Probabilités et Statistiques : Chapitre 4 Variables aleatoires discretes
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Introduction aux Variables Aléatoires Discrètes
Le but de ce chapitre et du chapitre suivant est d’introduire des outils de calcul des probabilités avec les variables aléatoires (lois de probabilité). Une variable aléatoire consiste à associer une valeur numérique à chaque élément de Ω.
1. Définition d'une Variable Aléatoire Discrète
Soit (Ω,T,p) un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire discrète toute application : X: Ω→IR, ω→X(ω) dont l’univers image X(Ω) est fini ou dénombrable.
On note X(Ω) = {x1, x2, ...}. C’est l’ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire X. On l’appelle univers image.
Remarque : Chaque valeur xi caractérise un événement Ai : Ai = {ω∈Ω/X(ω) =xi} = X-1(xi). L’événement associé à xi est noté : (X=xi). Si Ω est fini, les événements {(X=xi)), 1≤i≤n} forment une partition de Ω. Soit A⊂IR. L’ensemble X-1(A) = {ω∈Ω,X(ω)∈A} caractérise un événement. On le note : (X∈A).
Exemples de Variables Aléatoires Discrètes
Exemple 1 : On jette deux dés équilibrés de deux couleurs différentes. À chaque élément (i,j)∈Ω, on associe la somme i+j. On définit ainsi une application X: Ω→IR. L’ensemble des valeurs prises par cette application (noté X(Ω)) est : X(Ω) = {2,3,4,...,12}.
Exemple 2 : On lance deux fois une pièce de monnaie. On a Ω = {PP,PF,FP,FF}. Soit X = nombre de faces obtenues. X est une variable aléatoire discrète. On a X(Ω) = {0,1,2}. L’événement (X=1) correspond à l’événement A={PF,FP}.
2. Loi de Probabilité d'une Variable Aléatoire Discrète
Soit (Ω,T,p) un espace probabilisé et soit X une variable aléatoire discrète sur Ω. On appelle loi de probabilité de X, l’application, notée pX, définie de X(Ω) dans [0,1] qui à chaque valeur xi ∈ X(Ω) fait correspondre la probabilité pX(xi) = p(X=xi).
Remarque : Pour définir la loi de probabilité d’une v.a.d. X, il faut et il suffit de connaître les valeurs pi = pX(xi), ∀xi ∈ X(Ω). Si X(Ω) est fini, on représente la loi de probabilité de X sous forme d’un tableau :
| xi | x1 | x2 | ... | xk |
|---|---|---|---|---|
| p(xi) | p1 | p2 | ... | pk |
On doit avoir ∑ i=1 pi = 1.
Exemples de Lois de Probabilité
Exemple 1 (Lancer de pièce) :
| xi | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| p(xi) | 0.25 | 0.5 | 0.25 |
Exemple 2 (Lancer de deux dés) :
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p(xi) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
Remarque : On peut généraliser la notion de l’événement (X=xi) et définir pour tout intervalle I⊂IR, l’événement : (X∈I) = {ω∈Ω/X(ω)∈I} = X-1(I). On a alors pX(I) = p(X∈I) = ∑ xi ∈I p(xi).
3. Fonction de Répartition
Définition : Soit Ω un univers fini probabilisé et soit X une variable aléatoire discrète sur Ω. On appelle fonction de répartition de X, l’application, notée FX, définie de IR vers [0,1] par : FX(t) = p(X≤t) = ∑ xi ≤t p(xi).
Propriétés de la Fonction de Répartition
- F est croissante,
- F est constante par intervalle (fonction en escalier),
- F est discontinue en xi (continue à droite),
- F(x) est définie par : F(x) = 0, si x < x1 ; F(x) = F(xi), si xi ≤ x < xi+1 (1≤i≤k−1) ; F(x) = 1, si x ≥ xk. Le saut de discontinuité au point xi est égal à p(xi).
4. Paramètres d'une Variable Aléatoire Discrète
4.1. Espérance Mathématique
Définition : Soit X une variable aléatoire discrète. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel (s'il existe), noté E(X), défini par : E(X) = ∑ xi ∈X(Ω) xi p(xi).
Remarque : Si X(Ω) est fini, E(X) existe toujours. Si X(Ω) est infini, E(X) existe sous réserve de convergence.
4.2. Variance et Écart-type
Définition (Variance) : On appelle variance de X le nombre réel (s'il existe), noté V(X), défini par : V(X) = ∑ xi ∈X(Ω) (xi − E(X))² p(xi).
Remarque : Formule simplifiée : V(X) = E(X²) − (E(X))² = ∑ xi ∈X(Ω) x²i p(xi) − (E(X))².
Définition (Écart-type) : On appelle écart-type de X le nombre, noté σ(X), défini par : σ(X) = √V(X).
Propriétés de l'Espérance et de la Variance
Soient X et Y deux variables aléatoires et a et b deux constantes réelles, on a :
- E(aX+b) = aE(X) + b
- E(X+Y) = E(X) + E(Y)
- Si X et Y sont indépendantes alors E(XY) = E(X)E(Y)
- V(aX+b) = a²V(X)
- Si X et Y sont indépendantes alors V(X+Y) = V(X) + V(Y)
Exemple de Calcul des Paramètres
On lance un dé et on suppose que l’on gagne 10 dh si on obtient la face 1; 5 dh si on obtient la face 2 ou 3; 2 dh si on obtient la face 4 et on perd 5 dh si on obtient la face 5 ou 6. On note X la v.a. qui représente le gain.
On a la loi de probabilité de X :
| xi | -5 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| pi | 1/3 | 1/6 | 1/3 | 1/6 |
L’espérance mathématique du gain est E(X) = −5∗(1/3) + 2∗(1/6) + 5∗(1/3) + 10∗(1/6) = 2 dh.
La variance est donnée par : V(X) = 25∗(1/3) + 4∗(1/6) + 25∗(1/3) + 100∗(1/6) − 4 = 30.
5. Couple de Variables Aléatoires
5.1. Loi d'un Couple Aléatoire
Définition : Soit (Ω,T,p) un espace probabilisé et soient X et Y deux variables aléatoires discrètes sur Ω. On appelle loi de probabilité du couple (X,Y) l’application, notée p(X,Y), définie de X(Ω)×Y(Ω) dans [0,1] par : ∀(xi,yj)∈X(Ω)×Y(Ω), p(X,Y)(xi,yj) = p( (X=xi)∩(Y=yj) ). Les lois de probabilité de X et de Y s’appellent lois marginales du couple.
5.2. Variables Aléatoires Indépendantes
5.3. Covariance
6. Lois de Probabilité Usuelles
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète ?
Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire, et dont l'ensemble des valeurs possibles (l'univers image) est fini ou dénombrable.
Comment définit-on la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète ?
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète X est une application qui assigne à chaque valeur xi que X peut prendre, une probabilité p(X=xi). La somme de toutes ces probabilités doit être égale à 1.
Quels sont les principaux paramètres d'une variable aléatoire discrète ?
Les principaux paramètres sont l'espérance mathématique E(X), qui représente la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités, et la variance V(X), qui mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. L'écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance et donne une mesure de dispersion dans la même unité que la variable aléatoire.