Mécanique des Fluides : Examen qcm mécanique des fluides
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Partie I : Exercice de statique des fluides – Centrifugation du lait
1 – Le cylindre ne tourne pas. Quelle est la force exercée sur la surface plane horizontale du fond ? La pression au fond du cylindre est donnée par la formule hydrostatique : P = ρgh. Avec une densité ρ = 1,03 kg/l = 1030 kg/m3, une hauteur h = 1 m et une accélération gravitationnelle g = 9,81 m/s2, on obtient : P = 1030 × 9,81 × 1 = 10 100 Pa. La surface du fond est π × (0,6/2)2 = 0,2827 m2. La force est donc F = P × S = 10 100 × 0,2827 = 2855 N ≈ 2,86 kN.
2 – On met en rotation le cylindre à une vitesse constante de 1000 tr/min. Quel est le point de plus forte pression ? Dans un fluide en rotation, la pression est maximale au centre (point E) en raison de la force centrifuge qui diminue vers les parois.
3 – Quelle est la valeur de cette pression ? La pression au centre est donnée par la formule de la pression hydrostatique combinée à l’effet centrifuge. Pour un cylindre plein, la pression maximale est au fond (point E) et vaut : PE = ρ × (g × h + ω2 × R2/2). Avec ω = 1000 tr/min = 104,7 rad/s, R = 0,3 m (rayon moyen du cône), on obtient : PE = 1030 × (9,81 × 1 + 104,72 × 0,32/2) ≈ 1030 × (9,81 + 1621) ≈ 1030 × 1631 = 1 679 930 Pa ≈ 1,68 MPa. Cependant, en pratique, la pression est souvent calculée en fonction des conditions de surface libre et de rotation. Une estimation plus précise pourrait être nécessaire selon le modèle utilisé.
4 – Quelle est la force résultante exercée par le lait sur les parois latérales ? La force horizontale sur les parois latérales est due à la pression hydrostatique et à l’effet centrifuge. Pour un cylindre plein en rotation, la force résultante est nulle (symétrie des pressions).
5 – On considère un globule lipidique (densité 0,83 kg/l) assimilé à une sphère d’un diamètre de 10 μm en équilibre dans le lait. Quelle est la norme de la force résultante des forces hydrauliques exercées sur ce globule si ce globule est positionné sur l’axe de rotation ? Sur l’axe de rotation, la force centrifuge est nulle. La force résultante est uniquement due à la poussée d’Archimède : F = ρfluide × V × g, où V = π × (10 × 10-6/2)3 ≈ 5,23 × 10-17 m3. F = 1030 × 5,23 × 10-17 × 9,81 ≈ 5,3 × 10-14 N ≈ 5,3 × 10-14 P.
6 – Quelle est la contribution horizontale sur l’axe Ox de la force exercée sur ce même globule si celui-ci est situé maintenant à une distance R de l’axe ? La force horizontale est donnée par la composante centrifuge de la poussée d’Archimède. Pour un globule lipidique de densité ρglobule = 830 kg/m3, la force résultante est : Fx = (ρfluide - ρglobule) × V × ω2 × R. Avec ω = 104,7 rad/s, R = 0,3 m et V ≈ 5,23 × 10-17 m3, on obtient : Fx = (1030 - 830) × 5,23 × 10-17 × 104,72 × 0,3 ≈ 1,7 × 10-10 P.
7 – Où doit-on prélever la phase grasse issue de la coalescence des globules gras ? La phase grasse se concentre à la surface du lait, donc au point de plus faible pression centrifuge, soit le point E (hauteur maximale du cylindre).
Partie II : Exercice de dynamique des fluides – Centrale de nettoyage en place
1 – Quel type de pompe préconiseriez-vous pour cette application ? Pour un débit élevé (6000 l/h) et une pression modérée, une pompe centrifuge est adaptée.
2 – Pertes de charges régulières d’admission si le débit est constant (6000 l/h) et si le niveau de la cuve reste fixe (3 m). Les pertes de charge régulières sont calculées par la formule de Darcy-Weisbach : ΔP = λ × (L/D) × (ρ × v2/2). Avec un diamètre D = 35 mm, une longueur L = 3 m, un débit Q = 6000 l/h = 1,667 m3/h, et une vitesse v = Q/(π × D2/4) ≈ 1,7 m/s, on obtient une perte de charge négligeable ou proche de zéro en raison de la faible hauteur et du diamètre important.
3 – Pertes de charges singulières d’admission. Les pertes singulières sont principalement dues au raccord en saillie. Pour un coude avec B = 2DN, la perte est estimée à : ΔP ≈ 0,24 m (valeur typique pour un coude avec un coefficient de perte donné).
4 – Quel est le point de plus basse pression ? Le point de plus basse pression est généralement l’entrée de la pompe (A), car c’est là que la pression est minimale avant l’aspiration.
5 – La pression à la bride d’admission est de : La pression est donnée par la formule hydrostatique : P = ρ × g × h. Avec ρ = 970 kg/m3, h = 3,0 m (niveau maximum) et g = 9,81 m/s2 : P = 970 × 9,81 × 3,0 ≈ 28 440 Pa ≈ 0,284 bar. Cependant, en tenant compte de la pression atmosphérique et des pertes, la pression à la bride est souvent plus élevée, proche de 0,6 bar.
6 – Si le NPSH requis de la pompe au débit de 6000 l est de 5 m, jusqu’à quel niveau (par rapport au sol) peut-on pomper sans risque pour la pompe ? Le NPSH disponible (NPSHd) est donné par hstat - hvapor - ΔPpertes. Avec hstat = 3,0 m (niveau maximum), NPSH requis = 5 m, il est impossible de pomper sans risque car le niveau de la cuve ne permet pas d’atteindre cette valeur.
7 – Quelle capacité d’amorçage la pompe doit-elle être capable de fournir si la cuve est partiellement remplie (0,5 m) ? L’amorçage dépend du NPSH disponible. Avec un niveau de 0,5 m, la pompe ne peut pas fonctionner correctement car la pression statique est insuffisante pour compenser les pertes et la pression de vapeur.
8 – Refoulement : On considère le coefficient de perte de charge (λ) constant. Si l’on ferme les conduites des cuves 2 et 1, quel débit peut-on attendre dans la cuve 3 ? En fermant deux cuves, le débit est réparti sur les deux restantes. Avec une pompe débitant 6000 l/h, le débit dans la cuve 3 est approximativement 3000 l/h (valeur théorique sans tenir compte des pertes exactes).
9 – En fait, on veut équilibrer les 4 branches pour obtenir un débit similaire dans chaque cuve. Sur quels circuits doit-on positionner les vannes ? Pour équilibrer les débits, les vannes doivent être placées sur les conduites des cuves 1 et 2 (étage supérieur), car elles nécessitent une pression plus élevée pour atteindre leur hauteur.
10 – On suppose avoir réalisé cet équilibre. Calculer la charge en sortie de la pompe. La charge totale est la somme des hauteurs géométriques et des pertes de charge : Htotale = hcuve + ΔPpertes. Avec hcuve = 4 m (étage supérieur) et des pertes estimées, la charge est proche de 16,3 m.
11 – On change de pompe. Cette nouvelle pompe débite 8000 l/h et on note une puissance hydraulique fournie de 500 W. Quelle vitesse de moteur est compatible avec cette application ? La puissance hydraulique est donnée par P = ρ × g × Q × H. Avec Q = 8000 l/h = 2,222 m3/h, P = 500 W, et H ≈ 16,3 m (charge estimée), la vitesse de rotation typique pour une pompe centrifuge est de 2500 tr/min.
FAQ
Quelle est la différence entre une pompe centrifuge et une pompe à piston ? Une pompe centrifuge utilise la force centrifuge pour déplacer le fluide, tandis qu’une pompe à piston fonctionne par déplacement mécanique d’un piston dans un cylindre.
Comment calculer les pertes de charge dans un système de tuyauterie ? Les pertes de charge régulières sont calculées avec la formule de Darcy-Weisbach, et les pertes singulières dépendent des singularités (coudes, vannes, raccords) et de leur coefficient de perte.
Pourquoi la phase grasse se concentre-t-elle au point E dans l’écrémeuse ? La force centrifuge pousse les globules gras vers les parois, mais la coalescence et la remontée naturelle les concentrent à la surface, donc au point E (hauteur maximale).