Chapitre 10 mécanique des fluides.pdf - mécanique des fluide

Mécanique des Fluides : Chapitre 10 mécanique des fluides.pdf

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Chapitre 10 : Mécanique des fluides

1. Pression hydrostatique

• Les fluides regroupent gaz et liquides.

• En général, on considère des fluides incompressibles. Ce n’est plus le cas en thermodynamique.

• Un objet immergé subit une pression de toutes parts. • Par définition :

• Unité : Pascal (Pa)p= !F.!n A= FA force normale !

• Exemples :

- punaise

p=1.013 105 Pa = 1013 hPa = 1 atmp=0Pa - vide : - pression atmosphérique : force = poids de l’air

paire action-réaction

pression différentes! F− !F p1 p2 p1 !=p2 • Fakir :

2. Effet de la profondeur

• Colonne de fluide incompressible en équilibre :pA p0 Amg Newton selon la verticale :V=Ah p0 A+mg=pAp 0

A+ρgV=pAp 0+ρgh=p La pression ne dépend que de la profondeur.A BCD pA =pB =pC =pD • Loi de Pascal : toute pression supplémentaire se transmet à tout le fluide.p=p 0+ρgh • Vérins hydrauliques :h p0 pp 1p 2F 1F 2p 1= F1 A1 =F 2A 2=p 2

• Estimer l’épaisseur de l’atmosphère

si colonne d’air homogène :h= p0 ρgh= 105 1.25 10≈8km 3. Mesurer la pression

• Manomètre :• Baromètre :

expérience de Torricelli hauteur = différence de pressions

une pression étalon !vide hh hh ph =pl +ρghp0 =ρgh

• Expérience de Torricelli

• Anciennes unités :h=760mm 1 atm = 760 mm de Hg

1 hPa = 1 mb

1torr=1/760 atm

4. Principe d’Archimède - Flottabilité

cube de fluide en équilibrem!g !B il doit exister une force B qui équilibre mgp gp dp hp bp g=p dp b=p h+ρgh cette force B provient du fluide environnant

si cube de métal, les forces sont différentesB=(p b−p h

)A=ρghA=ρgV

(force dirigée vers le haut)

(pas de force latérale)B=ρgV B = poussée d’Archimède = poids du fluide déplacé par l’objet

• Origine :

• Coule ou flotte ?

• En surface :

boismétal

flottecoule

mg−B=(ρ−ρf )gV

ρ>ρf ρ<ρf bilan des forces :! B! Bm!g m!g! Bm!g mg−B=0ρgV tot−ρ fgV im=0 ρρ f= Vim Vtot volume total = volume immergé + volume émergé

• Iceberg :ρ eau

=1000kg/m3 ρglace =917kg/m3 Vi Vtot =0.917

• Bateaux :

• Problème du glaçon qui fond :∆h? avantaprès

Le niveau d’eau ne varie pas !

• Application : fonte des glaces aux pôles.

5. Dynamique des fluides

• Fluide idéal :

• Types d’écoulement :

- écoulement laminaire : vitesse stationnaire en un point

- non-visqueux : pas de perte d’énergie

- incompressible : densité unique

- irrotationnel : pas de tourbillon

- laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps. On peut définir des lignes de courant.

- turbulent : la vitesse en chaque point de l’écoulement varie au cours du temps. 6. Equation de continuité

• Pipe-line :

fluide incompressible : ∆x1 =v1 ∆t∆x 2=v 2∆t m1 =ρA∆x1 m2 =ρA∆x2 m1 =m2 A1 v1 =A2 v2 v1 v2 tranches de fluide :∆x 2∆x 1

• Débit : Av=Q

L’équation de continuité est donc une équation de conservation du débit.

• Exemples :

- bouchons

- seringues

la vitesse augmente dans le rétrécissement !v pv sv sv p

≈100−1000

section piston > section aiguille

• Filet du robinet :

Les particules d’eau sont en chute libre :v=v 0+gt 7. Equation de Bernoulliv 1v 2∆x 2∆x 1

• Tranches :z 1z 2

travail :W 1=p 1A 1∆x 1=p 1V W2 =−p2 A2 ∆x2 =−p2 VW 1+W 2=(p 1−p 2)V ∆K=1 2mv 22 −1 2mv 21 ∆U=mgz2 −mgz1 W=∆U+∆K(p 1−p 2)V= 12 ρVv2 2− 12 ρVv2 1+ρVgz 2−ρVgz 1p+ 12 ρv2 +ρgz=C

énergie cinétique :

énergie potentielle : • Loi de Torricelli :v=0 vρgh= 12 ρv2 v=√ 2gh

c’est une simple chute libre !

Bernoulli : • Adhésion :

flux d’air

• Effet Venturi

Bernoulli simplifié :∆p=− 12 ρ∆v2 • Expérience : balle de ping-pong :

Une dépression se crée là où le fluide s’écoule rapidement.

• Portance des ailes d’avions :! Fv hv hv bv bv b≈v hv b

<vh pb >ph • Tempêtes et toitures :vent !F • Tube de Venturi :

• Application : approcher le vide

• Autre application : sprays10 −2atm v1 v1 v2 p2 p1 p1 p1 >p2 v1 <v2 aspiration

8. Viscosité

• Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide de surface S glissent les unes sur les autres : force de frottement entre les couches.v v=0

gradient de vitesse∆ z∆v ∆z

frottement : Ff =ηS∆v ∆z[Pas] • Unités de la viscosité :

Les frottements visqueux impliquent une dissipation d’énergie.fluide aireau huilemiel- verre fondu-η[Pas] ρ[kg/m3 ]210 −510 −310 310 120.08 1.251000 900

• Valeurs typiques de la viscosité :Q= π8 ∆pη d4 L

• Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique

profil de vitesse paraboliqued L

• Frottement visqueux :

Un objet sphérique placé dans un fluide en écoulement laminaire subit une force.F=6πηRv loi de Stokes

• Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite

• Turbulence : les tourbillons produisent une chute de pression

force de frottement supplémentaire :F=C ρ2 Av2 • Nombre de Reynolds : rapport des forces de frottement turbulence/laminaireRe= ρvdη C est le coefficient de résistance qui varie de 0.05 à 1.3

- écoulement laminaire si

- écoulement turbulent si

Re>1

Re<1

• Ronds de fumée :

Etna, Sicile.

enroulement !

• Autres anneaux : dans l’eau !

dauphins

PMMH, ESPCI, Paris.

9. Tension superficielle

• Définition :! F

F=2γ"

• Origine à l’échelle moléculaire : déficit en énergie de cohésionγ≈ U2a 2

force par unité de longueur

énergie par unité de surfacea • Valeurs typiques : l’eau a une tension superficielle élevée !liquid huile0,021

eau + savon0,030

glycérol0,063

eau0,072

mercure0,500γ[N/m] • Forme idéale des fluides : sphère

A volume équivalent, la sphère minimise la...

l’ajout de savon diminue

• Instabilité de Plateau-Rayleigh : λ

cylindregouttes V0 =πR2 L=n4 3πr 3=V nS nS 0= n4πr2 2πRL

r>3 2R instabilitéR r

Un cylindre de liquide se décompose spontanément pour former des goutelettes. condition de Plateau

• Expérience du bateau :!γ!γ !γ!γeau eau

eau+savon! F

Objet au repos

Déplacement de l’objet

La tension superficielle peut induire des mouvements. • Objets en surface : punaise

• Insectes surfeurs :

vue du dessus

vue du dessous

gerris remigis

• Loi de Laplace : ∆p=2γ R

• Bulle de savon : deux interfaces :∆p= 4γR forces capillaires = forces de pression∆p=γ (1 R+ 1R ′) =γC

• Loi de Laplace généralisée : courbure

caténoïde : surface à courbure nulle

• Adhésion capillaire : chateaux de sable • Angle de contact : quelle que soit la taille de la goutteθ forme sphériqueflaquesolide liquideair !γ

jonction triple : air, liquide, solide

mouillant :

non-mouillant :

θ<90◦ θ>90◦ interaction faible solide/liquide

interaction forte solide /liquide

• Contact liquide/solide :

• Surfaces superhydrophobes : l’eau “glisse” sur ces surfaces

- vêtements imperméables

- pare-brises des voitures

- etc...

• Exemples typiques :

systèmeangle de contact

eau/verre15

eau/parafine115

mercure/verre140

• Montée capillaire :

2πRγcosθ=f=ρgV=ρgπR2 hh= 2γcosθρgR Loi de Jurin

force capillaire = poids de la colonne de liquide

• Remarque : Pour un liquide non-mouillant, le liquide descend dans le tube !!γ !γm!g θθ h