Probabilités et Statistiques : Série Supplémentaire N˚02 – Statistiques Doubles
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Exercice 1: Analyse d'un tableau de contingence
Soit le tableau de contingence suivant :
| X\Y | 0 | 1 | 2 | ni• |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 10 | n12 | n13 | 60 |
| 1 | n21 | 20 | 0 | n2• |
| n•j | 30 | n•2 | 10 | n•• |
- Compléter le tableau.
- Tracer le nuage de points.
- Donner le tableau précédent en utilisant les fréquences.
- Déterminer les deux distributions marginales de X et de Y.
- Calculer les moyennes et les variances marginales de X et de Y.
- Les deux variables sont-elles indépendantes ?
- Déterminer la distribution conditionnelle de X pour Y=2. Calculer sa moyenne conditionnelle et sa variance.
- Déterminer la moyenne des moyennes conditionnelles de X.
- Trouver, par la méthode des moindres carrés, l’équation de la droite de régression de X en Y.
Exercice 2: Tableau de contingence et distributions
Description du tableau
Soit le tableau suivant :
| X\Y | 60 | 65 | 70 | 75 |
|---|---|---|---|---|
| 165 | 14 | 10 | 1 | 9 |
| 170 | 8 | 13 | 7 | 4 |
| 175 | 3 | 7 | 6 | 6 |
| 180 | 2 | 6 | 2 | 2 |
- Préciser le type du tableau de données.
- Tracer le nuage de points.
- Donner le tableau précédent en utilisant les fréquences.
- Déterminer les distributions marginales de X et Y, leurs moyennes et leurs variances.
- Calculer f1•, f•2 et f••.
- Déterminer la distribution conditionnelle de X pour Y=70, celle de Y pour X=170, leurs moyennes et leurs variances conditionnelles associées.
- Déterminer la moyenne des moyennes conditionnelles de X.
Exercice 3: Distribution de logements (Série statistique brute)
Contexte des données
Le tableau suivant indique la distribution de 100 logements en fonction de leur nombre X de pièces principales et de leurs surfaces Y exprimées en mètre carré :
X: 1, 1, 1, 1
Y: 20, 30, 30, 40
X: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
Y: 30, 40, 40, 40, 40, 40, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60
X: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3
Y: 70, 70, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60
X: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3
Y: 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 80, 80, 80, 80, 90, 90
X: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4
Y: 50, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 80
X: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Y: 80, 80, 80, 80, 90, 90, 90, 90, 100, 100, 70, 70, 80, 80, 80, 80, 90, 90, 90, 100
- Construire le tableau de contingence.
- Déterminer les distributions marginales de X et Y, leurs moyennes et leurs variances.
- Déterminer la distribution conditionnelle de X pour Y=50, celle de Y pour X=1, leurs moyennes et leurs variances conditionnelles associées.
- On pose Y'i = (Yi - Y0) / a, avec Y0 = 0 et a = 10. Calculer la moyenne Y' et la variance V(Y'), puis en déduire sans calcul la moyenne Y et la variance V(Y).
Exercice 4: Régression linéaire simple
Données initiales
On considère une distribution statistique (X,Y) :
Xi: 1, 2, 2, 3
Yi: 4, 2, 0, -2
- Déterminer le centre de gravité G.
- Calculer la covariance.
- Déterminer les deux droites de régression (Y en X et X en Y).
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
- Tracer le nuage de points et les deux droites de régression. L’ajustement est-il bon ?
- Vérifier que G appartient aux deux droites de régression.
Exercice 5: Méthode de Mayer pour l'ajustement linéaire
Données de production
Appliquer la méthode de Mayer pour trouver la droite d’ajustement de la série statistique suivante indiquant le coût de fabrication d’un produit en fonction du tonnage :
| Tonnage | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Coût | 400 | 575 | 715 | 848 | 996 | 1150 | 1290 | 1450 |
Exercice 6: Analyse des droites de régression
Contexte
On procède à l’ajustement affine d’un nuage de points (X,Y). Les équations obtenues sont les suivantes :
Droite d’ajustement de Y en X, ∆: y = x + 30.
Droite d’ajustement de X en Y, ∆': y = 4x - 240.
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
- Calculer les moyennes arithmétiques de X et de Y.
- Calculer Cov(X,Y) et V(X), sachant que V(Y)=4.
FAQ sur les Statistiques Doubles
Qu'est-ce qu'un tableau de contingence en statistiques ?
Un tableau de contingence est un tableau à double entrée qui représente la distribution conjointe de deux variables statistiques qualitatives ou quantitatives discrètes. Il permet de visualiser les fréquences d'apparition des différentes combinaisons de modalités des deux variables et de préparer l'analyse de leur dépendance.
Quel est l'objectif des distributions marginales et conditionnelles ?
Les distributions marginales décrivent la distribution de chaque variable prise isolément, sans tenir compte de l'autre. Les distributions conditionnelles, en revanche, montrent la distribution d'une variable pour une modalité spécifique de l'autre variable, ce qui est essentiel pour analyser la relation entre elles et détecter d'éventuelles dépendances.
À quoi sert la méthode des moindres carrés en régression linéaire ?
La méthode des moindres carrés est utilisée en régression linéaire pour trouver la droite (ou le plan) qui minimise la somme des carrés des erreurs (ou résidus) entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. Elle permet d'estimer les paramètres de la droite de régression et de modéliser la relation linéaire entre deux variables.