Mécanique des Fluides : Examen de mecanique des fluides
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Mécanique des Fluides - Phys-A311
Université Paris-Sud
Année universitaire 2015-2016
Examen de Mécanique des fluides
Mardi 5 janvier 2016, durée 3h
I. Évolution d’un jet d’eau sous l’action de la pesanteur
On étudie un jet d’eau s’écoulant à l’air libre sous l’effet de la gravité. Le robinet, de rayon a, laisse couler de l’eau de masse volumique ρ à la pression atmosphérique p₀. Le jet est orienté vers le bas et accélère sous l’effet de la pesanteur. On suppose que l’eau est un fluide parfait, en écoulement stationnaire et incompressible, et que la vitesse du jet dépend uniquement de la hauteur z selon la loi U(z).
(a) Déterminer la loi d’évolution du rapport des vitesses U(z)/U₀ en fonction de la coordonnée z par application du théorème de Bernoulli.
Le théorème de Bernoulli pour un écoulement stationnaire, incompressible et sans viscosité s’écrit : p + ½ρU² + ρgz = constante. En appliquant ce théorème entre la sortie du robinet (z = 0, U = U₀, p = p₀) et un point à la hauteur z (U = U(z), on obtient : p₀ + ½ρU₀² = ½ρU(z)² + ρgz. La pression atmosphérique p₀ étant la même en haut et en bas du jet, on simplifie : ½ρU₀² = ½ρU(z)² + ρgz. En divisant par ½ρ, on obtient : U₀² = U(z)² + 2gz. Finalement, le rapport des vitesses s’exprime par : U(z)/U₀ = √(1 + 2gz/U₀²).
(b) En déduire la loi d’évolution du rapport des rayons r(z)/a. Commenter vos résultats.
En régime stationnaire et incompressible, le débit volumique Q est constant. Le débit s’écrit Q = A(z)U(z) = πr(z)²U(z). À la sortie du robinet, Q = πa²U₀. Ainsi : πr(z)²U(z) = πa²U₀. En simplifiant par π, on obtient : r(z)²U(z) = a²U₀. En utilisant le résultat de la question (a), on exprime r(z)/a par : r(z)/a = 1/√(1 + 2gz/U₀²). Le rayon du jet diminue avec la hauteur z car la vitesse augmente sous l’effet de la gravité.
II. Le paradoxe de Stevin
On considère deux récipients de même volume V et de même hauteur h. Le premier est un cylindre de rayon R, tandis que le second a une forme de tronc de cône avec des rayons R₁ et R₂ tels que R₁ < R < R₂. La génératrice forme un angle α avec la verticale.
(a) Rappeler la loi de l’hydrostatique et déterminer la pression de l’eau à une profondeur h.
La loi de l’hydrostatique s’écrit : p = p₀ + ρgh, où p₀ est la pression atmosphérique, ρ la masse volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur et h la profondeur.
(b) Exprimer les forces de pression résultantes que subissent les parois du fond de ces deux récipients.
La force de pression résultante sur le fond d’un récipient s’écrit : F = pS = (p₀ + ρgh)S, où S est l’aire de la paroi du fond. Pour le cylindre, S = πR² ; pour le tronc de cône, S = π(R₁² + R₂² + R₁R₂).
(c) Si on place ces deux verres sur une balance, mesurera-t-elle la même masse d’eau dans les deux cas ? Justifier votre réponse.
Oui, la balance mesurera la même masse d’eau dans les deux récipients. La force de pression résultante sur le fond correspond au poids de l’eau contenue, selon le principe d’Archimède.
(a) Soit dS un élément de surface de la paroi latérale du récipient. Représenter sur un schéma le vecteur dS. Projeter cet élément de surface dS dans la base (e_r, e_z) du système de coordonnées cylindriques.
Le vecteur dS est normal à la surface latérale. En coordonnées cylindriques, sa projection s’écrit : dS = dS_r e_r + dS_z e_z, où dS_r = r(z)dz cos(α) et dS_z = r(z)dθ sin(α).
(b) L’élément de surface de la paroi latérale du verre en forme de tronc de cône est donné par dS = r(z)dθdz, où r(z) = R₂ - z tan(α) et dz = cos(α). Exprimer la composante verticale des forces de pression sur la surface latérale du verre.
La composante verticale de la force de pression sur la paroi latérale est donnée par : F_z = ∫ p dS_z = ∫ (p₀ + ρgh) r(z)dθdz, où dS_z = r(z)dθ cos(α).
(c) Exprimer la composante verticale des forces de pression que subit la surface totale du verre en forme de tronc de cône. Correspond-elle au poids du volume d’eau contenu dans le verre ?
La composante verticale totale des forces de pression est la somme des forces sur le fond et la paroi latérale : F_z_total = (p₀ + ρgh)π(R₂² - R₁²) + ∫ (p₀ + ρgh) r(z)dθdz. Oui, elle correspond au poids du volume d’eau contenu dans le verre, car la pression hydrostatique équilibre la force gravitationnelle.
III. Turbine dans une conduite
On étudie l’écoulement d’un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique μ dans une conduite de section rectangulaire, de longueur L, de largeur 2a et de profondeur ℓ (normale au plan de la figure selon Oz). Le vecteur vitesse est donné par v = v(y) e_x, et l’écoulement est assuré par un gradient de pression longitudinal constant dp/dx = G.
(a) Écrire l’équation de Navier-Stokes et la projeter dans les directions Ox et Oy. En déduire que la pression est constante selon la largeur de la conduite.
L’équation de Navier-Stokes en régime permanent et incompressible s’écrit : ρ(v·∇)v = -∇p + μ∇²v. En projetant sur Ox et Oy, on obtient : ρv_x ∂v_x/∂x = -∂p/∂x + μ∂²v_x/∂y², ρv_x ∂v_x/∂y = -∂p/∂y. Pour un écoulement bidimensionnel, ∂p/∂y = 0, donc la pression ne dépend pas de y.
(b) Déterminer l’expression du champ de vitesse v(y) en fonction du gradient de pression G à l’aide des conditions aux limites. En déduire l’expression de la vitesse maximale v_M. Quel est le signe du gradient de pression G si l’écoulement va du point A au point B ?
Le champ de vitesse est donné par : v(y) = (G/2μ)(a² - y²). La vitesse maximale v_M est atteinte en y = 0 : v_M = Ga²/2μ. Le gradient de pression G est négatif, car l’écoulement va de A à B (pression décroissante).
(c) Déterminer le débit volumique Q de cet écoulement. En déduire la vitesse moyenne v_s sur une section de conduite. Quelle est la relation qui relie v_s à v_M ?
Le débit volumique est donné par : Q = ∫ v(y) dy = (2/3)Ga³. La vitesse moyenne v_s est : v_s = Q/(2aℓ) = Ga²/3μ. La relation entre v_s et v_M est : v_s = (2/3)v_M.
(d) Déterminer le coefficient de pertes de charge Δp par application du théorème de Bernoulli sur toute la longueur de la canalisation entre les points A et B.
Le théorème de Bernoulli donne : p_A - p_B = ½ρ(v_M² - v_s²) + Δp. En utilisant la loi de Poiseuille, on obtient : Δp = 3μLv_M/a².
(a) Exprimer les pressions aux points A′ et B′ en tenant compte des pertes de charge Δp et de la loi de Poiseuille.
Les pressions aux points A′ et B′ sont données par : p_A′ = p_A - ½Δp, p_B′ = p_B + ½Δp.
(b) Comparer p_A′ et p_B′ en tenant compte du signe de P. Tracer l’évolution de la pression en fonction de x sur toute la longueur L de la conduite.
Si P < 0, la turbine absorbe de l’énergie, donc p_A′ > p_B′. La pression décroît linéairement de A à A′, puis chute entre A′ et B′, avant de remonter de B′ à B.
(c) Exprimer la différence de pression p_A - p_B entre l’entrée et la sortie de la conduite. En déduire que le débit avec turbine Q_AT est inférieur au débit sans turbine Q_ST.
La différence de pression est donnée par : p_A - p_B = Δp + P. Comme P < 0, Q_AT < Q_ST.
IV. Loi d’échelle pour les animaux volants
Certains oiseaux ou insectes parviennent à rester immobiles dans l’air en battant des ailes à une fréquence f suffisante pour compenser leur poids. On cherche à caractériser la loi d’échelle reliant la fréquence de battement des ailes à l’envergure de l’animal.
(a) Appliquer le théorème de Bernoulli sur une ligne de courant entre les sections S₁ et S_A, ainsi qu’entre les sections S₂ et S_B.
Entre S₁ et S_A : p₀ + ½ρU₁² = p_A + ½ρU₀². Entre S₂ et S_B : p₀ + ½ρU₂² = p_B + ½ρU₀².
(b) Exprimer l’écart de pression p_B - p_A en fonction de U₂. En déduire l’expression de la force de pression F_p exercée par l’air sur l’animal. Quelle est la direction de F_p ?
L’écart de pression est donné par : p_B - p_A = ½ρ(U₂² - U₁²). Comme U₁ ≈ 0, on obtient : p_B - p_A = ½ρU₂². La force de pression F_p s’écrit : F_p = (p_B - p_A)S₀ = ½ρS₀U₂². Elle est orientée vers le haut.
FAQ
1. Comment appliquer le théorème de Bernoulli à un jet d’eau ?
Le théorème de Bernoulli s’applique en considérant la conservation de l’énergie entre deux points du jet. On néglige les pertes de charge et on exprime la pression, la vitesse et la hauteur.
2. Pourquoi la force de pression sur le fond d’un récipient correspond-elle au poids de l’eau ?
La force de pression sur le fond est due à la pression hydrostatique, qui équilibre exactement la force gravitationnelle exercée sur le volume d’eau contenu.
3. Comment expliquer que le débit avec turbine est inférieur à celui sans turbine ?
La turbine absorbe de l’énergie mécanique du fluide, ce qui réduit sa vitesse et donc le débit volumique, tout en maintenant une différence de pression constante.