Mécanique des Fluides : Cinematique des fluides exercices
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1. Liquide de vitesse non uniforme dans une conduite
Un liquide de masse volumique ρ s’écoule dans une conduite circulaire avec une distribution transversale des vitesses de la forme :
v = v₀ [1 - (r/r₀)²], où r est la coordonnée radiale et r₀ le rayon de la conduite.
Calculer le débit massique Dₘ en fonction de ρ, v₀ et r₀.
Quelle est la vitesse moyenne Vₘ du liquide ?
Quelle est l’expression du débit d’énergie cinétique ? La comparer à celle obtenue en supposant que la vitesse est uniforme et égale à la vitesse moyenne.
2. Écoulement à l’intérieur d’un dièdre droit
Dans la région x > 0, y > 0, un écoulement stationnaire est défini en eulérien par :
vₖ(x, y) = -kx + ky, où k est une constante positive.
Déterminer la nature des lignes de courant.
Calculer l’accélération a en utilisant la description eulérienne.
3. Écoulement d’un fluide
Un écoulement plan est décrit sous forme lagrangienne par les coordonnées (x, y) d’une particule de fluide située en (x₀, y₀) à t = 0 :
x = x₀·exp(-2t/τ) ; y = y₀·exp(t/τ).
Calculer les équations de la trajectoire de la particule.
Déterminer la vitesse locale v(M, t) en description eulérienne.
L’écoulement est-il stationnaire ? Incompressible ? Trouver l’équation des lignes de courant.
4. Écoulement tourbillonnaire
On considère un écoulement orthoradial d’axe polaire Oz appelé tourbillon tel que :
Pour r < a : v_rot = γ/r.
Pour r > a : v_rot = 0.
Établir l’expression de v(M) en coordonnées polaires pour r > a et r < a.
Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan Oxy si l’on considère que a → 0 et γ → ∞, le produit πa²γ demeure égal à la valeur finie Γ appelée intensité du tourbillon.
Donner l’expression de v(M) en coordonnées polaires (r > a) avec Γ comme paramètre.
5. Mesure de température par une fusée-sonde
Une fusée-sonde effectue un vol vertical dans une atmosphère où la température décroît linéairement à partir du sol jusqu’à une altitude de 10000 pieds selon :
T(z) = T₀ - bz, avec b = 8·10⁻³ K·m⁻¹.
L’engin est muni d’un capteur de température. Calculer le taux de variation de la température mesuré par ce capteur lorsque la fusée s’élève avec une vitesse de 360 km·h⁻¹.
Réponse : dT/dt = -0,8 K·s⁻¹.
6. Écoulement engendré par une source rectiligne
Une source rectiligne infinie, confondue avec l’axe Oz et de section négligeable, émet un fluide incompressible avec un débit volumique par unité de longueur de source λ, réparti uniformément le long de Oz et constant.
L’émission étant supposée isotrope dans chaque plan z = constante, les lignes de courant sont des droites radiales qui divergent à partir de Oz.
En quelle unité s’exprime λ ?
Déterminer le champ de vitesse de cet écoulement.
L’écoulement est-il irrotationnel ? Si oui, quel est le potentiel des vitesses ? Quelles sont les surfaces équipotentielles ?
7. Écoulement fluide
Un écoulement fluide est caractérisé par le champ de vitesse :
v = a·cos(t)·uₓ + b·sin(t)·uᵧ, où a et b sont des constantes positives.
Calculer les équations de la trajectoire d’une particule.
Calculer l’équation des lignes de courant.
Montrer que ρ est constante le long d’une trajectoire particulaire.
8. Modèle de la houle
Le champ des vitesses d’un écoulement bidimensionnel modélisant la houle s’exprime en formalisme eulérien par :
v = v₀·cos(ωt)·uₓ + v₀·sin(ωt)·uᵧ.
Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.
9. Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle en rotation
On étudie l’écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide incompressible autour d’un cylindre d’axe Oz et de rayon R, tournant autour de Oz à la vitesse angulaire Ω = uᵧ·Ω.
Le fluide, très loin du cylindre, a la vitesse V₀ = V₀·uₓ de direction perpendiculaire à Oz.
Un point M du fluide est décrit par ses coordonnées cylindriques r, θ et z.
L’écoulement peut être considéré comme la superposition de deux écoulements :
Un écoulement E₁ de potentiel des vitesses φ₁ = (V₀·r₀²)ln(r/R) + (V₀·r₀²/R)·r·cos(θ), correspondant au cylindre fixe dans le fluide en écoulement uniforme à la vitesse V₀.
Un écoulement E₂ de potentiel des vitesses φ₂ = kθ, correspondant au cylindre tournant dans le fluide au repos très loin du cylindre (k constante positive).
Calculer le champ des vitesses.
Vérifier que l’écoulement est potentiel.
Calculer la circulation de l’écoulement E autour du cylindre en fonction de k, puis en fonction de R et Ω.
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre α = k / (R·V₀), le nombre de points de vitesse nulle et leur(s) position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
10. Expansion uniforme
Un fluide remplit tout l’espace. À l’instant t = 0, on communique à des particules de fluide une vitesse initiale radiale et proportionnelle à leur distance OM₀ à un point fixe O : v(M₀) = (OM₀/τ)·uᵣ.
a) Déterminer le champ eulérien des vitesses v(M, t) à un instant t quelconque.
b) L’écoulement est-il stationnaire, incompressible, irrotationnel ?
c) Obtenir par le calcul le champ des accélérations a(M, t) et retrouver le résultat sans calcul.
d) On suppose que le fluide est homogène à tout instant. Déterminer la masse volumique ρ(t) à l’instant t en fonction de la masse volumique initiale ρ₀.
Interpréter cette expression en calculant la masse de fluide contenue à l’instant t dans la sphère de rayon r(t) = r₀(1 + t/τ).
FAQ
Qu’est-ce qu’un écoulement stationnaire ?
Un écoulement stationnaire est un mouvement où les propriétés du fluide (comme la vitesse) ne varient pas avec le temps en un point donné.
Comment distinguer une description lagrangienne d’une description eulérienne ?
La description lagrangienne suit les particules de fluide dans leur mouvement, tandis que la description eulérienne observe les propriétés du fluide en des points fixes de l’espace.
Qu’est-ce qu’un tourbillon ponctuel ?
Un tourbillon ponctuel est un modèle d’écoulement où l’intensité du tourbillon Γ est conservée malgré une réduction du rayon a vers 0 et une augmentation de la vitesse de rotation γ vers l’infini.