Mécanique des Fluides : Épreuve de mécanique avec 7 exercices.pdf
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— SESSION 2009 —
ÉPREUVE DE MÉCANIQUE
CODE ÉPREUVE : BE-MÉCA
CALCULATRICE INTERDITE
DURÉE : 2H30
Exercice 1
On se propose dans cet exercice d’étudier le montage de roulements présenté sur laFigure 1.
L’arbre guidé en rotation supporte la roue dentée d’un engrenage à denture hélicoïdale présentant un
angle d’hélice de 20 degrés.
Figure 1 – Montage de roulements
(A) L’angle d’hélice de l’engrenage à denture hélicoïdale est toujoursstrictementégal à 20 de-
grés pour des raisons cinématiques.
(B) Compte tenu de l’angle d’hélice de 20 degrés, les effortsaxiaux induits par l’engrènement
sont négligeables face aux efforts radiaux et tangentiels pour effectuer le calcul de durée de
vie des roulements.
(C) De manière générale, pour un montage avec un effort en porte-à-faux comme celui présenté
sur laFigure 1, un montage « en O » est plus rigide qu’un montage « en X ».
(D) Si les efforts axiaux exercés par la roue dentée sur l’arbre sont toujours dirigés vers la gauche,
alors le circlips réalisant l’arrêt axial sur la bague extérieure du roulement de droite est inutile.
(E) La schématisation présentée à laFigure 2est une modélisation correcte du montage de rou-
lements de laFigure 1.x llR 12ABX CD Fx Yz Figure 2 – Schématisation du montage de roulements
Exercice 2
Indépendammentde l’exercice précédent, on s’intéresse à la flexion de l’arbre présenté sur la
Figure 2. On suppose que l’arbre possède une section creuse représentée sur laFigure 3, paramétrée
par les rayons intérieurRi et extérieurRe . On note~ F l’effort exercé par le milieu extérieur sur la roue
dentée, avec :~ F=Fa ~X+F r~ Y
(sur laFigure 2,Fa etFr sont négatifs).Y zx Re Ri Figure 3 – Section de l’arbre creux
(A) L’inertie de la section de l’arbre par rapport à l’axe(C,~ X)est donnée par :I= π2 (R4 e−R 4i )
(B) Les actions transmissibles par la liaison en A peuvent être représentées par le torseur suivant : TA = −F a~ X+ (Fr l2 l1 −Fa Rl 1) ~Y ~0 A (C) En A, on a choisi d’utiliser un roulement rigide à billes permettant un certain rotulage. Il
n’existe pas de roulement présentant un rotulage supérieurà celui d’un roulement rigide àbilles. (D) Si l’effort~ F augmente,l’unique objectifd’une augmentation du diamètre de l’arbre est de
pouvoir utiliser des roulements de taille plus importante,pouvant ainsi supporter des charges
statiques et dynamiques supérieures.
(E) Les efforts intérieurs à l’arbre (ou efforts de cohésion) au point X, situé à la distancexde A
(avec 0<x<l1 ), sont représentables par le torseur suivant : Tint = F a~ X+ (Fa Rl 1−F rl 2l 1) ~Y x(Fr l2 l1 −Fa Rl 1) ~Z X Exercice 3
Le système considéré est un dispositif de freinage schématisé sur laFigure 4. Un système hydrau-
lique exerce un effortFsur la garniture, ce qui se traduit par une pressionp,supposée uniforme, entre
la garniture et le tambour. Le ressort symbolise un élément élastique dont la fonction est d’exercer un
rappel de la garniture. On noterle rayon du tambour,esa largeur dans la direction perpendiculaire à
la figure etαle demi-angle qui permet de paramétrer la dimension de la garniture. Enfin, on notefle
coefficient de frottement entre la garniture et le tambour.x Yz pression ptambour Fα θ-α r
garniture
Figure 4 – Système de freinage
(A) Le ressort symbolisé est réalisé par un empilement de rondelles de type « belleville » (voir
Figure 5). L’empilement utilisé est un empilement en série, dit aussi « en colonne ». Ce type
d’empilement est plus rigide que l’empilement en parallèle, dit aussi « en paquet ».
(B) Si l’on néglige l’effort du ressort sur la garniture, la pressionpexercée par la garniture sur le
tambour est relié à l’effort hydrauliqueFpar la relation :p= F
2e rsinα
(C) Si l’on néglige l’effort du ressort sur la garniture et qu’on considèreαpetit, la relation entre
le couple de freinageCf et l’effort hydrauliqueFpeut se mettre sous la forme approchée
suivante :C f
≃r f F
(D) Le couple de matériaux utilisés pour les garnitures de freins classiques en automobile permet
un coefficient de frottement de l’ordre de 0,8.
(E) Il est impossible, pour des raisons physiques, de trouver des couples de matériaux possédant
un coefficient de frottement supérieur à 1.
Figure 5 – Empilement de rondelles « belleville » : en série (àgauche) et en parallèle (à droite)
Exercice 4
Le système schématisé sur laFigure 6est inspiré d’un sous-ensemble de bras de robot manipula-
teur. Le mouvement est commandé par un vérin symbolisé par laliaison glissière d’axe A’C’.A Fx Yz A'D BC C'E Figure 6 – Sous-système de robot manipulateur
(A) Le systèmeétudié dans le planest un système isostatique.
(B) Le systèmeétudié dans l’espaceest un système hyperstatique d’ordre 5.
(C) En supprimant la barre CD, on obtient un système isostatiqueà la foisdans le plan et dans
l’espace.A Fx Yz DB CE LL XY l/2l/2 le dθ α
Figure 7 – Version simplifiée du système
Dans la suite, on utilisera le schéma de laFigure 7, qui est une version simplifiée du système,
dans laquelle les points A et A’ d’une part, et C et C’ d’autre part, sont confondus.
(D) La loi entrée/sortie du système reliant la longueurede la barre AC à la hauteurYdu point B
(voir laFigure 7), s’écrit :Y= e2 −L2 −l2 2l
(E) La vitesse du centre de liaison B par rapport au bâti, notéR0 , est égale à :~ V(B/R0 ) =
e ̇el ~Y Exercice 5
On cherche à caractériser les mouvements du système présentéavec son paramétragesur la
Figure 8. La liaison entre la pièce1et le bâti0est une liaison hélicoïdale d’axe(O1 ,~ Z0 ) = (O1 ,~ Z1 ),
dont le pas est notépet les paramètres de translation et de rotation sont notésy=−−−→ O1 O2 ~ Z0 et
α= (~ X0 ,~ X1 ). La liaison entre1et2est une pivot d’axe(O2 ,~ X1 ) = (O2 ,~ X2 )paramétrée par l’angle
β= (~ Z1 ,~ Z2 ). La liaison entre2et3est une pivot d’axe(O3 ,~ Y2 ) = (O3 ,~ Y3 )paramétrée par l’angle
θ= (~ X2 ,~ X3 ). On pose−−−→ O2 O3 =l2 ~Y 2et −−−→O 3O 4=l 3~ X3 .x zY 00 0x 1Y 1z 1x 1Y 1Y 2z 2x 3Y 2z 2z 3x 2O αβ θy pas p3 21 01 O2 O3 O4 Figure 8 – Paramétrage d’un système robotisé
(A) Le mouvement du solide3par rapport au bâti0peut être représenté par le torseur cinématique
suivant : V(3/0) =
̇α ~Z 1
+ ̇β ~X 2
+ ̇θ ~Y 3p 2π ̇α ~Z 1 O2 Dans la suite, on néglige la masse et l’inertie des ensembles1et3. La forme de l’ensemble2
est schématisée sur laFigure 9. La matrice d’inertie au pointO2 de cet ensemble est notée :I(O 2
,2) = A−F−E −FB−D−E−DC (~ X2 ,~ Y2 ,~ Z2 )
Le pointO2 est situé à la distanceade la face gauche, à la distanced2 /2 de la face avant et à
la distanced3 /2 de la face inférieure.
(B) La matrice d’inertie, exprimée enO2 ,en tenant compte du perçage, est diagonale dans labase( ~X 2, ~Y 2, ~Z 2). Dans la suite, onnéglige le perçage et la distancea. On suppose de plus que la distanced1 est très grande devantd2 etd3 .mdésigne la masse de la pièce.
(C) On peut alors en conclure que le termeAde la matrice d’inertie est très grand devant les
termesBetC.
(D) Le torseur cinétique de la pièce2dans son mouvement par rapport à0peut s’écrire au pointO 2: C(2/0) = m ~Z 1
A ̇β ~X 2
+C ̇α ~Z 2 O2 (E) L’énergie cinétique du solide2dans son mouvement par rapport à0s’écrit, quel que soit le
point où on la calcule :
T(2/0) =1 2
m ̇y2 +1 2
A ̇β 2+ 12 B ̇α 2sin 2β+ 12 C ̇α 2cos 2β xz Yd 1d 2d 3O 22 2a 2
Figure 9 – Forme schématique de l’ensemble2
Exercice 6
(A) Un emmanchement conique est souvent utilisé pour assembler deux pièces ensemble. Dans
ce cas, la valeur de l’angle du cône qui assure l’adhérence est indépendante des matériaux
utilisés.
(B) La réalisation d’un assemblage par vis permet parfois d’assurer une pression suffisante entre
les deux pièces pour pouvoir réaliser une étanchéité directe. Dans ce cas, il est souhaitable
que les vis assurent à la fois la fonction « Mettre en position» et la fonction « Maintenir en
position » d’une pièce par rapport à l’autre.
(C) La réalisation d’une étanchéité entre deux pièces en rotation nécessite obligatoirement l’uti-
lisation d’un joint à lèvre.
(D) Le dimensionnement de vis pour réaliser un assemblage boulonné peut se faireen première
approximationen assimilant les vis à des poutres droites sollicitées en traction.
(E) Les systèmes à came sont utilisés car ce sont les seuls systèmes à permettre une transmission
parfaitement homocinétique.
Exercice 7
(A) La trempe d’un acier consiste en un chauffage au-delà de la température d’austénitisation, un
maintien à cette température pendant un temps déterminé et un refroidissement à une vitesse
déterminée.
(B) On peut améliorer la résilience d’un acier en réalisant une trempe suivie d’un revenu.
(C) Une fonte est un alliage de fer et de carbone qui contient au moins 5 % de carbone.
(D) Un acier faiblement allié est un acier dans lequel la teneur en chacun des éléments d’addition
ne dépasse pas 10 %.
(E) Le coefficient de Poisson d’un matériau est sans unité.
Exercice 8
LaFigure 10représente un solide de hauteurhet de section non constanteS(z)encastré sur le
sol enz=0. Ce solide est soumis à un chargement surfacique−p~zsur sa face supérieurez=het à
l’action de la pesanteur dont l’accélération est−g~z. Enfin, il est constitué d’un matériau homogène
isotrope de masse volumiqueρ, de module d’YoungEet de coefficient de Poissonν. Ce solide est
modélisé par une poutre droite de hauteurh, de sectionS(z), encastrée enAet sollicitée par un glisseur
−F~zenB.z zh −p zS(z) zz h
−F z
−g zS(z) AABB Figure 10 – Solide à section non uniforme et modèle poutre associé
(A) Dans le modèle proposé, il faut prendre :F= (p+ρg)S(h).
(B) La réaction du sol sur la poutre est un glisseur de valeurF~z.
(C) La contrainte normale dans la poutre à la cotezest :
σ(z) =−pS(h) S(z)− Zh zρg S(x)S(z) dx
(D) Si l’on souhaite que cette contrainte soit uniforme danstoute la poutre, il faut choisir une
section telle que :
S(z) =S0 exp −ρg pz oùS 0
est une constante
(E) La valeur de cette contrainte est alors :σ(z) =−pS0 .
Exercice 9
LaFigure 11représente un solide1, de massem, en mouvement par rapport à un référentiel
galiléen lié à un solide0. Le centre de gravitéGde1est repéré par−→ OG=x~x. Le solide1est relié au
solide0par un ressort de raideurket de longueur à videℓ0 et on suppose que le contact au niveau de
la surface inférieure du solide1est sans frottement. En outre, il est soumis à l’action d’un glisseur en
Gde résultante~ F=F~xavecF(t) =F0 sin(ω0 t). À l’instant initialt=0, on suppose quex=ℓ0 et que ̇x=0. On posex=ℓ0 +q.x yx kGO F x0 1
Figure 11 – Solide en vibration
(A) L’équation du mouvement du solide1est :
m ̈x+kx=F
(B) L’équation du mouvement du solide1est :
m ̈q+kq=F
(C) Si on noteω=p k/m, la position du solide1est régie par :
q(t) =F 0m(ω 2−ω 20 )(sin(ω 0t)− ω0 ω
sin(ωt))
(D) La fréquencefde la solutionqestf=ω 2π. (E) La fréquencefde la solutionqestf=ω 02π .
Exercice 10
On reprend le système de la question précédente mais on suppose maintenant que le contact entre
le solide1et le solide0s’effectue avec frottement. Le coefficient correspondant est notéfet l’accé-
lération de la pesanteur est−g~y.
(A) Le solide1ne commence à bouger qu’à partir de l’instantt0 tel que :sin(ω 0t 0
) =
f mgF 0
(B) À l’instantt0 , l’effort exercé par le ressort sur le solide1estF0 sin(ω0 t0 ).
(C) Le travail élémentaireδWdes forces de frottement lors d’un déplacementdxest :
δW=f mgdx
(D) Le travail des forces de frottement lors d’un aller-retour du solide1est nul.
(E) Le travail des forces de frottement entre la position initialex=ℓ0 et la position extrême
correspondant à la valeur maximale dexest égale à l’énergie emmagasinée dans le ressort
lorsqu’on arrive dans cette même position extrême.
Exercice 11
LaFigure 12représente un barrage encastré au sol et soumis aux actions mécaniques de l’eau. La
masse volumique de l’eau est notéeρ, l’accélération de la pesanteurg~zet la pression atmosphériquep 0. xy OO GL zy xz hh/2 h/2Eau Sol
g zp 0
Figure 12 – Force de pression sur un barrage
(A) La résultante, notée~ F, des actions mécaniques exercées par l’eau sur le barrage est :~ F=Lh(p0 +1 2ρgh)~x (B) La résultante, notée~ R, des actions mécaniques exercées par le sol sur le barrage est telle que :~ R~x=1 2ρgLh 2
(C) Le moment enO, notée~ MO , des actions mécaniques exercées par l’eau sur le barrage est :~ MO =1 3ρgLh 3~y (D) Le torseur des actions mécaniques exercées par l’eau surle barrage est un glisseur.
(E) Le centreGde la surface de contact de l’eau et du barrage appartient à l’axe central du torseur
des actions mécaniques exercées par l’eau sur le barrage.
Exercice 12
LaFigure 13schématise le fonctionnement cinématique d’une pompe à pistons axiaux dont un
seul piston est représenté. Elle est composée d’un bâti0, d’un barillet1, d’un piston2et d’un patin3.
Ce dernier est en contact avec un plateau-came lié au bâti. Larotation du barillet1par rapport au bâti
0(angleθ) se traduit par un mouvement alternatif de translation du piston2par rapport au barillet1
(position−−→ OM=z~z+r~er avecrconstant), ce qui génère un débit de fluide en sortie de la pompe.x zy ye re θ0 21 3α θO OM Mr z
Figure 13 – Pompe à piston axiaux
(A) La pression dans le circuit hydraulique alimenté par cette pompe est imposée par le couple
extérieur exercé sur l’arbre du barillet1pour le mettre en mouvement.
(B) La liaison réalisée entre le piston2et le plateau0par l’intermédiaire du patin3est équivalente
à une liaison sphère-plan d’axe(M,~z).
(C) La vitesse du piston2par rapport au barillet1, exprimée enM, est :~ V(M,2/1) = ̇z~z+r ̇θ~e θ
(D) La vitesse du piston2par rapport au bâti0, exprimée enM, est :~ V(M,2/0) = ̇z~z+r ̇θ~e θ
(E) Le déplacementzet l’angle de rotationθsont liés par la relation : ̇z=r ̇
θtanα