Exercices logique des prédicat 4 - intelligence artificielle

Intelligence Artificielle AI - Prolog : Exercices Logique des prédicat 4

Université Paris Diderot – Logique des Prédicats

1. Traduction en logique des prédicats

Traduire les phrases suivantes en logique des prédicats, en préservant autant de structure que possible, et en donnant chaque fois la légende.

(1)

a. Jean est plus beau que Pierre : B(j) ∧ ¬B(p) ∧ A(j,p)

b. Charles est beau, mais pas Elsa : B(c) ∧ ¬B(e)

c. Charles est ennuyeux ou agaçant : E(c) ∨ A(c)

d. Marion est une femme heureuse : F(m) ∧ H(m)

e. Jean et Pierre sont de bons amis : A(j,p)

f. Pierre est allé à Toulouse avec Charles sur le vélo neuf de Marie : V(p,t) ∧ A(c,p,t) ∧ N(v(m))

g. Si Pierre n’a pas eu la nouvelle par Elsa, il l’a eue par Charles : (¬N(p,e) → N(p,c))

h. Bien que Paul et Virginie s’aiment profondément, ils se rendent l’un l’autre très malheureux : A(p,v) ∧ M(p,v)

2. Traduction en logique des prédicats (suite)

a. Tout le monde aime Marion : ∀x A(x,m)

b. Certains politiciens sont honnêtes : ∃x (P(x) ∧ H(x))

c. Personne n’est un politicien et n’est pas ambitieux : ∀x (P(x) → A(x))

d. Il n’est pas vrai que tous les ambitieux sont honnêtes : ¬∀x (A(x) → H(x))

e. Tous les coiffeurs blonds sont intelligents : ∀x (C(x) ∧ B(x) → I(x))

f. Certains patrons entreprenants sont astigmates : ∃x (P(x) ∧ E(x) ∧ S(x))

g. Pierre est un auteur qui a vendu certains livres à succès : A(p) ∧ ∃x (V(p,x) ∧ S(x))

3. Analyse des formules en logique des prédicats

Pour chacune des formules suivantes, indiquer :

(a) le type de formule (négation, conjonction, disjonction, implication, formule universelle ou existentielle) ;

(b) la portée des quantificateurs ;

(i) (∃x A(x,y) ∧ B(x))

(ii) ∃x (A(x,y) ∧ B(x))

(iii) ∃x ∃y (A(x,y) → B(x))

(iv) ¬∃x ∃y (A(x,y) → B(x))

(v) ∀x ∀y ((A(x,y) ∧ B(y)) → ∃w C(x,w))

4. Présupposition et égalité

Représenter dans le même esprit que Russell les énoncés suivants :

(8)

a. Jean aussi est venu : V(j) ∧ ∃x (V(x) ∧ ¬x=j)

b. Le lion a réussi son ascension : L(l) ∧ R(l)

c. Seul le facteur est passé : ∀x (P(x) → F(x)) ∧ ∃x (P(x) ∧ F(x))

d. Paul s’est fait voler sa voiture : V(p,v) ∧ ¬P(p,v)

5. Donkey Sentences

Proposer deux traductions équivalentes en logique des prédicats pour chaque phrase, en tenant compte de l’équivalence entre ∀x(φ → ψ) et (∃xφ → ψ).

(9)

a. Paul se fâche dès que quelqu’un fait du bruit : ∀x (B(x) → F(p,x)) ou (∃x B(x) → F(p,x))

b. Tout le monde se fâche si quelqu’un fait du bruit : ∀x (B(x) → ∀y F(y,x)) ou (∃x B(x) → ∀y F(y,x))

c. Tous les touristes qui visitent Paris sont riches : ∀x (T(x) ∧ V(x,p) → R(x)) ou (∃x (T(x) ∧ V(x,p)) → ∀y (T(y) ∧ V(y,p) → R(y)))

d. Tous les touristes qui visitent Paris l’aiment : ∀x (T(x) ∧ V(x,p) → A(x,p)) ou (∃x (T(x) ∧ V(x,p)) → ∀y (T(y) ∧ V(y,p) → A(y,p)))

e. Tous les touristes qui visitent une ville sont riches : ∀x ∀v (T(x) ∧ V(x,v) → R(x)) ou (∃x ∃v (T(x) ∧ V(x,v)) → ∀y ∀w (T(y) ∧ V(y,w) → R(y)))

f. Tous les touristes qui visitent une ville l’aiment : ∀x ∀v (T(x) ∧ V(x,v) → A(x,v)) ou (∃x ∃v (T(x) ∧ V(x,v)) → ∀y ∀w (T(y) ∧ V(y,w) → A(y,w)))

g. Si un fermier possède un âne, il le bat : ∀x (F(x) ∧ P(x,a) → B(x,a)) ou (∃x (F(x) ∧ P(x,a)) → ∀y (F(y) ∧ P(y,a) → B(y,a)))

h. Tout le monde est marqué par un amour décu : ∀x ∃y M(x,y)

6. Modèles (M = ⟨U, I⟩)

Évaluer la valeur de vérité des formules suivantes dans le modèle donné :

U = {Alain, Béatrice, Christine, David}

I(a) = Alain, I(b) = Béatrice, I(c) = Christine, I(d) = David

I(H) = {Alain, David}, I(F) = {Christine, Béatrice}

I(A) = {{Alain, Christine}, {David, Béatrice}, {Alain, David}}

I(D) = {{Christine, David}, {Alain, Béatrice}, {David, Béatrice}, {Christine, Alain}}

a. D(d,b) → Vrai

b. H(d) ∧ D(c,d) → Faux

c. D(d,b) → F(a) → Faux

d. H(c) ∧ (H(a) → D(a,c)) → Vrai

Construire le modèle M′ = ⟨D, I′⟩

a. H(c) ∧ H(a)

b. ∀x (H(x) → A(x,c))

c. A(a,c) → D(c,a)

d. ∃x ∃y ((H(x) ∧ F(y) ∧ A(x,y)) ∨ (H(x) ∧ F(y) ∧ A(y,x)))

7. Syllogisme

(a) Traduire les phrases suivantes en logique des prédicats :

(10)

a. Tout ce que Jean n’a pas perdu, il l’a : ∀x (¬P(j,x) → A(j,x))

b. Jean n’a pas perdu un million de francs : ¬P(j,1m)

c. Jean a un million de francs : A(j,1m)

Analyse du syllogisme

Le syllogisme déduit de (10a) et (10b) la conclusion (10c) repose sur une erreur de raisonnement. La structure n’est pas valide car (10a) ne garantit pas que x soit un objet que Jean possède, mais seulement qu’il l’a si Jean ne l’a pas perdu. L’erreur provient de l’absence de quantification universelle sur x dans (10b).

FAQ

Qu’est-ce qu’une variable libre en logique des prédicats ?

Une variable libre est une variable qui n’est pas liée par un quantificateur (∀ ou ∃) dans une formule. Elle peut prendre n’importe quelle valeur du domaine d’interprétation.

Comment distinguer une implication d’une équivalence en logique des prédicats ?

Une implication (φ → ψ) signifie que si φ est vrai, alors ψ est vrai. Une équivalence (φ ↔ ψ) signifie que φ est vrai si et seulement si ψ est vrai.

À quoi servent les donkey sentences en logique des prédicats ?

Les donkey sentences illustrent les ambiguïtés liées à l’interprétation des quantificateurs dans des phrases naturelles. Elles montrent comment une quantification universelle peut être interprétée différemment selon le contexte.