Mécanique des Fluides : Série n°1 travaux diriges de mecanique des fluides
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2011/2012 DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
Série n°1
LFPH2 TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES Exercices n°1 : Soit une grandeur G associée à une particule fluide, représentant une grandeur scalaire ou vectorielle (température, vitesse, etc....). Montrer que les variations dans le temps sont déterminées par l’équation : )(.Ggradvt GDt DG
Exercice n°2 : On considère un fluide en écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est donné dans un repère cartésien (Oxyz) par : 210000 .2.1,)( smetsmvuavecuvutuvyx 1) Cet écoulement est-il stationnaire ? Ce fluide est-il compressible ? 2) Déterminer les lignes de courant à t = t0 . 3) Déterminer la trajectoire de la particule qui se trouve à l’origine O à t = 0. Exercices n°3 : Le champ de vitesse d’un écoulement fluide, en un point M (OM= r) repéré par ses coordonnées cylindriques (r, ө, z) dans la base ),,(kuur est radial : ru rk v
où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source. 1- Caractériser l’écoulement. 2- Cet écoulement admet-il un potentiel des vitesses ? Si oui, le calculer. 3- Déterminer l’équation des lignes de courant. 4- Tracer l’allure des lignes de courant. On donne : en coordonnées cylindriques, pour un vecteurA
radial, on donne l’expression des
opérateurs :k Ar uz AArotet rrA rAdiv 1)(1
Exercice n°4
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées Lagrangiennes par :
x =x0 ekt y =y0 e
-kt Où k, x
0 et y
0 sont des constantes positives. 1. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide. 2. Trouver les composantes de la vitesse. 3. a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ? 3. b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ? 4. déterminer le champ des vecteurs accélérationsa . 5. Déterminer l’équation des lignes de courant. Exercice n°5 On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1 ) et (E2 ), dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement : 1
V (2 3xyvx , yxvy 23 ,0 zv )et 2V (yxv x2 3, 23xyv y , 0z v
) 1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun des deux écoulements (E1) et (E2). 2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1 ) de la particule P du fluide de coordonnées ( x0 , y
0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son mouvement (description lagrangienne). 3°) Exprimer la vitesse instantanée )(tvp de la particule P et l’accélération )(ta de cette particule dans l’écoulement (E2 ), à l’aide des constantes x
0 et y0 , à partir de la description lagrangienne. 4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2 ) en utilisant une description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe. Exercice n°6 L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au champ des vitesses V(v x =
x, v
y =
y) dans le plan (x O y)
où
et sont deux constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées cartésiennes d’un point M. 1°) Déterminer le potentiel des vitesses
,xy en M(x, y) à l’aide de la seule constante
. 2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M
0 (x0 , y0 ) à l’instant t = 0. 3°) La fonction courant ),(yx de l’écoulement plan est définie par V = rot( z U
). a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de . b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul. c) Déterminer la fonction courant ),(yx et tracer les lignes de courant après avoir montré qu’elles se confondent avec les courbes
),(yx = Cte .