Devoir mécanique des fluides corrigé - mécanique des fluide

Mécanique des Fluides : Devoir mécanique des fluides corrigé

Télécharger PDF

Obtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique des Fluides!

Vous souhaitez maîtriser Mécanique des Fluides ? Ne cherchez plus, nous avons le pack parfait pour vous.

Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...

Télécharger pack

2 ème Année

Mécanique des Fluides Devoir Surveillé (D.S) Exercice n°1 : (5 pts) On considère un cylindre (1) en acier, de rayon R et de hauteur H. Ce cylindre est suspendu par un fil (3) à l’intérieur d’un récipient contenant de l’huile (2). A l’équilibre : 1) Déterminer l’expression de la tension T du fil en utilisant la Relation Fondamentale de l’Hydrostatique. 2) Retrouver la même expression en appliquant le théorème d’Archimède. 3) Application numérique :

R=0,1 m et H=0,2 m ; g=9,81 m/s

2 ; la masse volumique de l’huile ρ

huile = 824 kg/m

3 ;

la masse volumique de l’acier ρ

acier =7800 kg/m3 . Exercice n° 2 : (5 pts)

Baromètre d’Huyghens : L’appareil est constitué d’une cuve à mercure dont la surface à l’air libre mesure S = 50 cm2 , dans laquelle plonge un tube contenant de bas en haut du mercure, de la glycérine et le vide. La section de ce tube est S

1 = 5cm

2 à l’interface entre le mercure et la glycérine et S2 = 0,25 cm

2 à l’interface entre la glycérine et le vide. 1) Exprimer la pression atmosphérique H en cm de mercure en fonction des abscisses x, x

1 et x

2 des surfaces séparant l’air atmosphérique, le mercure, la glycérine et le vide. 2) Exprimer la sensibilité de ce baromètre dx2 /dH, x

2 étant l’abscisse de la surface séparant la glycérine du vide. Quel est l’intérêt de ce baromètre ? A.N. Masse volumique du mercure : ρ = 13600 kg.m

–3 ; de la glycérine : μ = 1050 kg.m–3 . Exercice n°3 : (5 pts) Du liquide glycérique de masse volumique ρ = 1100 kg.m

-3 s’élève à une hauteur moyenne h=1.5cm le long d’un tube de verre vertical de rayon intérieur R = 0.4 mm. 1) Calculer le coefficient de tension superficielle σ de ce liquide en supposant qu’il mouille parfaitement le verre (α = 0). 2) On emploie ce liquide pour souffler une bulle de rayon r = 1 cm. Quelle est la surpression ΔP de la bulle ? 3) Quel travail total faut-il fournir pour amener la bulle à cette dimension ? a) En utilisant le travail des forces de pression. b) En utilisant l’énergie de surface 4) Déterminer le travail si l’on veut tripler le volume de cette bulle. La pression extérieure est supposée constante et égale à 1 atm. Exercice n°4 : (5 pts) Soit un tube en U et en verre, l’une de ces branches est un capillaire de rayon R=0.1 cm. Par sa branche large et dans la position verticale, on verse un liquide de masse volumique ρ

= 1g/cm

3 et de constante superficielle σ = 0.072 N/m. Le mouillement du liquide envers le verre est caractérisé par le rayon r et l’angle α = 30°. 1) Faire un schéma détaillé représentant r, R, α et h. 2) Déterminer la dénivellation h entre les deux niveaux du liquide 3) Sur l’extrémité supérieure du capillaire, on place une bulle sphérique, du même liquide et de rayon R’ = 2cm (voir figure ci dessous) a) Déterminer la pression P’

0 de l’air dans le tube capillaire. b) Quelle est la nouvelle dénivellation h’ entre les deux surfaces libres du liquide ? 0V Corrigé D.S1

M.D.F EX 1: (5 points) 1/A l’équilibre T +P+F A

+ F

B + FL =0F L force de pression sur la surface latéral Projection selon l’axe z →T-mg-P

A S+PB S=0 P

A : pression en A P

B : Pression en Bμ Avec P

B - P

A =ρhuile gh =>T= mg -(PB -PA ) s=ρ

acier shg-ρ

huile gHs

=>푇=(ρ

acier -ρhuile ) s.g.H=((ρ acier -ρhuile )πR2 .gH=T 2/ A l’équilibre T +P+P A =0P A

: poussé d’Archimède Projection selon l’axe z → T–mg +PA =0P A=ρ huile πR2 Hg →T =mg-PA = ρ

acier Vg- ρhuile πR2 Hgavec v= πR2 H T= ρacier πR

2 Hg - ρ

huile πR2 Hg =(ρacier −ρ

huile )πR2 Hg=T 3/ A.N T = (7800-824) π(0,1)

2 .0,2 .9,81 =429,5 N EX 2 : 1/ patom = ρg (x1 -x)+pg(x2 -x1 )

=>D’autre part :p

atom = ρ gH

2/ la conservation des volumes de mercure et de glycérine s’écrit : S1 dx

1 =Sdx et S

1 dx1 = S2 dx2 On a : dH =dx1 -dx+p ρdx 2

- pρ dx 1 exprimons dH en fonction de dx2 De 1→dx=−s 1s dx1 ; dx1 =s 2s 1dx 2 et dx= - s1 s. s2 s1 dx

2 => dH =s 2s 1dx 2+ 푠1 푠

. 푠2 푠1 dx2 +p ρd푥 2

- pρ s2 s1 dx2 dH =dx2 s2 s1 +s 2s +p ρ(1− s2 s1 )

=> H =x1 -x + Pρ (x2− x1 ) dHdx 2= s2 s1 +s 2s + pρ (1- s2 s

) on dx2 dH= 1s 2s 1+ s2 s+ pρ (1−s 2s 1) A.Ndx 2dH =7,8 ce baromètre est 8 fois plus sensible qu’un baromètre a mercure classique pour le quel dx2 dH

=1 EX3 : 1/ Appliquons la loi de Jurin

ρgh =2ς R

cosα α=0 →ρgh=2ς R→휎= 12 ρgRh A.N

ς=32,3 mj/m2 2/ appliquons la loi de LAPLACE ∆p=4ς r

AN : ∆p=12,9 pa 3/ a)

calcul de travail w en utilitaire le travail des forces de pressionW= ∆p.dv=r 04ς rr 04πr 2

dr =

16πςrdr=8πςr2 r0 A.N : w=81,17휇j

b) calcul du travail w en utilisant l’anergie de surface:

W :ς.2S =ς.2.4πr2 A) W := ς.2(Sf −Si )S i =4πr2 etV i= 4

3 πr3 V

f= 3vi →4 3 πr′3 =3. 4

3 πr3 S

f= 4πr′

2 etV f= 4

3 πr′3 →r′3 =3r3 →r′ =r3 3 → w=ς.2 4π(32 3).r 2 − 4πr2 = 2ς4πr2 (32 3 -1)

A.N. w=2.32,3.10

−3 4. π.10−4 . (2,08-1)=87,67 휇j A P0 r 훼 P0 h′ EX4 : P

O 훼 h 2/PO -PA =2ς ravec PA =PO -ρgh= Donc PO −(PO −ρgh)= 2ςr => ρgh=2ς r avec R=rcosα => ρgh= 2ςR cosα => h=2ς ρgRcosα A.N H= 12,7mm 3/ la pression P0 ′ de l’air dans le capillaire est égale a celle de l’air contenu dans le brille de liquide a) P0 ′−P O= 4휎푅 ′P 0′ =PO +4ς R′ AN :P0 ′

= (105 +14,4) PO b) Dans le capillaire la surpression ∆P sur la surface libre du liquide entraîne une baisse de dénivellation initiale de ∆P tel que : ∆p =P0 ′−P O

= ρg∆h =>∆h=∆P ρg

AN : ∆h =1,47 mm La dénivellation h’ entre le deux niveaux des liquides est : h’= h-∆h

A.N : h’=12,7 -1,47=11,23 mm