution de problèmes et la visualisation graphique.
TP 3 : Interpolation Polynomiale en Analyse Numérique
Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, Département de Mathématiques
Ce document, issu d'un travail pratique (TP) du cours M148 d'Analyse Numérique à l'Université Hassan II de Casablanca, explore l'interpolation polynomiale à travers deux méthodes fondamentales : l'interpolation de Lagrange et l'interpolation de Newton. Ces techniques sont essentielles pour approximer des fonctions à partir d'un ensemble discret de points de données, une compétence cruciale dans de nombreux domaines scientifiques et d'ingénierie.
Exercice 1 : Interpolation de Lagrange
L'interpolation de Lagrange est une méthode d'interpolation polynomiale qui permet de construire un polynôme passant exactement par un ensemble de points donnés. Le polynôme de Lagrange de degré n-1, passant par n points (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ), est unique et peut être exprimé comme une somme de polynômes de base de Lagrange.
Les masses volumiques d'un matériau pour différentes températures sont données par le tableau ci-dessous :
| i | Température T (en degré C) | Masse volumique M(T) (en kg/m³) |
|---|---|---|
| 1 | 94 | 929 |
| 2 | 205 | 902 |
| 3 | 371 | 860 |
- Écrire la formule d'interpolation de Lagrange qui permet d'interpoler les différents points de données précédentes. Expliquez comment utiliser cette formule avec les valeurs du tableau.
- Écrire un programme avec Maple pour calculer la valeur du polynôme d'interpolation de Lagrange. Ce programme devrait prendre en entrée les points (T, M(T)) et une nouvelle température, puis retourner la masse volumique interpolée.
- Déduire les masses volumiques du sodium pour T = 251 °C, T = 305 °C et T = 800 °C en utilisant le polynôme d'interpolation obtenu. Analysez la validité des résultats, notamment pour T = 800 °C.
Exercice 2 : Interpolation de Newton
L'interpolation de Newton est une autre méthode efficace pour construire un polynôme d'interpolation. Elle utilise des différences divisées, ce qui rend l'ajout de nouveaux points de données plus simple que la méthode de Lagrange, car elle ne nécessite pas de recalculer le polynôme entier. Le polynôme de Newton est particulièrement utile lorsque l'on souhaite augmenter le degré du polynôme progressivement.
- Écrire un algorithme qui calcule p(z), le polynôme d'interpolation de Newton de la fonction sin(z) sur l'intervalle [0, π] en utilisant les points x(i) = i * π/10 pour i = 0, ..., 10. L'algorithme devrait détailler les étapes de calcul des différences divisées et la construction du polynôme.
- Traduire cet algorithme avec le langage de programmation Maple. Le code Maple doit implémenter l'algorithme des différences divisées et la construction du polynôme de Newton.
- Représenter graphiquement p(z) et la fonction sin(z) sur l'intervalle [0, 2π]. Comparez les deux courbes et commentez la précision de l'approximation du polynôme de Newton par rapport à la fonction originale, en particulier en dehors de l'intervalle d'interpolation [0, π].
Foire Aux Questions (FAQ) sur l'Interpolation Polynomiale
Qu'est-ce que l'interpolation polynomiale et à quoi sert-elle ?
L'interpolation polynomiale est une technique mathématique qui consiste à trouver un polynôme passant exactement par un ensemble donné de points de données. Son utilité principale est d'estimer des valeurs intermédiaires d'une fonction lorsque l'on ne connaît que quelques points discrets, ou de créer une approximation continue d'une fonction discrète. Elle est utilisée en sciences, ingénierie et économie pour la modélisation et la prédiction.
Quelle est la différence principale entre l'interpolation de Lagrange et celle de Newton ?
La principale différence réside dans leur formulation et leur flexibilité. Le polynôme de Lagrange est directement construit comme une somme de polynômes de base, ce qui est simple pour un nombre fixe de points. En revanche, le polynôme de Newton utilise des différences divisées, ce qui le rend plus efficace si l'on doit ajouter de nouveaux points de données, car les calculs précédents peuvent être réutilisés sans reconstruire le polynôme entièrement.
Quand doit-on utiliser l'interpolation polynomiale et quelles sont ses limites ?
L'interpolation polynomiale est utile lorsque l'on a des données discrètes et que l'on souhaite une estimation lisse entre ces points. Elle est efficace pour des ensembles de points modérés. Ses limites incluent le phénomène de Runge, où des oscillations importantes peuvent apparaître aux bords de l'intervalle pour des degrés élevés, et le fait qu'elle ne soit pas toujours la meilleure méthode pour l'extrapolation (estimation en dehors de l'intervalle des données initiales).