Probabilités et Statistiques : Série N◦3 Variables aléatoires discerètes
Télécharger PDFSérie d'exercices : Variables aléatoires discrètes
Ce recueil d'exercices est conçu pour explorer les concepts fondamentaux des variables aléatoires discrètes, de la détermination de leur loi de probabilité au calcul de leur espérance et de leur variance. Les problèmes abordent diverses situations de tirages avec ou sans remise, de familles et de lancers de pièces, ainsi que des applications des lois de Poisson.
Exercice 1 : Tirages de boules
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
1) Tirage de 4 boules au hasard
On tire 4 boules au hasard. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
2) Tirage successif jusqu'à une boule noire
On tire successivement une boule au hasard jusqu'à ce qu'on obtienne une boule noire. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
3) Tirage successif avec remise jusqu'à une boule noire ou 4 blanches
On tire au hasard successivement avec remise une boule jusqu'à ce qu'on obtienne soit une boule noire, soit 4 boules blanches. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
4) Tirage successif avec remise jusqu'à deux boules noires
On tire au hasard successivement avec remise une boule jusqu'à ce qu'on obtienne deux boules noires. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
5) Généralisation avec n1 et n2 boules
Reprendre les questions précédentes, en supposant qu'il y a dans l'urne n1 boules blanches et n2 boules noires.
Exercice 2 : Combinaison de tirages et numéros
1) Tirages de deux urnes
Une urne U1 contient 3 boules noires et 2 blanches. Une seconde urne U2 contient 2 boules noires et 3 blanches. On tire simultanément 2 boules de U1 et on tire 1 boule de U2. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
2) Tirage sans remise avec le plus grand numéro
Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire au hasard 3 boules successivement et sans remise. Soit X la variable aléatoire désignant le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance et sa variance.
Exercice 3 : Probabilités dans une famille
On suppose que la probabilité de naissance d'une fille est égale à 0,45. Dans une famille de 8 enfants, quelle est la probabilité des événements suivants :
- A : Avoir au moins un garçon.
- B : Avoir autant de filles que de garçons.
Exercice 4 : Lancer de pièce de monnaie
1) 7 lancers d'une pièce non truquée
On lance 7 fois de suite une pièce de monnaie non truquée.
- a) Quelle est la probabilité d'obtenir autant de faces que de piles ?
- b) Quelle est la probabilité d'obtenir plus de piles que de faces ?
2) Lancer un nombre impair de fois
Mêmes questions en lançant la pièce de monnaie un nombre impair de fois.
3) Lancer un nombre pair de fois
En lançant la pièce de monnaie un nombre pair de fois, quelle est la probabilité d'obtenir autant de faces que de piles ?
Exercice 5 : Tentatives d'ouverture de porte
Le concierge d'un immeuble essaie d'ouvrir la porte de cet immeuble qui est fermée à clé. Il possède 10 clés dont une seule ouvre effectivement la porte. On désigne par X la variable aléatoire représentant le nombre de tentatives pour ouvrir la porte. Donner la loi de probabilité de X et calculer E(X) et V(X) dans les deux cas suivants :
1) Clé éliminée après chaque essai infructueux
Le concierge élimine, après chaque essai infructueux, la clé qu'il vient d'essayer.
2) Clé non éliminée après chaque essai infructueux
Le concierge oublie, après chaque essai infructueux, d'éliminer la clé qu'il vient d'essayer.
Exercice 6 : Constitution d'une équipe
On considère un groupe de 15 étudiants : 8 filles et 7 garçons. On choisit au hasard une équipe de 5 étudiants.
1) Probabilité d'au moins 2 garçons
Calculer la probabilité que l'équipe comporte au moins 2 garçons.
2) Probabilité d'au plus 1 fille
Calculer la probabilité que l'équipe comporte au plus 1 fille.
Exercice 7 : Examen de probabilités
Lors d'un examen de probabilité, un candidat doit répondre à 10 questions. Si le candidat est sérieux, la probabilité qu'il donne une bonne réponse à une question est 0,75 et si le candidat n'est pas sérieux, la probabilité qu'il donne une bonne réponse à une question est 0,25.
Entre les deux événements suivants, quel est l'événement le plus probable ?
- A : Obtenir 5 bonnes réponses par le candidat sérieux.
- B : Obtenir 5 bonnes réponses par le candidat non sérieux.
Exercice 8 : Événements rares (Loi de Poisson)
1) Personnes à un guichet automatique
On suppose qu'en moyenne, 10 personnes par heure se présentent à un guichet automatique. Quelle est la probabilité pour qu'au moins 3 personnes se présentent au guichet pendant une période de 6 minutes ?
2) Étoiles filantes
On admet qu'on observe en moyenne une étoile filante toutes les 2 minutes. Quelle est la probabilité d'observer au moins 5 étoiles filantes pendant 10 minutes ?
Exercice 9 : Accidents mortels sur autoroute
On suppose que sur une autoroute il y a en moyenne un accident mortel par mois.
1) Aucun accident mortel le mois prochain
Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun accident mortel dans le mois prochain ?
2) Aucun accident mortel les deux mois prochains
Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun accident mortel dans les deux mois prochains ?
3) Trois mois sans accidents mortels dans l'année
Quelle est la probabilité que, dans l'année prochaine, il y ait 3 mois sans accidents mortels ?
Exercice 10 : Somme et loi conditionnelle de variables de Poisson
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ1 et λ2.
1) Loi de probabilité de X+Y
Déterminer la loi de probabilité de X+Y.
2) Loi de probabilité conditionnelle de X sachant X+Y
Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de X sachant X+Y.
Foire Aux Questions (FAQ) sur les Variables Aléatoires Discrètes
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète ?
Une variable aléatoire discrète est une variable dont les valeurs possibles sont un ensemble fini ou dénombrable de nombres. Cela signifie que ses valeurs peuvent être listées (par exemple, 0, 1, 2, 3...) et qu'il y a des "sauts" entre elles, contrairement à une variable continue qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète ?
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète est la liste de toutes les valeurs possibles de la variable, accompagnée de la probabilité que la variable prenne chacune de ces valeurs. On peut la représenter sous forme de tableau ou de fonction de masse de probabilité (p(x) = P(X=x)).
À quoi servent l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?
L'espérance E(X) représente la moyenne pondérée des valeurs possibles de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur que l'on s'attend à obtenir en moyenne si l'expérience est répétée un grand nombre de fois. La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de la variable autour de son espérance. Une variance élevée indique que les valeurs sont très éloignées de la moyenne, tandis qu'une faible variance signifie qu'elles sont regroupées autour de la moyenne.