Mécanique des Fluides : Chapitre 10 mécanique des fluides.pdf
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1. Pression hydrostatique
Les fluides regroupent gaz et liquides.
En général, on considère des fluides incompressibles. Ce n’est plus le cas en thermodynamique.
Un objet immergé subit une pression de toutes parts.
Par définition, la pression hydrostatique est donnée par :
p = F / A = pression normale (force par unité de surface).
Exemples de pressions :
- Pression atmosphérique : 1,013 × 105 Pa = 1013 hPa = 1 atm.
- Vide : p = 0 Pa.
- Poids de l’air : pression atmosphérique.
Loi des actions-réactions : les forces de pression sont équilibrées.
Si les pressions sont différentes, une force nette apparaît : F = F1 - F2.
Exemple : un fakir en équilibre sous des pressions différentes.
2. Effet de la profondeur
Dans une colonne de fluide incompressible en équilibre, la pression augmente avec la profondeur.
Équation selon la verticale : pA = p0 + ρgh.
La pression ne dépend que de la profondeur (pA = pB = pC = pD).
Loi de Pascal : toute pression supplémentaire appliquée à un fluide se transmet intégralement dans tout le fluide.
p = p0 + ρgh.
Application : vérins hydrauliques, où p1 = p2 et F1/A1 = F2/A2.
Estimation de l’épaisseur de l’atmosphère : si la colonne d’air est homogène, h ≈ p0/ρg ≈ 8 km.
3. Mesurer la pression
Manomètre : mesure la différence de pression entre deux points.
Baromètre : mesure la pression atmosphérique.
Expérience de Torricelli : la hauteur de la colonne de mercure équilibre la pression atmosphérique (p0 = ρgh).
Anciennes unités de pression :
- 1 atm = 760 mm de mercure (Hg).
- 1 hPa = 1 mb.
- 1 torr = 1/760 atm.
4. Principe d’Archimède - Flottabilité
Un cube de fluide en équilibre subit une force dirigée vers le haut (poussée d’Archimède) équilibrant son poids.
La poussée d’Archimède est égale au poids du fluide déplacé par l’objet : B = ρfgV.
Pour un objet flottant ou coulant, le bilan des forces est :
- Si ρobjet > ρfluide, l’objet coule.
- Si ρobjet < ρfluide, l’objet flotte.
- En surface, l’équilibre dépend de la densité relative : ρobjet/ρfluide.
Exemple d’iceberg : ρeau = 1000 kg/m3, ρglace = 917 kg/m3, Vimmergé/Vtotal ≈ 0,917.
Problème du glaçon qui fond : le niveau d’eau ne varie pas, car le volume de glace immergé est remplacé par le volume d’eau équivalent.
Application : fonte des glaces aux pôles n’affecte pas le niveau des mers.
5. Dynamique des fluides
Un fluide idéal est défini par :
- Écoulement laminaire : vitesse constante en chaque point.
- Non visqueux : pas de perte d’énergie par frottement.
- Incompressible : densité uniforme.
- Irrotationnel : pas de tourbillon.
Types d’écoulement :
- Laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps.
- Turbulent : la vitesse en chaque point varie aléatoirement.
6. Équation de continuité
Pour un fluide incompressible, le débit volumique est constant : A1v1 = A2v2.
Exemples :
- Bouchons ou seringues : la vitesse augmente dans les sections rétrécies.
- Filet du robinet : les particules d’eau sont en chute libre (v = v0 + gt).
7. Équation de Bernoulli
L’équation de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie dans un fluide :
p1 + ½ρv12 + ρgz1 = p2 + ½ρv22 + ρgz2.
Loi de Torricelli : v = √(2gh), correspondant à une chute libre.
Application : adhésion des objets sous un flux d’air (exemple : balle de ping-pong).
Effet Venturi : une dépression se crée là où le fluide s’écoule rapidement.
Portance des ailes d’avions : différence de pression due à la vitesse du flux d’air (vhaut > vbas).
Tempêtes et toitures : la force du vent peut soulever des objets légers.
Tube de Venturi : utilisé pour mesurer le débit ou créer une aspiration.
8. Viscosité
Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide glissent les unes sur les autres avec une force de frottement.
Gradient de vitesse : ∆v/∆z.
Frottement visqueux : Ff = ηS(∆v/∆z), où η est la viscosité dynamique (unité : Pascal-seconde [Pa·s]).
Valeurs typiques de la viscosité (η en Pa·s) :
- Air : 1,8 × 10-5.
- Eau : 1 × 10-3.
- Huile : 1 × 10-1.
- Miel : 10.
- Verre fondu : 1012.
Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique (Q = πΔp d4 / (128 η L)).
Frottement visqueux sur une sphère : F = 6πηRv (loi de Stokes).
Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite atteinte lorsque la force de frottement équilibre le poids.
Turbulence : les tourbillons augmentent la résistance et provoquent une chute de pression.
Nombre de Reynolds (Re) : rapport des forces d’inertie à la viscosité.
- Écoulement laminaire si Re < 1.
- Écoulement turbulent si Re > 1.
Exemples : ronds de fumée (Etna, Sicile) ou anneaux dans l’eau (dauphins).
9. Tension superficielle
Définition : force par unité de longueur (γ) agissant à l’interface d’un fluide.
Origine moléculaire : déficit d’énergie de cohésion aux interfaces.
Valeurs typiques de la tension superficielle (γ en N/m) :
- Huile : 0,021.
- Eau + savon : 0,030.
- Glycérol : 0,063.
- Eau : 0,072.
- Mercure : 0,500.
Forme idéale des fluides : sphère (minimisation de la surface).
Instabilité de Plateau-Rayleigh : un cylindre de liquide se décompose en gouttes si r > 1,5R.
Loi de Laplace : différence de pression à travers une interface courbe (Δp = 2γ/R).
Bulle de savon : deux interfaces, donc Δp = 4γ/R.
Adhésion capillaire : montée ou descente d’un liquide dans un tube fin (loi de Jurin : h = 2γcosθ/ρgR).
Angle de contact :
- Mouillant (θ < 90°) : interaction forte solide/liquide.
- Non-mouillant (θ > 90°) : interaction faible solide/liquide.
Exemples :
- Eau/verre : angle de contact ≈ 15°.
- Eau/parafine : angle de contact ≈ 115°.
- Mercure/verre : angle de contact ≈ 140°.
Surfaces superhydrophobes : l’eau glisse sans adhérer (exemples : vêtements imperméables, pare-brises).
FAQ
- Qu’est-ce qu’un fluide incompressible ?
- Un fluide incompressible est celui dont la densité ne varie pas avec la pression ou la température, comme l’eau dans des conditions normales.
- Comment expliquer la poussée d’Archimède ?
- La poussée d’Archimède est due au poids du fluide déplacé par un objet immergé, équilibrant partiellement ou totalement son propre poids.
- Quelle est la différence entre écoulement laminaire et turbulent ?
- Un écoulement laminaire a une vitesse constante en chaque point, tandis qu’un écoulement turbulent présente des variations aléatoires de vitesse.