Mécanique des Fluides : Série n°1 travaux diriges de mecanique des fluides
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Exercice 1 : Équation des variations temporelles d'une grandeur fluide
Soit une grandeur G associée à une particule fluide, représentant une grandeur scalaire ou vectorielle (température, vitesse, etc.). Montrer que les variations dans le temps sont déterminées par l’équation suivante :
)
G
grad
v
t
G
=
Exercice 2 : Analyse d'un écoulement bidimensionnel
On considère un fluide en écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est donné dans un repère cartésien (Oxyz) par :
2
1
0
0
0
.
2
1
.
1
.
0
s
m
e
t
s
m
u
v
e
c
u
v
y
x
1) Cet écoulement est-il stationnaire ? Ce fluide est-il compressible ?
2) Déterminer les lignes de courant à t = t0.
3) Déterminer la trajectoire de la particule qui se trouve à l’origine O à t = 0.
Exercice 3 : Champ de vitesse radial en coordonnées cylindriques
Le champ de vitesse d’un écoulement fluide, en un point M (OM = r) repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) dans la base (ur, uθ, uz), est radial :
vr = k·r, où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source.
1) Caractériser l’écoulement.
2) Cet écoulement admet-il un potentiel des vitesses ? Si oui, le calculer.
3) Déterminer l’équation des lignes de courant.
4) Tracer l’allure des lignes de courant.
On donne en coordonnées cylindriques, pour un vecteur Ar radial :
rotA = 0
divA = 1/r · ∂(r·Ar)/∂r
Exercice 4 : Écoulement bidimensionnel en coordonnées Lagrangiennes
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées Lagrangiennes par :
x = x0·ekt, y = y0·e-kt
où k, x0 et y0 sont des constantes positives.
1) Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide.
2) Trouver les composantes de la vitesse.
3) a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ?
3) b) L’écoulement est-il compressible ou incompressible ?
4) Déterminer le champ des vecteurs accélérations a.
5) Déterminer l’équation des lignes de courant.
Exercice 5 : Deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2), dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
1) V1 = (2x3y, yxv1 = 2y3 - 3x2y, 0) et
2) V2 = (yxv2 = 2x3 - 3x2y, xyv2 = 2y3, 0).
1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun des deux écoulements (E1) et (E2).
2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la particule P du fluide de coordonnées (x0, y0, 0) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son mouvement (description lagrangienne).
3°) Exprimer la vitesse instantanée vP(t) et l’accélération aP(t) de la particule P dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description lagrangienne.
4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe.
Exercice 6 : Écoulement plan incompressible autour d’un point d’arrêt
L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au champ des vitesses V(vx = α·x, vy = β·y) dans le plan (xOy), où α et β sont deux constantes réelles positives, indépendantes du temps, et (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d’un point M.
1°) Déterminer le potentiel des vitesses φ(x, y) en M(x, y) à l’aide de la seule constante α.
2°) Établir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M0(x0, y0) à l’instant t = 0.
3°) La fonction courant ψ(x, y) de l’écoulement plan est définie par V = rot(ψ·uz).
a) Établir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de ψ.
b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul.
c) Déterminer la fonction courant ψ(x, y) et tracer les lignes de courant après avoir montré qu’elles se confondent avec les courbes ψ(x, y) = Cte.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un écoulement stationnaire ?
Un écoulement est dit stationnaire lorsque le champ des vitesses ne dépend pas explicitement du temps, c’est-à-dire que ∂v/∂t = 0 pour toutes les particules du fluide.
2. Comment différencier un fluide compressible d’un incompressible ?
Un fluide est compressible si sa masse volumique ρ varie avec le temps et l’espace. Il est incompressible si ρ est constante, ce qui implique que div(v) = 0.
3. Qu’est-ce que la description eulérienne et lagrangienne en mécanique des fluides ?
La description eulérienne étudie les propriétés du fluide en des points fixes de l’espace, tandis que la description lagrangienne suit le mouvement des particules fluides individuelles.