Probabilités et Statistiques : TD série 2 Variables aléatoires discrètes
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Exercice I
Un joueur effectue deux tirages successifs dans une urne contenant 5 boules blanches et 10 noires. Avant d'effectuer ces tirages, il lance un dé équilibré. S'il obtient 1 ou 6, il effectue des tirages avec remise. Dans les autres cas, il effectue des tirages sans remise.
Le joueur gagne 2 DH pour chaque boule blanche tirée et il perd 1 DH pour chaque boule noire. On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
- Donner la loi de X et calculer son espérance E(X).
- Calculer la probabilité pour que le joueur ne perde pas d'argent P(X ≥ 0).
Explication: Cet exercice combine des probabilités conditionnelles (selon le résultat du dé) avec la détermination d'une loi de probabilité pour une variable aléatoire discrète représentant un gain.
Exercice II
Un Casino propose une machine de jeu contenant quatre boules blanches et trois boules rouges. Lorsque le joueur introduit un jeton dans l'appareil, trois boules tombent dans un panier. Toutes les boules ont la même probabilité de tomber dans le panier.
Si les boules obtenues sont toutes blanches, le joueur ne gagne rien. Sinon, il gagne 35 DH par boule rouge obtenue. Le prix du jeton est fixé à n DH (n ∈ N*).
- Soit X la variable aléatoire désignant la valeur du lot gagné par le joueur. Donner la loi de X et calculer son espérance E(X) et son écart type σ(X).
- Soit Y la variable aléatoire désignant le gain algébrique du Casino par partie de jeu.
- Quelle est la relation entre les variables X et Y ? En déduire les valeurs E(Y) et σ(Y).
- Le Casino souhaite fixer le prix du jeton de telle manière que chaque partie de jeu lui rapporte en moyenne un gain de 10 DH. Quel est ce prix minimum ?
- Calculer la probabilité pour que le Casino ne perde pas d'argent : P(Y ≥ 0).
Explication: Ce problème implique la loi hypergéométrique pour le tirage des boules sans remise, puis le calcul d'espérance et d'écart type pour des gains.
Exercice III
Lors d'une compétition de tir à l'arc, on a constaté qu'un tireur entraîné a 80 % de chances d'atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Les autres ont 50 % de chances d'atteindre la cible.
- On choisit un participant au hasard et soit X la variable aléatoire qui est égale à 1 si le joueur atteint la cible et 0 sinon ; donner la loi de X.
- On choisit un tireur au hasard, on lui fait faire 10 tirs consécutifs, indépendants. Soit Z la variable aléatoire qui correspond au nombre de fois qu'il atteint la cible. Donner la loi de Z.
Explication: La première partie utilise la formule des probabilités totales. La seconde partie implique une loi binomiale, mais la probabilité de succès dépend du type de tireur (entraîné ou non).
Exercice IV
Pour se rendre au bureau, une personne passe par une station de bus où elle peut choisir entre deux lignes indépendantes.
- Ligne A : les bus arrivent selon une loi géométrique de moyenne 3 minutes et le trajet dure 13 minutes.
- Ligne B : les bus arrivent selon une loi géométrique de moyenne 6 minutes et le trajet dure 8 minutes.
Soit X le temps d'attente d'un bus de la Ligne A. Soit Y le temps d'attente d'un bus de la Ligne B.
Note sur la loi géométrique: Si la moyenne d'une loi géométrique (nombre d'essais jusqu'au premier succès) est E(X) = 1/p, alors p = 1/E(X). Pour une attente de k minutes, cela signifie que le bus arrive à la k-ième minute.
- Déterminer les lois de X et Y.
- Quelle est la probabilité d'attendre au moins 10 minutes avant que n'arrive le bus A ?
- Quelle est la probabilité qu'aucun bus n'arrive pendant les cinq premières minutes ?
- Calculer la probabilité que le bus A arrive avant le bus B.
- La personne choisit au hasard l'une des deux lignes. Soit Z la durée totale du déplacement (attente + trajet) ; quelle est la probabilité que la durée du déplacement dépasse 20 minutes (P(Z > 20)) ?
Exercice V
Sur la voie express Agadir-Taroudant, il y a en moyenne 2 accidents par semaine. On suppose que le nombre d'accidents durant une semaine est indépendant de celui des autres semaines. Soit X le nombre d'accidents enregistrés par semaine sur cette voie. Cette variable suit une loi de Poisson.
- Une semaine, il y a eu 4 accidents. Quelle était la probabilité d'un tel événement ?
- Quelle est la probabilité qu'il se passe 2 semaines sans accident ?
- Quelle est la probabilité qu'en 2 semaines on ait au plus 2 accidents ?
Explication: La loi de Poisson est appropriée pour modéliser le nombre d'événements rares sur un intervalle de temps ou d'espace donné, avec un paramètre lambda (λ) représentant la moyenne du nombre d'événements.
Exercice VI
Le nombre d'ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin spécialisé suit une loi de Poisson de paramètre 4. On suppose que le nombre de ventes durant une journée est indépendant de celui des autres journées.
- Calculer la probabilité qu'aucun ordinateur ne soit vendu dans une journée.
- Quelle est la probabilité de vendre au moins 2 ordinateurs dans une journée ?
- Quelle est la probabilité qu'en 2 journées on ait au maximum 2 ventes d'ordinateurs ?
Explication: Cet exercice est une application directe de la loi de Poisson et de ses propriétés d'additivité pour des intervalles de temps multiples.
Exercice VII
La probabilité pour qu'une imprimante imprime incorrectement un caractère est de 0,004. On admet que les erreurs d'impression sont indépendantes les unes des autres. On imprime un texte de 1000 caractères et soit X le nombre de caractères incorrectement transcrits dans ce texte.
- Déterminer la loi de probabilité de X.
- Quelle est la probabilité d'avoir au moins une erreur dans le texte ?
- Par quelle loi de probabilité peut-on approximer la loi de X ?
- En utilisant l'approximation évoquée à la question précédente, calculer la probabilité d'avoir au moins 5 erreurs dans le texte.
Explication: Le nombre d'erreurs suit une loi binomiale. Pour de grands nombres d'essais et de petites probabilités de succès, la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson.
Exercice VIII
On sait que la probabilité qu'une personne soit allergique à un certain médicament est égale à 0.1. On s'intéresse à un échantillon de 1000 personnes. On appelle X la variable aléatoire dont la valeur est le nombre de personnes allergiques dans l'échantillon.
- Déterminer la loi de probabilité de X. Donner sa moyenne et sa variance.
- Exprimer sous forme d'une somme la probabilité P(1 < X < 6).
- En utilisant une approximation que l'on justifiera, donner une valeur approchée. Calculer la probabilité d'observer au moins deux personnes allergiques dans l'échantillon.
Explication: La loi binomiale (pour le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais) peut être approximée par une loi de Poisson ou une loi normale sous certaines conditions. Ici, l'approximation par la loi normale est souvent utilisée pour un grand nombre d'essais.
Exercice IX
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants. Soit X le nombre de tirs nécessaires pour crever le ballon.
- Quelle est la loi de X ? Quel est le nombre de tirs moyen pour crever le ballon ? Quel est son écart type ?
- Calculer P(|X - E(X)| ≥ 2 * σ(X)) et comparer avec l'inégalité de Tchebychev.
- Ce tireur participe au jeu suivant : dans un premier temps il lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon. Soit Y la variable aléatoire qui est égale à 1 si le joueur crève le ballon et 0 sinon. Quelle est la loi de Y ?
Explication: La loi qui décrit le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès est la loi géométrique. La partie c) introduit une probabilité conditionnelle où le nombre d'essais maximum est lui-même une variable aléatoire.
FAQ sur les Variables Aléatoires Discrètes
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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète ?
Une variable aléatoire discrète est une variable dont les valeurs possibles sont des nombres distincts, généralement des entiers, qui peuvent être comptés. Par exemple, le nombre de faces obtenues en lançant une pièce plusieurs fois, ou le nombre d'accidents sur une route en une semaine.
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Quelle est la différence entre l'espérance et l'écart type d'une variable aléatoire ?
L'espérance (ou moyenne) E(X) représente la valeur moyenne attendue de la variable aléatoire sur un grand nombre d'observations. L'écart type σ(X) mesure la dispersion ou la variabilité des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Un écart type élevé indique une plus grande dispersion.
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Quand utilise-t-on une approximation de loi de probabilité ?
Les approximations sont utilisées lorsque le calcul exact de la probabilité est complexe ou fastidieux. Par exemple, une loi binomiale (n, p) avec un grand n et un petit p peut être approximée par une loi de Poisson (λ = np), ce qui simplifie les calculs tout en offrant une bonne estimation.