Mécanique des Fluides : Examen de mecanique des fluides
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ecanique
M ́
ecanique des Fluides - Phys-A311
Universit ́
e Paris-Sud
Ann ́
ee universitaire 2015-2016
Examen de M ́
ecanique des fluides
Mardi 5 janvier 2016, dur ́
ee 3h
I. ́
Evolution d’un jet d’eau sous l’action de la pesanteur
On propose dans ce probl` eme d’ ́
etudier une situation que l’on exp ́
erimente quotidiennement : quelle est la loi
d’ ́
evolution d’un jet d’eau lorsque l’on ouvre un robinet ?▽▽
On consid` ere un robinet de rayonaqui laisse couler de l’eau, de masse volumique,` a l’air libre` a la pression
atmosph ́eriquep 0
. Le jet qui en r ́
esulte est orient ́
e vers le bas et acc ́el `
ere sous l’effet de la pesanteur. On suppose
que l’eau est un fluide parfait en ́
ecoulement stationnaire incompressible et que la vitesse du jet est ind ́
ependante
du rayon et est d ́
ecrite parU(z). Nous souhaitons d ́
eterminer la loi d’ ́
evolution du rayonr(z)du jet et sa vitesse
U(z)avec la distance` a l’orifice. On oriente l’axeOzvers le haut et l’origine des axes est pris` a la sortie de
l’orifice.z ga p0 p0 U0 U(z)A Br(z) 1.On souhaite d ́
eterminer les lois d’ ́
evolution d’un jet d’eau` a l’air libre sous l’action de la pesanteur.
(a)D ́
eterminer la loi d’ ́
evolution du rapport des vitessesU(z)=U0 en fonction de la coordonn ́eezpar application du th ́eor `
eme de Bernoulli.
(b)En d ́
eduire la loi d’ ́
evolution du rapport des rayonsr(z)=a. Commenter vos r ́
esultats.
2.On souhaite retrouver ces r ́
esultats` a partir de l’ ́
equation de Navier-Stokes. On utilise le syst` eme de
coordonn ́
ees cart ́
esiennes.
(a)Rappeler l’expression de l’ ́
equation de Navier-Stokes sous forme vectorielle et pr ́
eciser la significa-
tion de chacun de ses termes.
(b)Projeter l’ ́
equation de Navier-Stokes dans la direction du mouvement. Justifier quels sont les termes
qui disparaissent.1 Licences L3 de Physique et Applications et de M ́
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(c)Int ́
egrer cette ́
equation diff ́
erentielle et montrer que vous retrouvez bien la mˆ eme loi d’ ́
evolution
pour le rapport des vitesses qu’` a la question 1a. Pour vous aider` a int ́
egrer, rappeler quelle est la
d ́
eriv ́
ee def2 (x)par rapport` axo` uf(x)est une fonction quelconque dex.
II. Le paradoxe de Stevin
On consid` ere deux r ́
ecipients (disons deux verres) de mˆ eme contenanceVet de mˆ eme hauteurh. Le premier
est un cylindre de rayonR, tandis que le deuxi` eme a une forme de tronc de cˆ one de rayonsR1 etR2 comme
sch ́
ematis ́
e sur la figure ci-dessous et tel queR1 <R<R2 . La g ́
en ́
eratrice forme un angle avec la verticale.
On remplit ces deux r ́
ecipients d’eau, de masse volumique,` a ras bord. Les parois du fond de ces deux verresest `
a l’air libre.h RR 2R 1p 0p 0α r(z)e ze r0 g
1.On souhaite exprimer la r ́
esultante des forces de pression (de l’ensemble eau + air) qui s’exerce sur la
paroi du fond des deux r ́
ecipients.
(a)Rappeler la loi de l’hydrostatique et d ́
eterminer la pression de l’eau` a une profondeurh.
(b)Exprimer les forces de pression r ́
esultantes que subissent les parois du fond de ces deux r ́
ecipients.
Ces forces de pression correspondent-elles au poids de l’eau contenue dans chacun des deux r ́
ecipients ?
(c)Si on place ces deux verres sur une balance. La balance mesurera-t-elle la mˆ eme masse d’eau dans
les deux cas ? Justifier votre r ́eponse. 2.On cherche maintenant` a exprimer la composante verticale des forces de pression (de l’ensemble eau +
air) qui s’exercent sur la paroi lat ́
erale du verre en forme de tronc de cˆ one.
(a)SoitdSun ́
el ́
ement de surface de la surface lat ́
erale du r ́
ecipient. Repr ́
esenter sur un sch ́
ema levecteur �!
dS. Projeter cet ́
el ́
ement de surface�! dS, sans chercher` a exprimer la normedS, dans la base( �!e r, �!e z
) du syst` eme de coordonn ́
ees cylindriques.
(b)L’ ́
el ́
ement de surface de la surface lat ́
erale du verre en forme de tronc de cˆ one est donn ́
e par
dS=r(z)ddu, o` u le rayon estr(z)=R2 �ztan et o` u l’on a pos ́
edu=dz=cos .
Exprimer la composante verticale des forces de pression sur la surface lat ́
erale du verre.
3.Exprimer la composante verticale des forces de pression que subie la surface totale du verre en forme
de tronc de cˆ one. Correspond-elle au poids du volume d’eau contenu dans le verre ? On rappelle que
htan =R2 �R1 et le volume d’un tronc de cˆ one est donn ́
e par la formuleV=h 3( R2 1+R 22 +R1 R2 ). 2
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III. Turbine dans une conduite
On consid` ere l’ ́
ecoulement d’un fluide, de masse volumiqueet de viscosit ́
e dynamique, dans une conduite
de section rectangulaire, de longueurL, de largeur2aet de profondeurℓ(normale au plan de la figure selon
Oz) tr` es grande devant sa largeur, de sorte que l’ ́
ecoulement puisseˆ etre consid ́
er ́
e comme bidimensionnel. Le
vecteur vitesse est donn ́
e par�! v=v(y)�! ex . L’ ́
ecoulement est assur ́
e par un gradient de pression longitudi-
nal constantdp=dx=G. Le fluide incompressible s’ ́
ecoule en r ́
egime permanent. On n ́
eglige le rˆ ole de la
pesanteur.L 0x a-a L/2L/2 A’B’B a) b) yA 0x a-a By A
1.On ́
etudie l’ ́
ecoulement dans la conduite en l’absence de turbine dans un premier temps (voir figure a).
(a) ́
Ecrire l’ ́
equation de Navier-Stokes et la projeter dans les directionsOxetOy. En d ́
eduire que la
pression est constante selon la largeur de la conduite2a.
(b)D ́
eterminer l’expression du champ de vitessev(y)en fonction du gradient de pressionG` a l’aide
des conditions aux limites. En d ́
eduire l’expression de la vitesse maximalevM . Quel est le signe du
gradient de pressionGsi l’ ́
ecoulement va du pointAau pointB?
(c)D ́
eterminer le d ́
ebit volumiqueQde cet ́
ecoulement. En d ́
eduire la vitesse moyennevsur une section
de conduite. Quelle est la relation qui reliev `av M? (d)D ́
eterminer le coefficient de pertes de charge∆ppar application du th ́eor `
eme de Bernoulli sur toute
la longueur de la canalisation entre les pointsAetB.
On rappelle la loi de PoiseuilleQ= 2∆pℓa3 3L: En d ́
eduire l’expression du d ́
ebit volumique de l’ ́
ecoulement dans la conduite en l’absence de turbineQ ST
. Comparer son expression au d ́
ebit de la question 1c.
2.On d ́ecide `
a pr ́
esent de placer une turbine (voir figure b) au centre de la conduite (entre les pointsA′ etB′ ) dont on n ́
egligera l’ ́
epaisseur. La diff ́
erence de presion entre les pointsAetBest maintenue
constante par rapport au cas en l’absence de turbine. On noteP<0la puissance c ́
ed ́
ee par le fluide` a
la turbine etQAT le nouveau d ́
ebit dans la conduite avec turbine.
(a)Exprimer les pressions aux pointsA′ etB′ en tenant compte des pertes de charge∆pet de la loi de
Poiseuille.
(b)ComparerpA ′etp B′ en tenant compte du signe deP. Tracer l’ ́
evolution de la pression en fonction
dexsur toute la longueurLde la conduite.3 Licences L3 de Physique et Applications et de M ́
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(c)Exprimer la diff ́
erence de pressionpA �pB entre l’entr ́
ee et la sortie de la conduite. En d ́
eduire que
le d ́
ebit avec turbineQAT est inf ́
erieur au d ́
ebit dans cette mˆ eme conduite sans turbineQST .
IV. Loi d’ ́
echelle pour les animaux volants
Certains oiseaux ou insectes parviennent` a rester immobiles dans l’air en battant des ailes` a une fr ́
equencef
suffisamment importante pour compenser leurs poids. On va chercher dans cet exercice` a caract ́
eriser la loi
d’ ́
echelle reliant la fr ́
equence de battement des ailes` a l’envergure de l’animal volant.
Le battement des ailes en vol stationnaire a pour but de mettre l’air immobile situ ́
e au-dessus de l’animal en
mouvement vers le bas. Il existe alors sous l’animal un jet d’air s’ ́
ecoulant vers le bas comme sch ́
ematis ́
e sur
la figure ci-dessous. On consid` ere que les particules fluides sur lesquelles l’animal a une action s’ ́
ecoulent dans
un domaine qui s’appuie sur le contour d ́
elimit ́
e par les surfacesS1 ,S2 , la surface lat ́eraleS L
et le contour de
l’animal constitu ́
e de deux surfacesSA etSB . L’aire balay ́
ee par l’animal estS0 , tel queSA ≃SB ≃S0 .S 2U 2S 1p 0S 0S LS Lp 0p 0p 0S AS BU 0U 0g ez On consid` ere l’ ́
ecoulement d’air, de masse volumiqueet suppos ́
e parfait, comme stationnaire, incompressible
et non pesant. Le long des fronti` eres du domaine (S1 ,S2 etSL ), la pression est ́egale `
a la pression atmosph ́erique p0 . On notepA etpB respectivement la pression au-dessus et en-dessous de l’animal, respectivement enSA etS B
. Les vitesses sont uniformes dans chacune des sections du domaine. L’air autour de l’animal dans les
sectionsSA etSB est anim ́
e d’une vitesseU0 , et d’une vitesseU2 dans la sectionS2 . Enfin, la sectionS
1 ́etant tr` es grande devantS0 , la vitesseU1 est n ́
egligeable. On oriente l’axe vertical vers le haut.
1.On souhaite d ́
eterminer les forces de pression que l’air exerce sur l’animal.
(a)Appliquer le th ́eor `
eme de Bernoulli sur une ligne de courant entre les sectionsS1 etSA , ainsi
qu’entre les sectionsS2 etSB .4 Licences L3 de Physique et Applications et de M ́
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(b)Exprimer l’ ́
ecart de pressionpB �pA en fonction deU2 . En d ́
eduire l’expression de la force de
pressionFp exerc ́
ee par l’air sur l’animal. Quelle est la direction de�! Fp ?
2.On rappelle l’expression du th ́eor `
eme de transport de Reynolds appliqu ́e `
a la quantit ́
e de mouvement@ @t∫∫∫ VC �!vd + ∫∫SC �! v(�! v:�! n)dS=�∫∫ SCp �!ndS; o` u VC d ́
esigne le volume de contrˆ ole et SC la surface de contrˆ ole.
(a)Exprimer la force�! Fp exerc ́
ee par l’air sur l’animal` a l’aide du th ́eor `
eme de transport appliqu ́
e au
domaine d ́
elimit ́
e parS1 ,S2 ,SL et le contour de l’animalSA etSB . Les surfacesS1 ,S2 etSL forment un contour ferm ́e. (b)En comparant les deux expressions deFp , ́
ecrire une relation reliantS0 `aS 2
et une relation reliantU 0` aU2 . En d ́
eduire que la force de pression exerc ́
ee par l’air sur l’animal prend la forme�! Fp =2S0 U2 0�! ez :
3.On suppose que l’animal a un volume proportionnel` aL3 , o` uLest l’envergure des ailes.
(a) ́
Ecrire la condition d’ ́
equilibre qui s’applique sur l’animal.
(b)Montrer que la vitesseU0 de l’air g ́
en ́
er ́
e par le battement des ailes varie comme une loi de puissance
de l’envergure de l’animalU0 /L
. D ́
eterminer .
(c)Relier, par un argument dimensionnel, la fr ́
equencefde battement des ailes` a l’envergureLet` a la
vitesseU0 . Comment variefen fonction deL? Quels sont les animaux qui doivent battre des ailes
le plus rapidement : les petits ou les gros ?
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