Exercices introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs

Mécanique des Fluides : Exercices introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs

Introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils et environmentalistes

Exercices

Chapitre 1 : Propriétés des fluides

Pour un gaz de Van der Waals, calculer le coefficient de dilatation à pression constante α = V⁻¹(∂V/∂T)_p.

Réponse : α = R V² (V − b) − 2a (V − b)².

Un manteau neigeux couvre le sol sur une épaisseur de 1 m. La masse volumique de la neige est de 300 kg/m³. La température de la neige est de −5 °C en moyenne sur la couche. Pendant 2 heures, il tombe une pluie d’intensité de 10 mm/h, dont la température est de 3 °C. Sachant que l’excès de température par rapport au point de fusion sert à réchauffer la neige, calculer la quantité de neige qui va fondre au bout de 2 heures de pluie. Quelle est la cause du tassement du manteau neigeux ?

Sauriez-vous expliquer l’effet Marangoni dans un verre de vin : quand on fait tourner un verre de vin tout en le penchant, il se forme un film mince le long de la paroi, qui au lieu de retomber sous son propre poids ou de s’évaporer semble resté rattaché à la paroi du verre. Le front de ce film forme progressivement des bourrelets, qui donnent naissance aux « larmes du vin » qui redescendent vers le fond du verre. Pourquoi le film subsiste malgré cet épanchement de larmes ?

Sauriez-vous expliquer pourquoi des bulles se forment dans le champagne ? Pourquoi se forment-elles à partir des parois et se suivent en file indienne ?

Expliquez qualitativement quel est le principe utilisé dans le papier buvard. Est-ce la même chose qu’en chromatographie ?

Un insecte (6 pattes) marche sur l’eau. Son poids est de 10⁻⁵ kg. Déterminer la longueur minimale de l’interface nécessaire pour supporter le poids de l’insecte (γ = 72 mN/m pour de l’eau propre) en supposant que la force due à la tension de surface agit verticalement.

Une lame de rasoir évidée en son centre (périmètre extérieur de 154 mm, périmètre intérieur de 52 mm, masse de 2,6 g) flotte à la surface de l’eau (γ = 72 mN/m). Quel doit être l’angle de contact pour que la lame flotte ? Que se passe-t-il si la lame n’est pas évidée ?

On considère le vitrail d’une cathédrale dont la construction a été terminée en l’an 1005. Sachant que le temps caractéristique du verre est donné par t_r = η/G, où η est la viscosité du verre et G son module de cisaillement, et que le matériau peut être considéré comme isotrope, la théorie de l’élasticité linéaire donne : G = E/2(1 + ν), où E est le module de Young et ν le coefficient de Poisson.

– Calculer le temps caractéristique de l’écoulement dans le vitrail.

– Calculer le temps caractéristique du verre.

– Calculer le nombre de Déborah.

– Faire de même en passant le vitrail dans un laminoir.

– Commenter et comparer les résultats.

– Selon vous, quelle serait l’épaisseur du vitrail de la cathédrale si, à sa construction, la hauteur avait été constante ?

Données : Verre : E = 60 GPa, ν = 0,2, η = 10²⁰ Pa·s.

Réponse : t_e = 3,15 × 10¹⁰ s, t_r = 4 × 10⁹ s. Cathédrale : De = 0,12, laminaire De = 4 × 10¹².

Chapitre 2 : Similitude

Calculer l’aire S d’une ellipse de demi-grand axe a et demi-petit axe b en utilisant le théorème Π.

Réponse : Le problème adimensionnel compte 3 variables, mais seulement 2 sont indépendantes dimensionnellement : [S] = m², [a] = [b] = m. On a donc i_c = 2. On a donc k = 3 − 2 = 1 invariant. On trouve que Π = S/a² est un invariant et notre problème se ramène à Π = constante. On sait que lorsque a = b, on a S = πa² ; on en déduit que la constante vaut donc π, soit encore S = πab.

On étudie un seuil à paroi mince avec un déversoir de forme triangulaire (angle φ). Ce déversoir contrôle le débit dans un canal ; l’eau est déversée dans un canal en contrebas, qui n’a aucune action en retour sur l’écoulement amont (seuil dénoyé). La hauteur d’eau au niveau du déversoir est H. Le débit Q transitant est fonction de H, de la vitesse V à l’approche du déversoir, de l’accélération de la gravité g, et de l’angle d’ouverture φ. Donnez la formule qui permet d’écrire Q sous la forme d’une relation adimensionnelle liant les autres paramètres du problème.

Réponse : Le débit peut se mettre sous la forme Q/√(gH^5/2) = f(Fr, φ).

La jetée couvrant la rade d’un port est exposée à un système de vagues venant du large et ayant pour période T = 7,5 s. Afin d’étudier le comportement de cette jetée, on réalise une maquette au 1/20. Quelle période doit-on donner au système de vagues artificiellement produit pour réaliser la similitude dynamique ?

Réponse : Dans ce type d’écoulement à surface libre, il est nécessaire d’observer une similitude selon le nombre de Froude : V₁²/gD₁ = V₂²/gD₂. Soit encore V₂/V₁ = √(D₂/D₁). Or la vitesse varie comme [L][T]⁻¹. On en déduit donc : V₂/V₁ = D₂/D₁ × T₁/T₂. Finalement, on a T₂/T₁ = √(D₂/D₁) × √(D₁/D₂) = √(D₂/D₁). La période des vagues à produire est donc T₂ = 1,67 s.

Faisons l’hypothèse que le coefficient de traînée Cx exercé sur un navire dépend uniquement du nombre de Froude Fr et du nombre de Reynolds Re, de telle sorte que : Cx = f(Fr, Re). Un bassin de carène propose de construire un modèle réduit à l’échelle 1/10 du navire. Ils proposent de déterminer la traînée directement à partir des essais sur le modèle réduit. Pour cela, on se propose tout d’abord de calculer les échelles de vitesses selon les deux grandeurs adimensionnelles caractéristiques. Qu’en pensez-vous ?

Dans un canal à fond horizontal, on souhaite étudier la longueur L d’un ressaut formé par l’écoulement d’un liquide sous une vanne de hauteur a retenant un lac de hauteur H. La hauteur d’eau loin à l’aval est notée y. Proposer une loi d’échelle pour L.

Une maquette de digue est constituée d’un empilement de blocs en béton de masse unitaire de 1 kg. Cette digue est censée protéger un port contre la houle. On a observé qu’il n’y avait aucun dommage tant que la hauteur H de la houle ne dépassait pas 30 cm sur le modèle réduit. Quel doit être le poids minimal des blocs en béton pour que la digue résiste à une houle géométriquement et dynamiquement similaire à celle du modèle réduit, sachant que la houle peut atteindre 6 m en hauteur ?

Chapitre 3 : Statique des fluides

Trois facettes sont plongées à la même profondeur, mais avec des orientations différentes. Sur quelle facette la pression est maximale ?

Trois facettes de longueur h, h/2 et h sont plongées à des profondeurs légèrement différentes. Sur quelle facette la force de pression est maximale ?

Dans un tube en forme de U et de hauteur h, on place un fluide léger de masse volumique ρ₁ puis un fluide lourd de masse volumique ρ₂. Initialement, le tube est rempli complètement. Que se passe-t-il ?

Un réservoir est muni d’un tuyau qui sert de siphon. Où se situe la surface libre dans le tuyau ?

On dit que la pression atmosphérique ressentie au niveau de la terre équivaut au poids de la colonne d’air par mètre carré au-dessus de la terre : P₀ = ∫_∞⁰ ρg dz. Est-ce vrai ?

Idem si on se place sous la coque d’un bateau. La pression au point le plus bas correspond-elle au poids de la colonne de bateau au-dessus de ce point ?

On place un corps solide de masse m sur un plan horizontal. On tire le solide à vitesse constante en exerçant une force F. Le solide est soumis à une action de frottement de type Coulomb : T = fN, avec f le coefficient de frottement, N la composante normale de la force de réaction, et T sa composante tangentielle. On réalise l’expérience dans l’air, puis dans l’eau. Dans quel milieu la force de traction est la plus faible ?

Une hémisphère de rayon R repose à une profondeur h dans un fluide de masse volumique ρ. Quelle est la force de pression exercée sur elle ?

Un iceberg de masse volumique ρ_g = 920 kg/m³ flotte sur l’océan (ρ_e = 1020 kg/m³). Quelle fraction de son volume se trouve sous l’eau ?

Un barrage poids de largeur b retient une retenue d’eau de profondeur h et de masse volumique ρ. Quelle est la force de pression (par unité de longueur) exercée sur le barrage ? Quelle est la condition de non-renversement si le sol n’exerce aucun frottement sur le barrage ?

Même question dans le cas où le sol exerce un frottement de type Coulomb : τ = σ tan φ + C, avec σ ≈ ρghb(x) la contrainte normale exercée par le barrage sur le sol, C la cohésion, et φ l’angle de frottement.

Après les inondations de la Nouvelle-Orléans, vous avez été mandaté pour vérifier le dimensionnement des nouvelles digues. Ces digues se présentent sous la forme d’un barrage-poids en béton, dont la masse volumique est égale à ρ_b. Lors d’une crue, l’eau de masse volumique ρ_e atteint le sommet de la structure. Pour le calcul de la stabilité de la structure, on admet que la section du barrage est triangulaire.

– À partir de la formule F = ∫_z2^z1 ρndS, déduire les deux composants de la force de pression due à l’eau, appliquée au parement du barrage.

– Quelle devra être la valeur minimale de la densité du béton ρ_b pour garantir l’équilibre des moments autour du point O ? Admettez une sous-pression F_s agissant sur la face horizontale du barrage.

– Quelles sont les faiblesses de ce modèle ? Que devriez-vous inclure en plus ?

Données : ρ_eau = 10³ kg/m³, h = 30 m, α = 65°, β = 45°.

Réponse : La force de pression est donnée par l’intégrale F_p = ∫_−p^e ndS, avec n = (−sin α − cos α). Dans le repère cartésien xz, cela donne : F_x = ρ_eg ∫_h⁰ z dz = ρ_eg h²/2, F_z = ρ_eg cos α/sin α ∫_h⁰ z dz = ρ_eg h²/2 cot α.

Équilibre des moments en O : F_xd₂ + F_sd₁ = F_ze₃ + w₁e₄ + w₂e₂. Centre de poussée de F_p : z_p = 2/3 h.

Application numérique : ρ_b doit être supérieure à 960 kg/m³.

Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur de 9 m est fermé par une porte verticale constituée par 3 panneaux plans.

1. Quelle doit être la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte le même effort total ?

2. Chaque panneau doit être renforcé au niveau du centre de poussée. Calculer la position de ces renforts.

3. Quelle est la force agissant sur chaque panneau ?

On considère un tube en U rempli d’eau et d’huile, de masses volumiques respectives ρ_e et ρ_h. On repère le niveau 0 à la frontière des deux liquides non miscibles. Quelle est la hauteur h_e de la colonne d’eau, sachant que le diamètre du tube est D, le volume d’huile V_h et la distance entre les deux parties du tube est L ?

Chapitre 4 : Équations de bilan

Un ingénieur cherche à calculer la hauteur de la vague générée par l’entrée d’une avalanche dans un lac de retenue. Il a pu établir l’ordre de grandeur de la vitesse de l’avalanche. Pour calculer la hauteur η de cette vague, il considère que l’onde se déplace à la même vitesse que l’avalanche, or la vitesse d’une onde en eau peu profonde est donnée par c = √(gh). Donc si l’on connaît la vitesse, on peut en déduire la hauteur totale. D’après vous, ce raisonnement est-il juste ou faux ?

On considère la fonction f(x, t) = x exp(−t). Calculer dI/dt directement, puis en appliquant le théorème de Reynolds, avec I = ∫_a(t)^b(t) ρf(x, t)dx, a(t) = t, et b(t) = t² (ρ est constante).

Calculez la hauteur maximale d’un jet unidimensionnel de section S et de débit Q.

Une pompe installée sur une conduite aspire de l’eau à la base d’un réservoir (hauteur d’eau de 2 m) pour la refouler dans un bassin à l’air libre situé à une hauteur de 8 m par rapport au plan d’eau du réservoir. Le débit de la pompe est de 50 l/s. Calculez la puissance de cette pompe (c’est-à-dire la puissance des forces de pression).

Une conduite circulaire de rayon R transporte un fluide de masse volumique ρ. Tout d’abord horizontale, la conduite subit une inflexion d’un angle α. Calculez la force subie par le coude en considérant un volume de contrôle englobant ce coude.

Un jet circulaire de rayon a projette horizontalement un fluide de masse volumique ρ sur un mur vertical. Calculez la force d’impact du jet.

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