Mécanique des Fluides : Td mecanique des fluides
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TD 1 : Statique des fluides
Licence de Physique et Applications – Année 2008-2009
Dans tous les exercices suivants, hormis l’exercice 6, le fluide est incompressible et en équilibre.
Exercice 1 – Mesure d’une pression par un tube piézométrique
Soit un point M d’un liquide en équilibre. Faisons déboucher en M un tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteur verticale z au-dessus de M. Le niveau A atteint par le liquide dans le tube s’appelle niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide dans le tube est pa.
Montrer que la mesure de la pression p en M peut se faire par la mesure de la hauteur z en donnant la relation qui relie les deux variables.
Application numérique : Quelles sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m³) ; le fluide est de l’eau (ρ = 1 000 kg/m³) ?
Exercice 2 – Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli
L’appareil permet de mesurer la pression d’un fluide, un gaz par exemple, par la mesure de la longueur L. Le gaz est en contact avec un seul liquide.
Exprimer p en fonction de L. Montrer que la sensibilité ∆L/∆p augmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool au lieu du mercure) et si l’angle α du tube avec l’horizontal diminue.
Exercice 3 – Siphon
Un siphon est constitué par un tube en J renversé, dont les deux extrémités ouvertes plongent dans deux récipients situés à des niveaux différents. Supposons qu’un robinet soit placé à l’extrémité inférieure et soit tout d’abord fermé. Les deux récipients contiennent un même liquide et le siphon est rempli intégralement de ce liquide.
Exprimer la pression au point B’ au-dessus du robinet en fonction de la pression B’’ dans le récipient inférieur. Que se passe-t-il lorsque l’on ouvre le robinet ?
Exercice 4 – Tube en U
Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans une des branches, on verse de l’eau ; dans l’autre, on verse de l’alcool. On constate que les surfaces libres de l’eau et de l’alcool (en contact avec l’atmosphère) sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de niveau de 0,5 cm entre les deux branches du U.
Faire un schéma représentatif du système. Calculer les hauteurs h et h’ d’eau et d’alcool.
Données : masse volumique du mercure = 13,6 g/cm³ ; masse volumique de l’alcool = 0,8 g/cm³.
Exercice 5 – Manomètre à deux liquides
Un manomètre différentiel à deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ et ρ’ voisines est utilisé. Pour que la surface de séparation des deux liquides puisse subsister, il faut que le liquide le plus dense soit au-dessous (ρ < ρ’). Si la pression étudiée p augmente de ∆p, le niveau de la surface de séparation baisse de z.
Exprimer ∆p et la sensibilité z/∆p en fonction de ρ, ρ’, des sections droites s et S du tube et des cuves.
Application numérique : On utilise souvent l’eau à 20 °C (ρ = 998 kg/m³) et l’aniline à 20 °C (ρ’ = 1 022 kg/m³). Calculer la variation de pression correspondant à une variation de niveau z de 1 mm, si S/s = 100. Comparer à un manomètre à liquide simple (exercice 2 avec α = π/2).
Exercice 6 – Répartition de pression dans l’océan
Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon la loi : ρ = ρ₀(1 + a(p - p₀)), où a = 10⁻¹⁰ Pa⁻¹. La profondeur est notée h. Pour h = 0, p = p₀ = 10⁵ Pa et ρ = ρ₀ = 10³ kg/m³.
Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ?
Application numérique : Pour h = 1 km, quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?
Forces hydrostatiques
Exercice 7 – Force de pression
Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée dans la paroi verticale d’un réservoir contenant de l’eau.
Établir l’expression littérale de la force de pression exercée sur la porte en fonction du niveau d’eau H, de la hauteur h de la porte et de sa largeur l.
Évaluer numériquement l’intensité de la force exercée pour une porte de 4 m de haut et un niveau H = 10 m.
Exercice 8 – Forces sur les parois d’un vase
Préliminaire : Calculer la poussée qui s’exerce sur une surface plane rectangulaire de longueur L et de largeur AB, inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal.
Calculer la force de pression du liquide sur chacune des parois du vase décrit ci-dessous. Quelle est la résultante ? La comparer au poids du liquide.
Les deux parois latérales sont inclinées d’un angle α. Les deux autres parois sont verticales. La base est carrée.
Exercice 9 – Aréomètre
Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V surmontée d’un tube capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble est étanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse volumique ρ₀), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0.
Si on le plonge dans un liquide de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x.
La masse volumique ρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ₀ ? Exprimer la densité d = ρ/ρ₀ en fonction de x et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆x/∆d.
Pour quel liquide le densimètre est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil.
Application numérique : V = 10⁻⁵ m³ ; s = 10⁻⁵ m² ; l = 12 cm.
Exercice 10 – Corps flottant
Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant que la masse volumique de la glace est de 900 kg/m³ et celle de l’eau salée de 1 025 kg/m³ ?
Que pensez-vous de l’augmentation du niveau des océans due à la fonte des icebergs ?
TD 2 : Cinématique des fluides
Exercice 1 – Trajectoires et lignes de courant
Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse : u = u₀, v = v₀ + at, w = 0.
Étudier les lignes de courant et les trajectoires.
Exercice 2 – Rotation et déformation
On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes, en coordonnées cylindriques et pour r ≠ 0 : v_r = Ar, v_θ = 0, v_z = Br.
Le mouvement se fait-il de façon isovolume ? Calculer les composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation.
Après avoir identifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréter physiquement les résultats.
TD 3 : Dynamique des fluides parfaits
Exercice 1 – Expression macroscopique d’un bilan de masse
On examine une partie fixe Ω de l’espace, constamment emplie de fluide.
1. On note son volume V, sa frontière A et m(t) la masse de fluide que cette partie Ω contient à l’instant t. En faisant un bilan de masse sur le volume V, exprimer le taux de variation (dm/dt) de masse par rapport au temps.
2. On applique ce qui précède à la partie Ω de volume V constituée par un élément de conduit de section d’entrée A₁ et de section de sortie A₂. L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée et en sortie. La vitesse dans la section Aᵢ est notée vᵢ.
Quelle est alors l’expression de (dm/dt) ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire et incompressible ?
Exercice 2 – Champ de vitesse
Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontal d’axe Ox de section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est : v_x = x, v_r = -αr², v_θ = 0.
1. L’écoulement est-il permanent (stationnaire) ?
2. En vous aidant de l’équation de continuité (conservation de la masse), calculer v_x en fonction de v₀, sachant que v₀ = v(R₀) est donné.
3. Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit à la sortie du tuyau.
4. Calculer le champ d’accélération du fluide a_r.
5. L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ?
TD 4 : Dynamique des fluides réels
Exercice 1 – Palier lubrifié
Un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200 tours/minute dans un palier lubrifié. L’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h = 0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa masse volumique est ρ = 920 kg/m³. Le palier mesure 5 cm de longueur.
Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force de frottement développée sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tourner l’axe.
Exercice 2 – Écoulement de Couette
On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaque supérieure est en mouvement à la vitesse V, alors que la plaque inférieure est statique.
1. Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses.
2. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera que la pression ne varie pas suivant x.
3. Montrer que la pression varie suivant une loi hydrostatique.
4. Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mouvement et en utilisant les conditions aux limites.
Application numérique : Pour de l’huile moteur avec h = 3 mm et V = 10 m/s, déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l’expression de la force par unité de surface nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieure.
Données : ρ = 888,2 kg/m³ ; ν = μ/ρ = 900 × 10⁻⁶ m²/s.
Exercice 3 – Écoulement de Poiseuille plan
Un fluide incompressible de viscosité μ s’écoule entre deux plans fixes parallèles distants de 2h. On suppose que le fluide est non pesant et que le mouvement est permanent, rectiligne et bidimensionnel.
1. Traduire le caractère parallèle du mouvement et écrire l’équation de continuité.
2. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement.
3. Comment la pression varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend la vitesse v_x ? Réécrire la première équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deux fonctions inconnues à variables séparées.
4. En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p₀ la pression de référence en x = 0 et A la constante après intégration.
5. Déterminer le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A. Que vaut la vitesse maximale en fonction de h, μ et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse moyenne ? Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un fluide incompressible ?
Un fluide incompressible est un fluide dont la masse volumique ne varie pas avec la pression. Cela simplifie les calculs en statique et dynamique des fluides.
2. Comment interpréter la différence de niveau dans un tube en U ?
La différence de niveau dans un tube en U dépend des masses volumiques des liquides en présence et de la pression exercée. Elle permet de mesurer des différences de pression.
3. Qu’est-ce que le théorème de Bernoulli ?
Le théorème de Bernoulli énonce que pour un fluide parfait incompressible en écoulement permanent, la somme de la pression, de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle par unité de volume reste constante le long d’une ligne de courant.