Intelligence Artificielle AI - Prolog : Exercices de révision avec correction Logique des prédicat
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1. Traduction des énoncés en formules de logique des prédicats
Traduisez les énoncés suivants en formules de la logique des prédicats en précisant l’interprétation des prédicats utilisés (par exemple : A(x, y) = x aime y). En cas d’ambiguïté, proposez deux formules.
Exemples de traductions
a. Jean est plus grand que Marie
b. Paul a vu Léa et elle ne l’a pas vu
c. Si Jean est un homme, alors il est mortel
d. Un chat est entré
e. Certains enfants ne sont pas malades
f. Tous les éléphants ont une trompe
g. Tous les hommes n’aiment pas Marie
h. Il y a une chanson qu’aucun enfant ne chante
i. Si tous les hommes aiment Marie, alors elle est contente
j. Tous les fermiers apprécient un ministre
2. Traduction des propositions du carré d’opposition
Traduisez les quatre propositions suivantes en logique des prédicats, en proposant deux versions pour chaque cas (avec les quantificateurs universels et existentiels).
3. Traduction des énoncés complexes
Traduisez les propositions suivantes en logique des prédicats. En cas d’ambiguïté, donnez toutes les traductions possibles.
Exemples de traductions
a. Bien que personne ne fasse de bruit, Jean n’arrive pas à se concentrer
b. Si personne ne fait de bruit, Jean répondra au moins à une question
c. Tout le monde a menti à quelqu’un dans sa vie
d. Tous les étudiants, sauf Jean, sont présents
e. Aucun enfant ne fait jamais aucune bêtise
f. Tout le monde a lu un livre de logique
4. Traduction de phrases conditionnelles complexes
Traduisez les phrases suivantes en logique des prédicats.
Exemples de traductions
a. Quand quelqu’un fait confiance à quelqu’un qui a trompé tout le monde, il a tort
b. Il n’y a pas de grand champion qui n’ait causé de tort à personne
c. Il faut qu’une porte soit ouverte ou fermée
Solutions proposées
a. Jean est plus grand que Marie : G(j, m)
b. Paul a vu Léa et elle ne l’a pas vu : V(p, l) ∧ ¬V(l, p)
c. Si Jean est un homme, alors il est mortel : H(j) → M(j)
d. Un chat est entré : ∃x(C(x) ∧ E(x))
e. Certains enfants ne sont pas malades : ∃x(E(x) ∧ ¬M(x))
f. Tous les éléphants ont une trompe : ∀x(E(x) → T(x))
g. Tous les hommes n’aiment pas Marie : ∀x(H(x) → ¬A(x, m)) ou ¬∀x(H(x) → A(x, m))
h. Il y a une chanson qu’aucun enfant ne chante : ∃x∀y((C(x) ∧ E(y)) → ¬C(y, x)) ou ∃x¬∃y(C(x) ∧ E(y) ∧ C(y, x))
i. Si tous les hommes aiment Marie, alors elle est contente : (∀x(H(x) → A(x, m)) → C(m))
j. Tous les fermiers apprécient un ministre : ∀x∃y((F(x) ∧ M(y)) → A(x, y)) ou ∃y∀x((F(x) ∧ M(y)) → A(x, y))
Solutions pour le carré d’opposition
Tout H est M : ∀x(H(x) → M(x))
Un H est M : ∃x(H(x) ∧ M(x))
Un H n’est pas M : ∃x(H(x) ∧ ¬M(x))
Aucun H n’est M : ∀x(H(x) → ¬M(x)) ou ¬∃x(H(x) ∧ M(x)) ou ¬∀x(H(x) → ¬M(x))
Solutions pour les énoncés complexes
a. Bien que personne ne fasse de bruit, Jean n’arrive pas à se concentrer : (∀x(P(x) → ¬B(x)) ∧ ¬C(j))
b. Si personne ne fait de bruit, Jean répondra au moins à une question : (∀x(P(x) → ¬B(x)) → ∃y(Q(y) ∧ R(j, y)))
c. Tout le monde a menti à quelqu’un dans sa vie :
- À la même personne : ∃y∀x((P(x) ∧ P(y)) → M(x, y))
- Pour chaque personne, il y a quelqu’un à qui... : ∀x∃y((P(x) ∧ P(y)) → M(x, y))
d. Tous les étudiants, sauf Jean, sont présents :
- ∀x((E(x) ∧ x ≠ j) → P(x))
- Autre possibilité : (∀x(E(x) → P(x)) ∧ ¬P(j))
e. Aucun enfant ne fait jamais aucune bêtise :
- Tout enfant fait des bêtises : ∀x(E(x) → B(x)) ou ∀x(E(x) → ∃y(B(y) ∧ F(x, y)))
- Aucun enfant ne fait de bêtise : ∀x(E(x) → ¬B(x)) ou ∀x(E(x) → ¬∃y(B(y) ∧ F(x, y)))
f. Tout le monde a lu un livre de logique :
- Un livre a été lu par tout le monde : ∃x∀y((L(x) ∧ P(y)) → L(y, x))
- Tout le monde a lu un livre différent : ∀y∃x((L(x) ∧ P(y)) → L(y, x))
Solutions pour les phrases conditionnelles
a. Quand quelqu’un fait confiance à quelqu’un qui a trompé tout le monde, il a tort :
- ∀x((P(x) ∧ ∃y((P(y) ∧ ∀z(P(z) → T(y, z)) ∧ C(x, y)))) → T(x))
b. Il n’y a pas de grand champion qui n’ait causé de tort à personne :
- ¬∃x(GC(x) ∧ ¬∃y(P(y) ∧ CT(x, y)))
- ¬∃x(GC(x) ∧ ∀y(P(y) → ¬CT(x, y)))
c. Il faut qu’une porte soit ouverte ou fermée : ∀x(P(x) → (O(x) ∨ F(x)))
FAQ
Qu’est-ce qu’un prédicat en logique des prédicats ?
Un prédicat est une expression qui associe une propriété ou une relation à des variables. Par exemple, A(x, y) signifie "x aime y".
Comment traduire "aucun" en logique des prédicats ?
La traduction de "aucun" dépend du contexte. En général, "aucun X n’est Y" se traduit par ∀x(X(x) → ¬Y(x)).
Que faire en cas d’ambiguïté dans une phrase ?
Proposez plusieurs traductions possibles selon les interprétations. Par exemple, "tout le monde a menti à quelqu’un" peut être compris comme une personne unique ou des personnes différentes.