Probabilités et Statistiques : Série N◦3 Variables aléatoires discerètes
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Universit ́e Hassan II MohammadiaAnn ́ee universitaire 2014 - 2015
Facult ́e des Sciences et TechniquesModule M147 - S4 - MIP
D ́epartement de Math ́ematiquesSP - P1
Serie N◦ 3 Variables aleatoires disceretes
Exercice 1
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
1)on tire 4 boules au hasard. SoitXla variable al ́eatoire d ́esignant le nombre de boules blanches
obtenues. D ́eterminer la loi de probabilit ́e deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
2)on tire successivement 1 boule au hasard jusqu’`a ce qu’on obtienne une boule noire. SoitX
la variable al ́eatoire d ́esignant le nombre de tirages effectu ́es. D ́eterminer la loi de probabilit ́e
deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
3)on tire au hasard successivement avec remise 1 boule jusqu’`a ce qu’on obtienne soit une
boule noire soit 4 boules blanches. SoitXla variable al ́eatoire d ́esignant le nombre de tirages
effectu ́es. D ́eterminer la loi de probabilit ́e deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
4)on tire au hasard successivement avec remise 1 boule jusqu’`a ce qu’on obtienne deux boules
noires. SoitXla variable al ́eatoire d ́esignant le nombre de tirages effectu ́es. D ́eterminer la loi
de probabilit ́e deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
5)Reprendre les questions pr ́ec ́edentes, en supposant qu’il y a dans l’urnen
1
boules blanchesetn 2 boules noires.
Exercice 2
1)Une urneU
1
contient 3 boules noires et 2 blanches. Une seconde urneU
2
contient 2 boules
noires et 3 blanches. On tire simultan ́ement 2 boules deU
1
et on tire 1 boule deU
2
. SoitXla
variable al ́eatoire d ́esignant le nombre de boules blanches obtenues.
D ́eterminer la loi de probabilit ́e deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
2)Une urne contient 6 boules num ́erot ́ees de 1 `a 6. On tire au hasard 3 boules successivement
et sans remise. SoitXla variable al ́eatoire d ́esignant le plus grand des num ́eros tir ́es.
D ́eterminer la loi de probabilit ́e deXet calculer son esp ́erance et sa variance.
Exercice 3
On suppose que la probabilit ́e de naissance d’une fille est ́egale `a 0,45. Dans une famille de 8
enfants, quelle est la probabilit ́e des ́ev ́enements suivants :
A : Avoir au moins un gar ̧con.
B : Avoir autant de filles que de gar ̧cons.
Exercice 4
1)On lance 7 fois de suite une pi`ece de monaie non truqu ́ee.
a)Quelle est la probabilit ́e d’obtenir autant de faces que de piles ?
b)Quelle est la probabilit ́e d’obtenir plus de piles que de faces ?
2)Mˆemes questions en lan ̧cant la pi`ece de monaie un nombre impair de fois.
3)En lan ̧cant la pi`ece de monaie un nombre pair de fois, quelle est la probabilit ́e d’obtenir
autant de faces que de piles ?
Exercice 5
Le concierge d’un immeuble essaie d’ouvrir la porte de cet immeuble qui est ferm ́ee `a cl ́e. Il
poss`ede 10 cl ́es dont une seule ouvre effectivement la porte. On d ́esigne parXla variable
al ́eatoire repr ́esentant le nombre de tentatives pour ouvrir la porte.
Donner la loi de probabilit ́e deXet calculerE(X) etV(X) dans les deux cas suivants :
1)Le concierge ́elimine, apr`es chaque essai infructueux, la cl ́e qu’il vient d’essayer.
2)Le concierge oublie, apr`es chaque essai infructueux, d’ ́eliminer la cl ́e qu’il vient d’essayer.
Exercice 6
On consid`ere un groupe de 15 ́etudiants : 8 filles et 7 gar ̧cons. On choisit au hasard une ́equipe
de 5 ́etudiants.
1)Calculer la probabilit ́e que l’ ́equipe comporte au moins 2 gar ̧cons.
2)Calculer la probabilit ́e que l’ ́equipe comporte au plus 1 fille.
Exercice 7
Lors d’un examen de probabilit ́e, un candidat doit r ́epondre `a 10 questions. Si le candidat est
s ́erieux, la probabilit ́e qu’il donne une bonne r ́eponse `a une question est 0.75 et si le candidat
n’est pas s ́erieux, la probabilit ́e qu’il donne une bonne r ́eponse `a une question est 0.25.
Entre les deux ́ev ́enements suivants, quel est l’ ́ev ́enement le plus probable ?
A : obtenir 5 bonnes r ́eponses par le candidat s ́erieux.
B : obtenir 5 bonnes r ́eponses par le candidat non s ́erieux.
Exercice 8
1)On suppose qu’en moyenne, 10 personnes par heure se pr ́esentent `a un guichet automatique.
Quelle est la probabilit ́e pour qu’au moins 3 personnes se pr ́esentent au guichet pendant une
p ́eriode de 6 minutes ?
2)On admet qu’on observe en moyenne une ́etoile filante toutes les 2 minutes. Quelle est la
probabilit ́e d’observer au moins 5 ́etoiles filantes pendant 10 minutes ?
Exercice 9
On suppose que sur une autoroute il y a en moyenne un accident mortel par mois.1)Quelle
est la probabilit ́e qu’il n’y ait aucun accident mortel dans le mois prochain ?
2)Quelle est la probabilit ́e qu’il n’y ait aucun accident mortel dans les deux mois prochains ?
3)Quelle est la probabilit ́e que, dans l’ann ́ee prochaine, il y ait 3 mois sans accidents mortels?
Exercice 10
SoientXetYdeux variables al ́eatoires ind ́ependantes suivant des loi de Poisson de param`etres
respectifset.
1)D ́eterminer la loi de probabilit ́e deX+Y.
2)D ́eterminer la loi de probabilit ́e conditionnelle deXsachantX+Y.