Mécanique des Fluides : Exercices de mécanique des fluides avec solutions détallées
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Exercice I
1. Pression dans l’eau
a. La pression atmosphérique est égale à 1013 hPa. Calculer la masse de la colonne d’air au-dessus d’un cercle de 30 cm de diamètre (l’accélération de la pesanteur est supposée constante et égale à 9,81 m.s⁻²).
On utilise la relation p = mg/S où p est la pression, m la masse de la colonne d’air et S sa section.
La section S s’écrit S = πd²/4 et la masse m = Sp/g, donc m = πd²P/(4g).
Application numérique : m = π × 0,3² × 1013 × 10² / (4 × 9,81) = 730 kg.
b. Calculer la hauteur h de la colonne d’eau permettant d’obtenir la même pression. La masse volumique de l’eau (ρeau) est égale à 1000 kg.m⁻³.
La masse d’eau m contenue dans une colonne d’eau de hauteur h et de section S s’écrit m = ρeau × S × h.
La pression de cette colonne est égale à p = mg/S = ρeau × h × g, donc h = p/(ρeau × g).
Application numérique : h = (1013 × 10²) / (1000 × 9,81) = 10,1 m.
On remarque que la pression ne dépend pas de la section de la colonne d’eau.
c. En déduire la pression totale à laquelle est soumis un plongeur à 10 m de profondeur puis à 100 m de profondeur. Comment va évoluer le volume de sa cage thoracique ?
À 10 m, la pression que subit le plongeur est égale à deux fois la pression atmosphérique ; à 100 m, elle est égale à onze fois la pression atmosphérique. Le volume de sa cage thoracique diminue.
Exercice II
En 1648, à la demande de Blaise Pascal, Florin Périer mesure la hauteur de mercure dans l’expérience de Torricelli à Clermont-Ferrand (altitude 460 m) et trouve 71,2 cm. Il recommence en haut du Puy de Dôme (altitude 1465 m) et trouve 62,7 cm.
Calculer la pression atmosphérique à Clermont-Ferrand puis en haut du Puy de Dôme.
La pression dans la partie supérieure du tube est nulle (vide), la pression atmosphérique p est donc obtenue par la relation p = ρHg × g × Δh, où Δh est la hauteur de mercure.
À Clermont-Ferrand : p = 13546 × 9,81 × 71,2 × 10⁻² = 940 hPa.
En haut du Puy de Dôme : p = 13546 × 9,81 × 62,7 × 10⁻² = 828 hPa.
La pression atmosphérique diminue lorsque l’altitude augmente.
Exercice III
On considère le tube en U représenté ci-contre. Le liquide dans le tube est de l’eau, la différence d’altitude entre les points A et B est notée h et égale à 15 cm.
1. Quelle est la valeur de la pression au point A ?
La surface au point A est libre, donc sa pression est la pression atmosphérique.
2. Quelle est la relation entre les pressions aux points B et C ?
Les points B et C sont sur le même plan horizontal, leurs pressions sont donc égales : pB = pA + ρeau × g × (zA - zB).
3. Calculer la pression en B et en déduire la pression du gaz.
Application numérique : pB = 1013 × 10² + 1000 × 9,81 × 0,15 = 1,028 × 10⁵ Pa.
4. L’eau est remplacée par de l’alcool (800 kg.m⁻³), calculer la hauteur entre les points A et B.
Si l’eau est remplacée par de l’alcool, alors zA - zB = (pB - pA) / (ρalcool × g).
Application numérique : zA - zB = (1,028 - 1,013) × 10⁵ / (800 × 9,81) = 0,19 m.
Exercice IV
1. Dimensionnement d’une turbine
a. Exprimer l’énergie potentielle Ep d’une masse m d’eau placée à une altitude h.
L’énergie potentielle est donnée par Ep = mgh.
b. Cette eau est turbinée pendant une durée Δt et l’énergie produite l’est avec une puissance notée P et un rendement supposé égal à un. Rappeler la relation entre l’énergie, la puissance et la durée. En déduire l’expression de P en fonction du débit-masse, de l’accélération de la pesanteur et de la hauteur de chute.
Relation entre énergie, puissance et durée : Ep = P × Δt.
Si qm est le débit-masse, alors P = qm × g × h.
c. Calculer la puissance pour un dénivelé de 918 m et un débit de 19,5 m³.s⁻¹.
Application numérique : P = 19,5 × 10³ × 9,81 × 918 = 176 MW.
Exercice V
Le débit en entrée d’une canalisation est égal à 10 L.min⁻¹, la section est égale à 3 cm². Calculer la vitesse du fluide en entrée de la canalisation.
La vitesse peut être calculée à partir de la relation qv = vmoy × S.
Application numérique : v1moy = (10 × 10⁻³ / 60) / (3 × 10⁻⁴) = 0,56 m.s⁻¹.
À l’autre extrémité, la section est égale à 0,5 cm². Calculer la vitesse du fluide.
La vitesse en sortie de la canalisation peut être calculée à partir de l’équation de continuité : v2moy = v1moy × S1 / S2 = 0,56 × (3 / 0,5) = 3,36 m.s⁻¹.
Exercice VI : étude d’un siphon
Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grandes dimensions. Il est constitué par un tuyau de 0,10 m de diamètre dont la ligne centrale s’élève à 4 m au-dessus du niveau de la surface libre.
On souhaite que le débit soit maximal. La pression atmosphérique, notée P0, est égale à 1013 hPa.
1. Quelle est la plus petite valeur possible de la pression au point M ? Cette valeur correspond au débit maximum.
La relation de Bernoulli entre les points A et M donne : ½ρvA² + ρghA + pA = ½ρvM² + ρghM + pM.
Les débits en A et M sont égaux, donc qv = vA × SA = vM × SM.
Pour un débit maximal, la pression pM doit être minimale, c’est-à-dire nulle.
2. Exprimer le théorème de Bernoulli aux points A et M, simplifier cette relation pour une pression PM nulle.
En déduire la vitesse de l’eau au point M.
Avec pM nulle, l’équation de Bernoulli devient : ½ρvA² + ρghA + pA = ½ρvM² + ρghM.
La vitesse du fluide à la surface du liquide est très proche de zéro, donc l’équation se simplifie : ρghA + pA = ½ρvM² + ρghM.
Application numérique : vM = √(2 × 9,81 × (hA - hM) + 2 × pA / ρ) = √(2 × 9,81 × (-4) + 2 × 1013 × 10² / 1000) = 11,1 m.s⁻¹.
3. Calculer le débit maximal.
Le débit est donné par qv = vM × SM, où SM est la section du tube.
Application numérique : qv = 11,1 × π × (0,1)² / 4 = 0,0864 m³.s⁻¹, soit 86,4 L.s⁻¹.
4. Calculer la cote de la sortie S.
Relation de Bernoulli aux points A et S : ½ρvA² + ρghA + pA = ½ρvS² + ρghS + pS.
Simplification : ρghA = ½ρvS² + ρghS, donc hA - hS = ½vS² / g.
Application numérique : hA - hS = ½ × 11,1² / 9,81 = 6,17 m.
Exercice VII
1. Déterminer le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) dans les deux cas suivants :
• tube de verre, diamètre 2 cm, vitesse 2 m.s⁻¹, rugosité uniforme équivalente 0,2 μm.
• tuyauterie de fonte, diamètre 60 cm, vitesse 3 m.s⁻¹, rugosité uniforme équivalente 0,3 mm.
Ces deux conduites véhiculent de l’eau dont la viscosité cinématique ν = 0,01 CGS. Dans le système CGS, les longueurs s’expriment en cm et les vitesses en cm.s⁻¹.
Le nombre de Reynolds est donné par Re = vD / ν.
Pour le tube de verre : Re = (2 × 10²) × 2 / 0,01 = 40000, le régime est turbulent.
Pour la tuyauterie de fonte : Re = (3 × 10²) × 60 / 0,01 = 1,8 × 10⁶, le régime est turbulent.
2. Une installation domestique d’eau potable présente un débit de 20 L.min⁻¹. Calculer le diamètre minimal Dmax de la conduite d’eau pour que l’écoulement soit laminaire.
Le débit est donné par qv = v × S, où S = πD² / 4, donc v = 4qv / (πD²).
Nombre de Reynolds : Re = ρvD / η, où η = ρν, donc Re = vD / ν.
Application numérique : Dmin = 4 × 1000 × (20 × 10⁻³ / 60) / (1,002 × 10⁻³ × 2000) = 0,212 m.
Exercice VIII
On pompe de l’huile de densité 0,86 par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de longueur L = 300 m, avec un débit-volume de 1,20 L.s⁻¹ ; la différence de pression entre les extrémités du tuyau vaut 20,6 × 10⁴ Pa.
Pour un écoulement laminaire, le débit-volume qv est relié aux dimensions du tuyau, rayon intérieur r et longueur l, à la viscosité cinématique ν et aux pressions p1 et p2 en début et fin de tuyau par :
qv = πr⁴ × (p1 - p2) / (8ηl) (loi de Poiseuille).
Les viscosités cinématique ν et dynamique η sont reliées par η = ρν, où ρ est la masse volumique.
1. Calculer les viscosités cinématique et dynamique de l’huile en supposant un écoulement laminaire.
Application numérique : ν = (π × (2,5 × 10⁻²)⁴ × 20,6 × 10⁴) / (8 × 1,2 × 10⁻³ × 300) = 87,8 × 10⁻⁶ m².s⁻¹.
La viscosité dynamique est donnée par η = ρν, où ρ = 860 kg.m