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Mécanique des Fluides : Td mecanique des fluides

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Licence de Physique et Applications Année 2008-2009 MÉCANIQUE DES FLUIDES

MÉCANIQUE DES FLUIDESMÉCANIQUE DES FLUIDES

MÉCANIQUE DES FLUIDES TRAVAUX DIRIGÉS TD 1 : Statique des fluides TD 2 : Cinématique des fluides TD 3 : Dynamique des fluides parfaits TD 4 : Dynamique des fluides réels Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 1

TD 1 Hydrostatique Loi fondamentale de l’hydrostatique Dans tous les exercices suivants, hormis l’exercice 6, le fluide est incompressible et en équilibre. Exercice 1 - Mesure d’une pression par un tube piézométrique Soit un point M d’un liquide en équilibre. Faisons déboucher en M un tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteur verticale z au-dessus de M. Le niveau A atteint par le liquide dans le tube s’appelle niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide dans le tube est pa . Montrer que la mesure de la pression p

M en M peut se faire par la mesure de la hauteur z en donnant la relation qui relie les deux variables. A.N. Quelles sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m3 ) ; le fluide est de l’eau (ρ = 1 000 kg/m3 ). Exercice 2 - Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli L’appareil représenté sur la figure ci-contre

permet de mesurer la pression d’un fluide, un gaz par exemple, par la mesure de la longueur L. Le gaz est en contact avec un seul liquide. Exprimer p en fonction de L. Montrer que la sensibilité ∆L/∆p augmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool au lieu du mercure) et si l’angle α du tube avec l’horizontal diminue. Exercice 3 – Siphon Un siphon est essentiellement constitué par un tube en J renversé, dont les deux extrémités ouvertes plongent dans deux récipients situés à des niveaux différents. Supposons qu’un robinet soit placé à l’extrémité inférieure et soit tout d’abord fermé. Les deux récipients contiennent un même liquide et le siphon est aussi rempli intégralement de ce liquide. Exprimer la pression au point B’ au-dessus du robinet en fonction de la pression B’’ dans le récipient inférieur. Que se passe-t-il lorsque l’on ouvre le robinet ? vide Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 2

Exercice 4 - Tube en U Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans une des branches, on verse de l’eau ; dans l’autre, on verse de l’alcool. On constate que les surfaces libres de l’eau et de l’alcool (surfaces en contact avec l’atmosphère) sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de niveau de 0,5 cm entre les deux branches du U. Faire un schéma représentatif du système. Calculer les hauteurs h et h’ d’eau et d’alcool. On donne : masse volumique du mercure : 13,6 g/cm3 masse volumique de l’alcool : 0,8 g/cm

3 Exercice 5 - Manomètre à deux liquides La figure montre un manomètre différentiel à deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ et ρ’ voisines. Pour que la surface de séparation des deux liquides puisse subsister, il faut que le liquide le plus dense soit au-dessous ; dans le cas de la figure, il faut donc que ρ < ρ’. Si la pression étudiée p augmente de ∆p, le niveau de la surface de séparation des deux liquides baisse de z. Exprimer ∆p et la sensibilité z/∆p en fonction de ρ, ρ’ et des sections droites s et S du tube et des cuves. A.N. On utilise souvent l’eau à 20 °C (ρ = 998 kg/m3 ) et l’aniline à 20 °C (ρ’ = 1 022 kg/m3 ). Calculer la variation de pression correspondant à une variation de niveau z de 1 mm, si S/s = 100. Comparer à un manomètre à liquide simple (exercice 2 avec α = π/2). Exercice 6 - Répartition de pression dans l’océan Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon la loi ()()00 ppa1−+ρ=ρ où a = 10

-10 Pa-1 . La profondeur est notée h. Pour h = 0, p = p

0 = 10

5 Pa et ρ = ρ0 = 10

3 kg/m3 . Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? A.N. : h = 1 km. Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ? Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 3

Forces hydrostatiques Exercice 7 - Force de pression Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée dans la paroi verticale d'un réservoir contenant de l'eau (voir figure ci-contre). On souhaite que cette porte s'ouvre automatiquement quand le niveau d'eau par rapport au bord supérieur de la porte dépasse 10 m. 1. Établir l'expression littérale de la force de pression exercée sur la porte en fonction du niveau d'eau H, de la hauteur h de la porte et de sa largeur l.

2. Évaluer numériquement l'intensité de la force exercée pour une porte de 4 m de haut et un niveau H = 10 m. Exercice 8 - Forces sur les parois d’un vase Préliminaire : Calculer la poussée qui s’exerce sur une surface plane rectangulaire de longueur L et dont la largeur est la trace AB, inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal. Calculer la force de pression du liquide sur chacune des parois du vase décrit ci-dessous. Quelle est la résultante ? La comparer au poids du liquide. Les deux parois latérales sont inclinées d’un angle α. Les deux autres parois sont verticales. La base est carrée. Exercice 9 - Aréomètre Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V surmontée d’un tube capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble est étanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse volumique ρ0 ), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0. Si on le plonge dans un liquide de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La masse volumique ρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ

0 ? Exprimer la densité d = ρ / ρ

0 en fonction de x et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆x / ∆d. Pour quel liquide le densimètre est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil. A.N. : V = 10

-5 m

3 ; s = 10

-5 m

2 ; l = 12 cm. Exercice 10 - Corps flottant Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant que la masse volumique de la glace est de 900 kg/m

3 et celle de l’eau salée 1 025 kg/m

3 ? Que pensez-vous de l’augmentation de l’eau des océans due à la fonte des icebergs ? α A B α a h H = 10 m

h = 4 m

H = 10 m

h = 4 m0 zdz Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 4

TD 2

Cinématique des fluides Trajectoires et lignes de courant Exercice 1 Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse : u = u0 ,

v = v

0 + at,

w = 0 Étudier les lignes de courant et les trajectoires. Rotation et déformation Exercice 2 On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes, en coordonnées cylindriques et pour r ≠ 0 : 0v,r BArv,0v zr=+== θ

où A et B sont deux constantes. Le mouvement se fait-il de façon isovolume ? Calculer les composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation. Après avoir identifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréter physiquement les résultats. Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 5

TD 3

Dynamique des fluides parfaits

Conservation de la masse. Débit massique Exercice 1 – Expression macroscopique d’un bilan de masse On examine une partie fixe Ω de l’espace, constamment emplie de fluide. 1.

On note son volume V, sa frontière A et m(t) la masse de fluide que cette partie Ω contient à l’instant t. En faisant un bilan de masse sur le volume V, exprimer le taux de variation ()dt tdm

de masse par rapport au temps. 2.

On applique ce qui précède à la partie Ω de volume V constituée par un élément de conduit de section d’entrée A

1 et de section de sortie A2 . L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée et en sortie. La vitesse dans la section A

i est notée vi . Quelle est alors l’expression de ()dt tdm ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire et incompressible ? Exercice 2 – Champ de vitesse Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontal d’axe Ox de section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est : ()

xx rvvxe re=−αrr r

où α est une constante donnée. 1.

L’écoulement est-il permanent (= stationnaire) ? 2.

En vous aidant de l’équation de continuité (équation locale traduisant la conservation de la masse) d’un fluide incompressible, calculer ()x vx sachant que ()x0 v0v= est donné. 3.

Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit à la sortie du tuyau. 4.

Calculer le champ d’accélération du fluide ar . 5.

L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ? Ω V A nv Le volume de contrôle V est fixe. Sa surface est A. La normale extérieure en un point de cette surface est nv . 1v r2 vr nv A1 A2 Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 6

Théorème de Bernoulli Exercice 3 – ÉÉÉ Écoulement à travers un ajutage Une cuve est remplie d’eau (voir schéma ci-dessous). On supposera que le niveau A dans la cuve est constant. Le fluide s’écoule par un trou de diamètre D situé dans le fond de la cuve. L’eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible. 1. Énoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en précisant la signification des différents termes. 2. Appliquer le théorème de Bernoulli entre les points A et B et déterminer l’expression littérale de la vitesse v

B au niveau du trou. 3. Donner les relations permettant de calculer le débit-volume et le débit-masse au point B. 4. Calculer numériquement la vitesse v

B et le débit-volume au point B. 5. En fait, le débit réel vaut 0,92 L/s. Comparer à la valeur trouvée ci-dessus. On explique en partie cette différence par une

contraction de la veine liquide à la sortie de l’orifice. En déduire le diamètre D’ de la veine liquide à la sortie de la cuve. Valeurs numériques : H = 0,82 m

D = 2,0 cm

ρ = 1000 kg/m

3 Exercice 4 – Mesure de débit avec un Venturi incliné Une des méthodes peu coûteuses employées pour la mesure du débit dans une canalisation est

l’utilisation d’un tube de Venturi. Il est proposé de démontrer qu’avec cet instrument, il est possible, en supposantque l’écoulement

stationnaireest unidimensionnel au moins dans les sections A

0 et A1 et que le fluide circulant est dénué de viscosité, de calculer le débit de ce fluide, et ceci sans

qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil. Le fluide en écoulement est une huile incompressible de masse volumique ρ = 820 kg/m3 . La section A0 d’entrée dans le Venturi est caractérisée par son diamètre D0 = 125 mm. La seconde prise de

pression statique est en section A

1 où le diamètre est D

1 = 50 mm. A l’intérieur du tube en U où aboutissent les prises de pression est placé un fluide de mesure de masse volumique ρ

m = 13 600 kg/m

3 (mercure). L’inclinaison du tube et les différentes cotes de niveaux sont repérées par rapport à une base

horizontale arbitraire. En supposant qu’une ligne de courant (au moins) passe par des points voisins de chacun des orifices de prise de pression, calculer la valeur du débit volumique d’huile, lorsque la dénivellation observée dans le tube en U est ∆h = 200 mm. On prendra g = 9,81 m/s2 . AB zH 0

atmosphère

atmosphère

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On procède d’une autre manière pour aboutir au résultat. On supprime l’hypothèse de la ligne de courant passant par les deux orifices et on suppose à la place que l’écoulement est rectiligne en chacune des deux sections A

0 et A1 . Retrouver le résultat précédent en vous appuyant sur la ligne de courant médiane. Exercice 5 – Jet décoratif Conformément au croquis ci-dessous, la conduite d’amenée d’un jet d’eau à caractère décoratif a un diamètre intérieur d

1 = 0,8 m et se termine par un embout d

2 = 0,1 m. La hauteur du jet d’eau est de 160 m et sa sortie est située à 2 m au-dessus de l’axe de la tuyauterie. On donne ρ

eau = 1 000 kg/m3 . On néglige les différentes pertes de pression et les

variations de pression atmosphérique dues aux différences d’altitude (p

0 = 101 325 Pa). a. Calculer la pression totale du fluide, définie par p + ρgz + ρv2 /2, au point 3, sommet du jet. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie du jet, v2 , en utilisant le théorème de Bernoulli entre 2 et 3. b. Calculer le débit massique d’eau m

& puis la vitesse v1 dans la conduite d’amenée. c. Toujours par application du théorème de Bernoulli, calculer la pression p

1 qui règne dans la conduite d’amenée au niveau de l’axe. d. Déterminer la pression p1 ’ indiquée par le manomètre piqué sur la paroi de la conduite d’amenée. Bilan de la quantité de mouvement sous forme globale (théorème d’Euler) Exercice 6 – Effort subi par un diffuseur Un fluide incompressible, de masse volumique ρ, circule dans un conduit dont la section augmente progressivement1 , passant de A

e à A

s > Ae . On pose α = Ae /A

s (0 ≤ α ≤ 1). Un tel écoulement soumet la conduite à un effort F qu’il s’agit de calculer en négligeant les forces de pesanteur et de viscosité. Les profils de vitesse et de pression seront pris uniformes dans les deux sections A

e et As . Exprimer F en fonction des grandeurs

d’entrée et de sortie ; puis, en appliquant le théorème de Bernoulli entre l’amont et l’aval du diffuseur, exprimer le résultat à partir des valeurs prises dans la section d’entrée. 1 Le résultat n’aura de sens en pratique qu’en l’absence de décollement dans le divergent. Cette condition est en général vérifiée pour une valeur de l’angle du divergent inférieure ou de l’ordre de 7 à 8 degrés. en rs nr Ae As S v

e v

s p1 ’

z (m)

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Exercice 7 – Poussée d’un moteur à réaction La figure ci-dessous représente le modèle du moteur qui sert de base à l’analyse. Nous utilisons un système de coordonnées en translation uniforme avec le moteur ; dans ce système, le moteur est au repos et le fluide situé en amont se dirige vers le moteur à la vitesse v0 . La section d’entrée du fluide dans le volume de contrôle (voir figure) est placée suffisamment en amont du moteur de telle sorte que la pression et la vitesse qui règnent dans cette section soient respectivement p0 et v

0 (les conditions à l’infini amont dans l’écoulement libre). La section de sortie du fluide est la section de sortie du moteur et les conditions qui règnent dans cette section d’éjection sont pe , ve . Le débit masse rentrant dans le moteur est am & et le débit sortant, constitué par la somme du débit d’air et du débit de carburant est : faemmm &&&

+=. Calculer la poussée développée par le moteur en appliquant le théorème des quantités de mouvement. On négligera les forces de pesanteur. A.N. : Un turboréacteur propulse un avion à une vitesse constante de 300 m/s. Le débit masse d’air qui passe dans le turboréacteur est de 90 kg/s, le débit de carburant est de 2 kg/s. La vitesse d’éjection des gaz est de 620 m/s et la pression d’éjection est égale à la pression ambiante. Volume de contrôle pour la détermination de la poussée d’un turboréacteur. Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 9

TD 4

Dynamique des fluides réels Viscosité Exercice 1 – Palier lubrifié On considère un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200 tours/mindans unpalier lubrifié.On supposeraque l’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h = 0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa masse volumique est ρ = 920 kg/m3 . Le palier mesure 5 cm de longueur. On tiendra compte du fait que la distance entre l’axe et le palier est petite devant le rayon moyen. On suppose que la charge sur l’axe est très faible, de telle sorte que les forces de frottement associées à la viscosité sont seules importantes. Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force de frottement développé sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tourner l’axe. Équation de Navier-Stokes Exercice 2 – Écoulement de Couette On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaque supérieure est en mouvement à la vitesse V, alors que la plaque inférieure est statique. Les deux plaques sont considérées de dimensions infinies dans les deux directions x et y. L’écoulement est unidimensionnel, parallèle à la direction x. On note μ le coefficient de viscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On étudie le régime permanent. 1. Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses. 2. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera, sans le démontrer, que la pression ne varie pas suivant x (car plaques infinies). 3. Montrer que la pression varie, sur une verticale, suivant une loi hydrostatique. hx zV Examens,Cours,exercices Aeronautique Disponible sur site : vbvb/ 10

4. Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mouvement et en utilisant les conditions aux limites correspondantes. 5. Considérons la situation pour laquelle le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm. La vitesse de la plaque en mouvement est V = 10 m/s. On suppose que les propriétés de l’huile sont constantes. On donne : ρ = 888,2 kg/m3 ν = μ/ρ = 900 10

-6 m2 /s Déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l'expression de la force par unité de surface nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieure à vitesse constante V. Exercice 3 – Écoulement de Poiseuille plan On considère une géométrie idéale où le fluide incompressible de viscosité μ s’écoule entre deux plans fixes parallèles distants d’une largeur 2h. On suppose en outre que le fluide est non pesant (forces de gravité négligeables) et que le mouvement est permanent (stationnaire dans le temps), rectiligne, parallèle aux plans et bidimensionnel. Conformément aux notations de la figure, on prend l’axe des x colinéaire à celui du mouvement, la direction normale aux plans étant prise pour axe y. L’axe z, orthogonal au plan de la figure complète le trièdre orthonormé. On désigne par vx , v

y et v

z les composantes du vecteur vitesse dans le repère ainsi constitué et par p la pression. En raison du caractère plan de l’écoulement on a, pour toute fonction du champ de celui-ci 0z=∂∂, et par raison de stationnarité 0t=∂∂. Le problème dynamique posé par cet écoulement se réduit donc à la détermination des quatre fonctions scalaires vx (x,y), vy (x,y), vz (x,y) et p(x,y) entre les deux plans. 6. Traduisez le caractère parallèle du mouvement et écrivez l’équation de continuité. 7. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement (en les simplifiant au maximum compte tenu des hypothèses). 8. Comment la pression varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend la vitesse v

x ? Réécrivez alors la 1

re équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deux fonctions inconnues à variables séparées. 9. En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p

0 la pression de référence en x = 0, et A la constante qui subsiste après l’intégration. 10. Déterminez le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A. Que vaut la vitesse maximale en fonction de h, μ et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse moyenne ? Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur (largeur = dimen