Mécanique des Fluides : Exercices introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs
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F É D É R A L E D E L A US A N NE
ChristopheANCEY
LABORATOIRE HYDRAULIQUE ENVIRONNEMENTALE(LHE)
École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Écublens
CH-1015 Lausanne
Exercices
Introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils et environmentalistes
Mécanique des fluides
version 4.2 du 13 avril 20092 TABLE DES MATIéRES1
Table des matières
IExercices3
1Propriétés des fluides5
2Similitude9
3Statique des fluides13
4Équations de bilan21
5Écoulements laminaires et turbulents25
6Écoulement à surface libre29
7Annexe 1 : rappels de mathématiques45
8Annexe 2 : rappels de mécanique des milieux continus47
IITests de connaissances51
1Test de mathématiques53
2Maîtrisez-vous l’hydrodynamique (jusqu’au chap. 5) ?55
3Test en hydraulique59
2TABLE DES MATIéRES3 Première partie
Exercices5 Chapitre 1
Propriétés des fluides
Exercice 1.1Pour un gaz de Van der Waals, calculer le coefficient de dilatation à pression constanteα=`V −1(∂V/∂T) p. √Réponse:α= RV2 (V−b)RTV 3
−2a(V−b)2 .
Exercice 1.2Un manteau neigeux couvre le sol sur une épaisseure= 1m. La masse volumique de la neige`
est%= 300kg/m3 . La température de la neige estT=−5°C en moyenne sur la couche. Pendant 2 heures, il
tombe une pluie d’intensitéI= 10mm/h, dont la température est 3°C. Sachant que l’excès de température par
rapport au point de fusion va servir à réchauffer la neige, calculer la quantité de neige qui va fondre au bout de
2 heures de pluie. Quelle est la cause du tassement du manteau neigeux ?
Exercice 1.3Sauriez-vous expliquer l’effet Marangoni dans un verre de vin : quand on fait tourner un verre`
de vin tout en le penchant, il se forme un film mince le long de la paroi, qui au lieu de retomber sous son propre
poids ou bien de s’évaporer semble resté rattaché à la paroi du verre. Le front de ce film forme progressivement
des bourrelets, qui donnent naissance aux « larmes du vin » qui redescendent vers le fond du verre. Pourquoi le
film subsiste malgré cet épanchement de larmes (voir figure
1.1) ?
Exercice 1.4Sauriez-vous expliquer pourquoi des bulles se forment dans le champagne (fig.1.1) ? Pourquoi`
se forment-elles à partir des parois et se suivent en file indienne ?
Exercice 1.5Expliquez qualitativement quel est le principe utilisé dans le papier buvard ? Est-ce la même`
chose qu’en chromotographie ?
Exercice 1.6Un insecte (6 pattes) marche sur l’eau. Son poids est de10−5 kg. Déterminer la longueur mi-`
nimale de l’interface nécessaire pour supporter le poids de l’insecte (γ= 72mN/m pour de l’eau propre) en
supposant que la force due à la tension de surface agit verticalement.
Exercice 1.7Une lame de rasoir évidée en son centre (périmètre extérieur154mm, périmètre intérieur52`
mm, masse2,6g) flotte à la surface de l’eau (γ= 72mN/m). Quel doit être l’angle de contact pour que la lame
flotte ? Que se passe-t-il si la lame n’est pas évidée ?
Exercice 1.8On considère le vitrail d’une cathédrale dont la construction a été terminée en l’an 1005. Sachanta
6CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES FLUIDES
Figure1.1:à gauche : l’art de la dégustation ou comment les larmes du vin renseignent sur le degré en alcool d’un vin. À
droite : bulles de champagne.
Figure1.2:marcher sur l’eau... Source :www-math.mit.edu/∼dhu/Striderweb/striderweb.html
Figure1.3:les limites de la flottaison.
que le temps caractéristique du verre est :tr =η/G, oùηest la viscosité du verre etGson module de cisaille-
ment. Sachant que notre matériau peut être considéré comme isotrope, la théorie de l’élasticité linéaire nous
donne :G= E
2 (1 +ν), 7
oùEest le module de Young etνle coefficient de Poisson.
–Calculer le temps caractéristique de l’écoulement dans le vitrail.
–Calculer le temps caractéristique du verre.
–Calculer le nombre de Déborah
–Faire de même en passant le vitrail dans un laminoir
–Commenter et comparer les résultats
–Selon vous, quelle serait l’épaisseur du vitrail de la cathédrale si, à sa construction, la hauteur avait été
constante ?
Données :
Verre :E= 60GPaγ= 0.2η= 1020 Pa·s
√Réponse:te = 3,15×1010 s,tr = 4×109 s. Cathédrale :De= 0,12, laminaireDe= 4×1012 .
8CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES FLUIDES9 Chapitre 2
Similitude
Exercice 2.1Calculer l’aireSd’une ellipse de demi grand axeaet demi petit axeben utilisant le théorèmeΠ.a
√Réponse:le problème an= 3variables, mais seulement 2 sont indépendantes dimensionnellement :
[S] =m2 ,[a] = [b] =m. On a donc icir= 2. On a donck= 3−2 = 1invariant. On trouve que
Π =S ab
est un invariant et notre problème se ramène àΠ =cste. On sait que lorsquea=b, on aS=πa2 ; on en déduit
que la constante vaut doncπ, soit encoreS=πab.
Exercice 2.2On étudie un seuil à paroi mince, avec un déversoir de forme triangulaire (angleφ) comme le`
montre la figure2.1. Ce déversoir contrôle le débit dans un canal ; l’eau est déversée dans un canal en contrebas,
qui n’a aucune action en retour sur l’écoulement amont (seuil dénoyé). La hauteur d’eau au niveau du déversoir
estH. Le débitQtransitant est fonction deH, de la vitesseVà l’approche du déversoir (resserrement des lignes
de courant dû à la contraction de la section d’écoulement), de l’accélération de la gravitationg, et naturellement
de l’angle d’ouvertureφ. Donnez la formule qui permet d’écrireQsous la forme d’une relation adimensionnelle
liant les autres paramètres du problème.H φ
Figure2.1:déversoir mince.
√Réponse:Le débit peut se mettre sous la forme :Q √gh 5/2
=f(Fr, φ).
Exercice 2.3La jetée couvrant la rade d’un port est exposée à un système de vagues venant du large et ayanta
pour périodeT= 7,5s. Afin d’étudier le comportement de cette jetée, on réalise une maquette au 1/20. Quelle
période doit on donner au système de vagues artificiellement produit pour réaliser la similitude dynamique?
10CHAPITRE 2. SIMILITUDE
√Réponse:Dans ce type d’écoulement à surface libre, il est nécessaire d’observer une similitude selon le
nombre de Froude :V 21 gD1 =V 22 gD2 ,(2.1)
Soit encore :V 2V 1= √D 2D 1.(2.2) Or la vitesse varie comme[L][T]−1 . On en déduit donc:V 2V 1= D2 D1 T1 T2 .(2.3)
Finalement, on a :T 2T 1= D2 D1 √D 1D 2= √D 2D 1.(2.4) La période des vagues à produire est doncT2 = 1,67s.
Exercice 2.4Faisons l’hypothèse que le coefficient de traînéeCxs’exerçant sur un navire est dépendant`
uniquement du Nombre de FroudeFret du Nombre de ReynoldsRe, de telle sorte que:Cx= Fx1 2
ρ U2 L2 =f(Fr,Re)(2.5)avec Fr =U 2
g L(2.6) Re =
ρ U Lμ (2.7)
Un bassin de carène vous propose de construire un modèle réduit à l’échelle 1/10 du navire que vous sou-
haitez réaliser. Ils proposent de déterminer la traînée directement à partir des essais sur le modèle réduit. Pour
cela on se propose tout d’abord de calculer les échelles de vitesses selon les deux grandeurs adimensionnelles
caractéristiques. Qu’en pensez-vous ?
Exercice 2.5Dans un canal à fond horizontal on souhaite étudier la longueurLd’un ressaut formé par l’écou-`
lement d’un liquide sous une vanne de hauteuraretenant un lac de hauteurH. La hauteur d’eau loin à l’aval est
notéey. Proposer une loi d’échelle pourL.L aH y
Figure2.2:écoulement sous une vanne.
Exercice 2.6Une maquette de digue est constituée d’un empilement de blocs en béton de masse unitaire 1`
kg. Cette digue est censée protéger un port contre la houle. On a observé qu’il n’y avait aucun dommage tant que
la hauteurHde la houle ne dépassait pas 30 cm sur le modèle réduit. Quel doit être le poids minimal des blocs
en béton pour que la digue résiste à une houle géométriquement et dynamiquement similaire à celle du modèle
réduit sachant que la houle peut atteindre 6 m en hauteur ?11 merdigue H
Figure2.3:merlon de protection contre la houle.
12CHAPITRE 2. SIMILITUDE13 Chapitre 3
Statique des fluides
Exercice 3.1Trois facettes sont plongées à la même profondeur, mais avec des orientations différentes (voir`
figure3.1). Sur quelle facette la pression est maximale ?z (a)(b) (c)z (a)(b) (c
2 h
2 h h
Figure3.1:à gauche : facettes à la même profondeur ; à droite : facettes de longueur différente.
Exercice 3.2Trois facettes de longueurhou2hsont plongées à des profondeurs légèrement différentes (voir`
figure3.1). Sur quelle facette la force de pression est maximale ?
Exercice 3.3Dans un tube en forme de U et de hauteurh, on place un fluide léger de masse volumique%1 ,`
puis un fluide lourd de masse volumique%2 ; voir figure3.2(a). Initialement, le tube est rempli complètement.
Que se passe-t-il ?
Exercice 3.4Un réservoir est muni d’un tuyau qui sert de siphon ; voir figure3.2(b). On incline ce tuyau. Où`
se situe la surface libre dans le tuyau ?
Exercice 3.5On dit que la pression atmosphérique ressentie au niveau de la terre équivalente au poids de la`
colonne d’air par mètre carré au-dessus de la terre :P0 =∫ ∞0 %gdz; voir figure3.2(c). Est-ce vrai ?
Exercice 3.6Idem si on se place sous la coque d’un bateau ; voir figure3.2(d). Est-ce que la pression au point`
le plus bas correspond au poids de la colonne de bateau au-dessus de ce point ?
Exercice 3.7On place un corps solide de massemsur un plan horizontal ; voir figure3.3. On tire le solide à`
14CHAPITRE 3. STATIQUE DES FLUIDES
(a) ha (b)(c)(d) Figure3.2:(a) deux fluides dans un tube en U. (b) siphon. (c) pression à la surface de la terre. (d) pression sous la coque d’unbateau. vitesse constante en exerçant une forceF. Le solide est soumis à une action de frottement de type Coulomb :T=
fN, avecfle coefficient de frottement,Nla composante normale de la force de réaction, etTsa composante
tangentielle. On réalise tout d’abord l’expérience dans l’air. On réitère ensuite l’expérience dans l’eau. Dans quel
milieu (eau ou air) la force de traction est la plus faible ?
Figure3.3:traction d’un solide dans l’air ou sous l’eau.
Exercice 3.8`
Une hémisphère de rayonarepose à une profondeurhdans un fluide de masse volumique%; voir figure3.4.
Quelle est la force de pression exercée sur elle ?h Figure3.4:hémisphère reposant à une profondeurh.
Exercice 3.9Un iceberg de masse volumique%g = 920kg/m3 flotte sur l’océan (%e = 1020kg/m3 ). Quelle`
fraction de son volume se trouve sous l’eau?15 Figure3.5:iceberg dans l’océan [DR].
Exercice 3.10`
Un barrage poids de largeur`retient une retenue d’eau de profondeurhet de masse volumique%(voirfigure 3.6). Quelle est la force de pression (par unité de longueur) exercée sur le barrage ? Quelle est la condition
de non-renversement si le sol n’exerce aucun frottement sur le barrage ?h `z O
Figure3.6:coupe d’un barrage poids
Même question dans le cas où le sol exerce un frottement de type Coulomb :τ=σtanφ+Cavecσ≈%ghb (x)
la contrainte normale exercée par le barrage sur le sol,Cla cohésion, etφl’angle de frottement ?
Exercice 3.11Après les inondations de la Nouvelle-Orléans vous avez été mandaté pour vérifier le dimen-a
sionnement des nouvelles digues. Ces nouvelles digues se présentent sous la forme d’un barrage-poids en bé-
ton, dont la masse volumique est égale à%b . Lors d’une crue, l’eau de masse volumique%e atteint le sommet de la
structure. Pour le calcul de la stabilité de la structure on admet que la section du barrage est triangulaire (figure3.7). 16CHAPITRE 3. STATIQUE DES FLUIDES
Figure3.7:barrage-poids en béton
–À partir de la formuleF=∫ z2 z1 pndSdéduire les deux composants de la force de pression due à l’eau,
appliquée au parement du barrage (considérer les axesxetzindiqués).
–Quelle devra être la valeur minimale de la densité du béton%b pour garantir l’équilibre des moments au-
tour du point O. Admettez une sous-pressionFs agissant sur la face horizontale du barrage. Cette dernière
varie linéairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqu’à zéro (point O).
–Quelles sont les faiblesses de ce modèle ? Que devriez-vous inclure en plus ?
Données :%eau = 103 kg·m3 ,h= 30 m ,α= 65°,β= 45°
√Réponse:La force de pression est donnée par l’intégrale :F p= ∫−p e
ndS,(3.1)avecn= (−sinα −cosα) . Dans le repère cartésienxzceci donne (voir la figure3.8): Fx =FsinαF z=Fcosα Figure3.8:surface infinitésimale.
dzest une fonction dedS:
dz= sinαdS,dS= dzsinα .
On peut donc réécrire l’équation3.1sous la forme:F= ∫h 0−% egz (−sinα −cosα) dzsinα ,
ce qui donne dans le repère cartésienxz:F x=% eg ∫h 0zdz=%g h2 2, Fz =%e gcosα sinα∫ h0 zdz=%gh 22 cotα.17 Figure3.9:décomposition de dz.
Équilibre des moments en OPour que le barrage soit stable, d’un point de vue des moments par rapport
au point O, il faut que les moments engendrés par la masse du barrage et par la forceFz soient plus grands que
ceux engendrés par la forceFx et la force de sous pressionFs . L’équilibre peut s’écrire :F xd 2+F sd 1=F ze 3+w 1e 4+w 2e 2. Figure3.10:Équilibre des moments.
Centre de poussée deFp zp =∫ SzdF ∫S dF.(3.2) Ceci peut être réécrit dans le système de coordonnées cartésiennesxzde la façon suivante :
–Selonx:z px= ∫h 0
%gzsinαzdz sinα∫ h0 %gzsinαdz sinα= ∫h 0z 2dz ∫h 0zdz =h 33 h2 2= 23 h.
–Selonz:z pz= ∫h 0
%gzcosαzdz sinα∫ h0 %gzcosαdz sinα= ∫h 0z 2dz ∫h 0zdz =h 33 h2 2= 23 h.
De là nous pouvons trouverd2 ete3 :d 2= 13 ,he 3=l 2+ 23 l1 ,
18CHAPITRE 3. STATIQUE DES FLUIDES
avec :l 1= htanα ,l 2= htanβ .
Moment dû à la sous-pressionLa forceFs dû s’écrit :F s=%g hl2 ,
avec :l=l 1+l 2= htanα +h tanβetd 1= 23 l.
Moment dû au barrageLe poids du barrage se calcule :W 1=% bg hl1 2, W2 =%b ghl 22 ,
avec comme point d’application :e 1=l 2+ 13 l1 ,e 2= 23 l2 .
Application numériqueLe résultat des applications numériques est donné ci-dessous :
l= 44,0ml 1
= 14,0ml 2
= 30,0mF x
= 4414,5kN/mF z
= 2058,5kN/mF s
= 6474,6kN/md 2
= 10,0md 2
= 10,0mw 1
= 210g%b kN/mw 2
= 450g%b kN/md 1
= 29,3md 2
= 10,0m
Équilibre des moments en OF xd 2+F sd 1=F ze 3+w 1e 4+w 2e 2, 152951.7 = 16287%b g.
Donc finalement la masse volumique du béton%e doit être supérieure à :% b
= 960kg/m3 ce qui n’est pas un problème car la masse volumique du béton est environ2.5·103 kg/m3 .
Modèle simpliste ?Notre modèle ne vérifie pas l’ancrage du barrage. Dans un cas réel il faudrait également
vérifier que la forceFx ne puisse pas faire glisser la digue.
Exercice 3.12Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur de 9 m est fermé par une porte verticale`
constituée par 3 panneaux plans.
1.Quelle doit être la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte le même effort total ?
2.Chaque panneau doit être renforcé au niveau du centre de poussée. Calculer la position de ces renforts.
3.Quelle est la force agissant sur chaque panneau ?19 bb b0 z1 z2 AB Csol bassinair z
Figure3.11:schéma des panneaux.
Exercice 3.13On considère un tube en U, rempli d’eau et d’huile, de masses volumiques respectives%e et`% h
(fig.3.12). On repère le niveau 0 à la frontière des deux liquides non miscibles. Quelle est la hauteurhe de la
colonne d’eau, sachant que le diamètre du tube estD, le volume d’huileVh et la distance entre les deux parties
du tube estL?Eau HuileD Lh Z0 Figure3.12:Tube en U rempli d’eau et d’huile.
20CHAPITRE 3. STATIQUE DES FLUIDES21 Chapitre 4
Équations de bilan
Exercice 4.1Un ingénieur d’un bureau d’ingénieurs cherche à calculer la hauteur de la vague générée par`
l’entrée d’une avalanche dans un lac de retenue. Il a pu établir l’ordre de grandeur de la vitesse de l’avalanche.
Pour calculer la hauteurηde cette vague, il considère que l’onde se déplace à la même vitesse que l’avalanche,
or la vitesse d’une onde en eau peu profonde est donnée parc=√ gh. Donc si l’on connaît la vitesse, on peut en
déduire la hauteur totale. D’après vous ce raisonnement est-il juste ou faux ?
Figure4.1:vague générée par une avalanche dans une retenue d’eau.
Exercice 4.2On considère la fonctionf(x, t) =xexp(−t). CalculerdI/dtdirectement, puis en appliquant le`
théorème de Reynolds, avecI=∫ ba %f(x, t)dx,a(t) =t, etb(t) =t2 (%est constante).
Exercice 4.3Calculez la hauteur maximale d’un jet unidimensionnel de sectionSet de débitQ.`
Exercice 4.4Une pompe installée sur une conduite aspire de l’eau à la base d’un réservoir (hauteur d’eau 2 m)`
pour la refouler dans un bassin à l’air libre, située à une hauteur de 8 m par rapport au plan d’eau du réservoir.
Le débit de la pente est de 50 l/s. Calculez la puissance de cette pompe (c’est-à-dire la puissance des forces de
pression).
Exercice 4.5Une conduite circulaire de rayonRtransporte un fluide de masse volumique%. Tout d’abord`
horizontale, la conduite subit une inflexion d’un angleα. Calculez la force subie par le coude en considérant un
volume de contrôle englobant ce coude.
Exercice 4.6Une jet circulaire de rayonaprojette horizontalement un fluide de masse volumique%sur un`
mur vertical. Calculez la force d’impact du jet.
Exercice 4.7Montrer que la fonction de dissipationΦest nulle si le fluide subit un mouvement de corps`
22CHAPITRE 4. ÉQUATIONS DE BILANrigide. Exercice 4.8Quelle est la pression qui s’exerce sur le nez d’une torpille se déplaçant sous 10 m d’eau à la`
vitesse de 50 km/h?
Exercice 4.9Le jet d’eau de Genève de diamètre initial 107 mm s’élève verticalement à une hauteur de 156 m.`
En négligeant les pertes par frottement, déterminer la vitesse à la base du jet et le débit injecté.
Exercice 4.10Vous travaillez pour Ingénieurs du Monde dans une vallée reculée des montagnes du Népal.a
Vous devez estimer la vitesse de l’eau dans une rivière d’une petite vallée située à 5 jours de marche de la route
la plus proche avec les moyens rudimentaires à disposition sur place.
Figure4.2:Vos moyens de mesure
Connaissant le volume du récipientVet le tempstnécessaire pour le remplir, déterminez la vitesse v de
l’eau dans la rivière. Vous connaissez encore le diamètre du tuyaud, sa longueurl, la pression atmosphériqueP a
, la pente de la rivièrep. Les autres mesures déjà prises sont indiquées sur la figure4.3.
Figure4.3:schéma de l’installation rudimentaire de mesure23 √Réponse:Commençons par calculer le débitD[m3 ] qui remplit notre cuve :D= Vt Sachant que le débit est aussi égal à la vitesse à la sortie du tuyau×la section :D=v tuyau·S, donc la vitessevtuyau vaut :v tuyau= V
t S= 4V
t π d2 .
Écrivons maintenant l’équation de Bernoulli entre l’entrée et la sortie du tuyau en prenant la hauteur de réfé-
rence à l’entrée du tuyau :P in︸︷︷︸ Patm +%gh3 +1 2%v 2in +%g hin ︸︷︷︸=0 =Pout + +1 2%v 2out +%ghout Patm +%gh3 +1 2%v 2riv =Patm +1 2%v 2tuyau +%gh1 vriv =√ v2 tuyau
+ 2g(h1 −h3 )v riv= √( 4Vt·πd 2) 2
+ 2g(h1 −h3 )
Exercice 4.11L’Expo 2027 est déjà en préparation. Un architecte est invité pour faire une création afin dea
remplir un espace consacré au thème de l’eau. Il a fait un premier dessin d’une fontaine, alimentée par un grand
réservoir relié à un siphon. La sortie du siphon est libre, formant un jet d’eau contre un déflecte