Chapitre 4 variables aleatoires discretes - probabilités et

Probabilités et Statistiques : Chapitre 4 Variables aleatoires discretes

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I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Chapitre 4

Variables al ́

eatoires discr` etes

Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

es et Statistique

I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Introduction

Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

es et Statistique

I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Le but de ce chapitre et du chapitre suivant est d’introduire des

outils de calcul des probabilit ́

es avec les variables al ́

eatoires

(lois de probabilit ́e). Une variable al ́

eatoire consiste` a associer une valeur

num ́erique `

a chaque ́

el ́

ement deΩ.

Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

es et Statistique

I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Exemples

On jette deux d ́

es ́

equilibr ́

es de deux couleurs diff ́

erentes.

A chaque ́

el ́

ement(i,j)∈Ω, on associe la sommei+j. On

d ́

efinit ainsi une applicationX: Ω→IR.

L’ensemble des valeurs prises par cette application (not ́eX(Ω) est :

X(Ω) ={2,3,4,...,12}

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es et Statistique

I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Exemples

On jette deux d ́

es ́

equilibr ́

es de deux couleurs diff ́

erentes.

A chaque ́

el ́

ement(i,j)∈Ω, on associe la sommei+j. On

d ́

efinit ainsi une applicationX: Ω→IR.

L’ensemble des valeurs prises par cette application (not ́eX(Ω) est :

X(Ω) ={2,3,4,...,12}

Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

es et Statistique

I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

I- D ́

efinition

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I- D ́

efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

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e usuelles

I- D ́

efinition

D ́

efinition

Soit(Ω,T,p).

On appelle variable al ́

eatoire discr` ete toute application :

X: Ω→IRω→X(ω) dont l’univers image X(Ω)est fini ou d ́

enombrable.

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

On noteX(Ω) ={x1 ,x2 ,...}. C’est l’ensemble des valeurs

possibles prises par la variable al ́

eatoireX. On l’appelle

univers image.

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efinition

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e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Remarque :

Chaque valeurxi caract ́

erise un ́

ev ́

enementAi :A i

={ω∈Ω/X(ω) =xi }=X−1 (xi ).

L’ ́

ev ́

enement associ ́e `ax i

est not ́

e :(X=xi ).

SiΩest fini, les ́

ev ́

enements{(X=xi )),1≤i≤n}

forment une partition deΩ.

SoitA⊂R. L’ensembleX−1 (A) ={ω∈Ω,X(ω)∈A}

caract ́

erise un ́

ev ́

enement. On le note :(X∈A).

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efinition

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Exemples

On lance deux fois une pi` ece de monnaie.

On aΩ ={PP,PF,FP,FF}

SoitX=nombre de faces obtenues.

Xest une variable al ́

eatoire discr` ete.

On aX(Ω) ={0,1,2}.

L’ ́

ev ́

enement(X=1)correspond` a l’ ́

ev ́enement A={PF,FP}.

On lance une pi` ece de monnaie une infinit ́

e de fois.

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

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IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

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e usuelles

II- Loi de probabilit ́

e d’une

variable al ́

eatoire discr` ete

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

II- Loi de probabilit ́e D ́

efinition

Soit(Ω,T,p)un espace probabilis ́

e et soit X une variable

al ́

eatoire discr` ete surΩ.

On appelle loi de probabilit ́

e de X , l’application, not ́

ee pX ,

d ́

efinie de X(Ω)dans[0,1]qui` a chaque valeur xi ∈X(Ω)fait

correspondre la probabilit ́

e pX (xi ) =p(X=xi ).

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Remarque :

Pour d ́

efinir la loi de probabilit ́

e d’une v.a.dX, il faut et il

suffit de connaˆ ıtre les valeurspi =pX (xi ),∀xi ∈X(Ω).

SiX(Ω)est fini, on repr ́

esente la loi de probabilit ́

e deX

sous forme d’un tableau :x ix 1x 2...x kp(x i)p 1p 2...p k

On doit avoir∑ i=1p i=1. Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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e d’une variable al ́

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IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

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e usuelles

Pour l’exemple pr ́

ec ́

edent, on a :x i012 p(xi )0.250.50.25

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuellesExemple On jette deux d ́es. A chaque ́

el ́

ement(i,j)∈Ω, on associe la sommei+j. On

d ́

efinit ainsi une v.a.d.X

X(Ω) ={2,3,4,...,12}

Loi de probabilit ́

e deX:x i

23456789101112p(x i) 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136 Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuellesExemple On jette deux d ́es. A chaque ́

el ́

ement(i,j)∈Ω, on associe la sommei+j. On

d ́

efinit ainsi une v.a.d.X

X(Ω) ={2,3,4,...,12}

Loi de probabilit ́

e deX:x i

23456789101112p(x i) 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136 Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Remarque :

On peut g ́

en ́

eraliser la notion de l’ ́

ev ́

enement(X=xi )et

d ́

efinir pour tout intervalleI⊂IR, l’ ́

ev ́

enement :

(X∈I) ={ω∈Ω/X(ω)∈I}=X−1 (I).

On a alorspX (I) =p(X∈I) =∑ xi ∈Ip(x i). Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

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VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

III- Fonction de r ́

epartition

D ́

efinition

SoitΩun univers fini probabilis ́

e et soit X une variable

al ́

eatoire discr` ete surΩ.

On appelle fonction de r ́

epartition de X , l’application, not ́ee FX , d ́

efinie deRvers[0,1]par :F X

(t) =p(X≤t) =∑ xi ≤tp(x i) Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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III- Fonction de r ́

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IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

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VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

Propri ́

et ́

es :

Fest croissante,

Fest constante par intervalle (fonction en escalier),

Fest discontinue enxi (continue` a droite),

F(x)est d ́

efinie par :

F(x) =0,six<x1 F(x) =F(xi ),sixi ≤x<xi+1 (1≤i≤k−1)

F(x) =1,six≥xk Le saut de discontinuit ́

e au pointxi est ́egal `ap(x i). Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

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epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

IV- Param` etres d’une variable

al ́eatoire Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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efinition

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epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

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e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

D ́

efinition

Soit X une variable al ́

eatoire discr` ete. On appelle esp ́erance math ́

ematique de X le nombre r ́

eel (si il existe), not ́

e E(X),

d ́

efini par :

E(X) =∑ xi ∈X(Ω)x ip(x i) Remarque :

SiX(Ω)est fini,E(X)existe toujours.

SiX(Ω)est infini,E(X)existe sous r ́

eserve de convergence.

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epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

IV.2- Variance - ́

ecart-type

D ́

efinition

On appelle variance de X le nombre r ́

eel (si il existe), not ́e V(X), d ́

efini par :

V(X) =∑ xi ∈X(Ω)(x i−E(X)) 2p(x i) Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

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e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

Remarque : Formule simplifi ́ee V(X) =E(X2 )−(E(X))2 =∑ xi ∈X(Ω)x 2i p(xi )−(E(X))2 Parcours MIP (S4)Module M147 : Probabilit ́

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efinition

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

D ́

efinition

On appelle ́

ecart-type de X le nombre, not ́

eσ(X), d ́

efini par :

σ(X) =√ V(X)

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

eatoire discr` ete

III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

Propri ́

et ́

es :

SoientXetYdeux variables al ́

eatoires etaetbdeux

constantes r ́

eelles, on a :1 E(aX+b) =aE(X) +b2 E(X+Y) =E(X) +E(Y)3 SiXetYsont ind ́

ependantes alorsE(XY) =E(X)E(Y)4 V(aX+b) =a2 V(X)5 SiXetYsont ind ́

ependantes alors

V(X+Y) =V(X) +V(Y)

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e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

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e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-typeExemple On lance un d ́

e et on suppose que l’on gagne 10 dh si on

obtient la face 1; 5 dh si on obtient la face 2 ou 3; 2 dh si on

obtient la face 4 et on perd 5 dh si on obtient la face 5 ou 6.

On noteXla v.a. qui repr ́

esente le gain.

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e d’une variable al ́

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epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

IV.1- Esp ́

erance math ́

ematique

IV.2- Variance et ́

ecart-type

On a la loi de probabilit ́

e deX:x i-52510 pi 1/31/61/31/6

L’esp ́

erance math ́

ematique du gain est

E(X) =−5∗1/3+2∗1/6+5∗1/3+10∗1/6=2 dh.

La variance est donn ́

ee par :

V(X) =25∗1/3+4∗1/6+25∗1/3+100∗1/6−4=30.

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

V.1- Loi d’un couple al ́eatoire V.2- Variables al ́

eatoires ind ́

ependantes

V.3- Covariance

V- Couple de variables

al ́

eatoires - Variables

ind ́

ependantes

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efinition

II- Loi de probabilit ́

e d’une variable al ́

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III- Fonction de r ́

epartition

IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

eatoires

VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

V.1- Loi d’un couple al ́eatoire V.2- Variables al ́

eatoires ind ́

ependantes

V.3- Covariance

V.1- Loi d’un couple al ́eatoire D ́

efinition

Soit(Ω,T,p)un espace probabilis ́

e et soient X et Y deux

variables al ́

eatoires discr` etes surΩ.

On appelle loi de probabilit ́

e du couple(X,Y)l’application,

not ́

ee p(X,Y) , d ́

efinie de X(Ω)×Y(Ω)dans[0,1]par :∀(x i,y j

)∈X(Ω)×Y(Ω),p(X,Y) (xi ,yj ) =p( (X=xi )∩(Y=yj )) Les lois de probabilit ́

e deXet deYs’appellent lois marginales

du couple.

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IV- Param` etres d’une variable al ́eatoire V- Couple de variables al ́

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VI- Lois de probabilit ́

e usuelles

V.1- Loi d’un couple al ́eatoire V.2- Variables al ́

eatoires ind ́