Mécanique des Fluides : Exercices de mécanique des fluides avec solutions détallées
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Exercice I
1.Pression dans l'eau
a. La pression atmosphérique est égale à 1013 hPa. Calculer la masse de la colonne d'air au dessus d'un
cercle de 30 cm de diamètre (l'accélération de la pesanteur est supposée constante et égale à 9,81 m.s2 ).p= mg
S avec p la pression, m la masse de la colonne d'air et S sa sectionS= d2 4 et m=Sp g
donc m=d 2P 4g= .0,32 1,013.105 4.9,81=730kg b. Calculer la hauteur h de la colonne d'eau permettant d'obtenir la même pression. La masse volumique de
l'eau ( eau
) est égale à 1000 kg.m3 .
La masse d'eau m contenue dans une colonne d'eau de hauteur h et de section S s' écrit m=eau .S.h
. La
pressionde cettecolonne estégale à p=mg S= eau .S.h.gS =eau .h.g soith= p eau.g =
1,013.105 1000.10=10,1m On remarque que la pression ne dépend pas de la section de la colonne d'eau.
c. En déduire la pression totale à laquelle est soumis un plongeur à 10 m de profondeur puis à 100 m de
profondeur. Comment va évoluer le volume de sa cage thoracique ?
À 10 m, la pression que subi le plongeur est égale à deux fois la pression atmosphérique ; à 100 m, elle est
égale à onze fois la pression atmosphérique. Le volume de sa cage thoracique diminue.
2.Pour mesurer la pression atmosphérique, on utilise un tube rempli
d'un liquide plongé dans un réservoir (expérience de Torricelli). Calculer la hauteur h si le tube est rempli d'eau (1000 kg.m3 ) puis
s'il est rempli de mercure (13546 kg.m3 ).
Pour compenser la pression atmosphérique, il faut environ 10 m
d'eau (voir cidessus).
Avec du mercure h=p ρHg .g= 1,013.105 13546×9,81
=76,2 cm, ce qui est
beaucoup plus pratique ... (Hg est le symbole chimique du mercure).
3.Le dispositif étudié est représenté cidessous. Un tube en U, dont les branches ont des largeurs
différentes est rempli d'un liquide.
Sur la partie gauche, une masse m est placée sur un piston de
surface Sg . Sur la partie droite, une force
F agit sur un piston
de surface Sd . La dimension dans le plan perpendiculaire au
schéma est constante.
a.Exprimer la pression exercée par la force F en fonction de Sd .
Pression sur la branche de droite : pd =F Sd b.Exprimer la pression exercée par la masse m en fonction de
m, S
g et g (accélération de la pesanteur).
Corrigé mécanique des fluidesPage 1/19TS2 ET 20142015
Pression sur la branche de gauche : pg =mg Sg c.Calculer la valeur minimale de F pour que la masse se déplace si m = 500 kg, S
d = 10 cm
2 et S
g = 1000 cm2 .
Pour qu'il y ait déplacement, il faut que pd ≥pg , soit FS d≥ mgS g ce qui donne F≥mgS dS g
. À la limite
F=500.9,8110 1000
=49 N
d.La masse est montée de 1 cm, de quelle hauteur est descendu le piston de droite ?
On note x
d le déplacement du piston de droite et x
g celui du piston de gauche. Le volume de
liquide déplacé s' écrit Sd .x
d à droite et Sg .x
g à gauche. Ces deux volumes sont égaux doncS d.x d=S g.x g soit Δxd =S gS d.Δx g= 100010 .1=100 cm. e.Calculer le travail de la force F et du poids de la masse m en négligeant toutes les pertes. Indiquer s'il
s'agit de travail moteur ou résistant.
Le travail de la force F est égal à ΔWF =F.Δxd =49.1=49 J
. Le travail du poids de la masse m est égal
à ΔWm =−mg.Δxg =−500.9,81.0,01=−49 J
. Le travail de la force F est moteur alors que celui de la
masse m est résistant.
En pratique, l'égalité des valeurs absolues n'est pas vérifié à cause des pertes par frottements.
Exercice II
En 1648, à la demande de Blaise Pascal, Florin Périer mesure la hauteur de mercure dans l'expérience de
Torricelli à ClermontFerrand (altitude 460 m) et trouve 71,2 cm. Il recommence en haut du Puy de Dôme
(altitude 1465 m) et trouve 62,7 cm.
Calculer la pression atmosphérique à ClermontFerrand puis en haut du Puy de Dôme.
La pression dans la partie supérieure du tube est nulle (vide), la pression atmosphérique p est donc
obtenue par la relation p=ρgΔh avec Δh la hauteur de mercure.
À ClermontFerrand : p=ρgΔh=13546×9,81×71,2.10−2 =940 hPa
En haut du Puy de Dôme : p=ρgΔh=13546×9,81×62,7.10−2 =828 hPa
La pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente.
Exercice III
On considère le tube en U représenté cicontre.
Le liquide dans le tube est de l'eau, la différence d'altitude entre les
points A et B est notée h et égale à 15 cm
1.Quelle est la valeur de la pression au point A ?
La surface au point A est libre donc sa pression est la pression
atmosphérique.
2.Quelle est la relation entre les pressions aux points B et C ?
Les points B et C sont sur le même plan horizontal, leurs pressions
sont donc égales.p Agz A=p Bgz B soit pB =pA gzA −zB . 3.Calculer la pression en B et en déduire la pression du gaz.
Application numérique : pB =1,013.105 1000.9,81.0,15=1,028.105 Pa. 4.L'eau est remplacée par de l'alcool (800 kg/m3 ), calculer la hauteur entre les points A et B.
Corrigé mécanique des fluidesPage 2/19TS2 ET 20142015
Si l'eau est remplacée par de l'alcool alors zA −zB =p B−p A
g avec =800kg.m−3 .
Application numérique : zA −zB =
1,028−1,013.10−5 800.9,81=0,19m Exercice IV
1.Dimensionnement d'une turbine
a.Exprimer l'énergie potentielle E
p d'une masse m d'eau placée à une altitude h.
Cours « Aspect énergétique » : Ep =mgh
b.Cette eau est turbinée pendant une durée ∆t et l'énergie produite l'est avec une puissance notée P et un
rendement supposé égal à un. Rappeler la relation entre l'énergie, la puissance et la durée. En déduire
l'expression de P en fonction du débitmasse, de l'accélération de la pesanteur et de la hauteur de chute.
Relation entre énergie, puissance et durée :E p=P.t soitP= mght en remplaçant Ep par
l'expression précédente et comme qm =m t alors P=qm gh
c.Calculer la puissance pour un dénivelé de 918 m et un débit de 19,5 m3 .s1 .
Application numérique : P=19,5.103 ×9,81×918=176MW
2.Le texte encadré cicontre est un extrait de la notice
d'une « turbine hydroélectrique de 1000 W à 1500 W »(). Calculer la puissance mécanique disponible puis la
puissance mécanique utile maximale. Les indications
commerciales sontelles raisonnables ?
« Pour bien fonctionner , une turbine type
"PELTON" a besoin de : 1.Un bon dénivelé de 15 mètres
2.Un débit de 750 à 900 litres / minute
3.Une tuyauterie d'un diamètre suffisant
(Ø 125 à 150 mm)
4.D'un design de la turbine permettant un
rendement d'au moins 50 à 60 % »
D'après la relation P=qm gh
, P1 =750 60
×9,81×15=1840W
. Avec un rendement de 60% (maximal),
on obtientP 2=η.P 1
=0,6×1840=1104W
. Les indications commerciales sont un peu optimistes
puisqu'il faudra enlever les pertes de l'alternateur à ces 1104 W.
Exercice V
Le débit en entrée d'une canalisation est égal à 10 L/min, la section est égale à 3 cm2 . Calculer la vitesse du
fluide en entrée de la canalisation.
À l'autre extrémité, la section est égale à 0,5 cm2 . Calculer la vitesse du fluide.
La vitesse peut être calculée à partir de la relation qv =v1moy .S
1 soit v1moy =q vS 1= 10.10−3 603.10 −4
=0,56m.s−1 La vitesse en sortie de la canalisation peut être calculée à partir de l'équation de continuité :v 2moy=v 1moyS 1S 2=0,56. 30,5 =3,36m.s−1 Corrigé mécanique des fluidesPage 3/19TS2 ET 20142015
Exercice VI : étude d’un siphon
Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grandes dimensions.
Il est constitué par un tuyau de 0,10 m de diamètre dont la ligne centrale
s’ élève à 4 m audessus du niveau de la surface libre.
On souhaite que le débit soit maximal.
La pression atmosphérique, notée P0 , est égale à 1013 hPa.
On prendra g = 9,81 m.s2 1.Quelle est la plus petite valeur possible de la pression au point M ? Cette
valeur correspond au débit maximum.
La relation de Bernoulli 12 vA 2gh Ap A= 12 vM 2gh Mp M donne :1 2v A2 −vM 2gh A−h Mp A−p M=0 Les débits en A et M sont égaux donc qv =vA .SA =vM .SM soit 12 qv 2 1S A2 −1 SM 2=gh M−h Ap M−p A=0 qv 2= 2ghM −hA pM −pA 1 SA 2− 1S M2 donc qv = 2ghM −hA pM −pA 1 SA 2− 1S M2 = 2gh A−h Mp A−p M 1S M2 −1 SA 2 Dans cette expression, hM , hA , SM , S
A et p
A sont fixés, le débit est maximal si p
M est minimale c'est à dire
nulle. En pratique, si la pression devient très faible, le liquide peut se vaporiser et entraîner le phénomène de
cavitation.
2.Exprimer le théor ème de Bernoulli aux points A et M, simplifier cette relation pour une pression P
M nulle.
En déduire la vitesse de l’eau au point M.
Avec p
M nulle, l'équation de Bernoulli devient1 2v A2 ghA pA =1 2v M2 ghM . La vitesse du fluide à
la surface du liquide est très proche de zéro car sa section est très grande devant celle du tube, l'équation se
simplifie encore : ghA pA =1 2v M2 ghM vM 2= 2 [ghA −hM pA ] soit vM = 2ghA −hM 2.p A vM =√ 2×9,81×(−4)+
2×1013×102 1000
=11,1 m.s−1 Remarque : la cote du point M est plus grande que celle du point A d'où hA −hM =−4 m. 3.Calculer le débit maximal.
Le débit est donné par qv =vM .S
M et la section S
M du tube peut être calculée à partir de son diamètred M = 0,1 m.
On obtient qv =vM .π.d M2 4=11,1. π×0,12 4
=0,0864m3. s
−1 soit 86,4 L.s1 .
4.Calculer la cote de la sortie S.
Relation de Bernoulli aux points A et S : 12 vA 2gh Ap A= 12 vS 2gh Sp S
. Elle peut être
simplifiée car les pressions statiques sont égales en ces deux points (p
A et p
S sont égales à la pression
atmosphérique) et que la vitesse au point A est très proche de zéro : ghA =1 2v S2 gh
S soith A−h S= 12.g vS 2
Corrigé mécanique des fluidesPage 4/19TS2 ET 20142015h A−h S= 12.9,81 11,12 =6,17 m
. Le point A est plus haut de 6,17 m que le point S. Comme le point M est
quatre mètres plus haut que le point A, on retrouve les dix mètres de colonne d'eau correspondant à la
pression atmosphérique.
Exercice VII
1.Déterminer le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) dans les deux cas suivants :
•tube de verre, diamètre 2 cm, vitesse 2 m.s1 , rugosité uniforme équivalent 0,2 μm.
•tuyauterie de fonte, diamètre 60 cm, vitesse 3 m.s1 , rugosité uniforme équivalent 0,3 mm.
Ces deux conduites véhiculent de l’eau dont la viscosité cinématique ν = 0,01 CGS. Dans le système CGS,
les longueurs s’expriment en cm et les vitesses en cm.s1 .
Le nombre de Reynolds est donné par Re=vD
. La viscosité cinématique s'exprime en Pa.s (ou kg/m.s)
dans le système international et en Poise (ou g/cm.s dans le système CGS).
Pour le tube de verre : Re=2.10 2.2 0,01=40000 , le régime est turbulent
Pour la tuyauterie de fonte : Re=3.10 2.60 0,01=1,8.10 6
, le régime est turbulent
2.Une installation domestique d'eau potable présente un débit de 20 L/min. Calculer le diamètre minimalD max de la conduite d'eau pour que l'écoulement soit laminaire.
Le débit est donné par qv =v.S avec S=.D 2
4 donc v=4q v.D 2
Nombre de Reynolds : Re=vD = D .4q v.D 2= 4qv .D soit D=4q v.Re . Plus Re est faible, plus D est
grand, pour être en régime laminaire, il faut Re < 2000 soit Dmin =4.1000. 20.10−3 60
1,002.10−3 .2000=0,212m Exercice VIII
On pompe de l'huile de densité 0,86 par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de longueur L = 300 m,avec un débitvolume de 1,20 L/s ; la différence de pression entre les extrémités du tuyau vaut20,6.10 4 Pa.
Pour un écoulement laminaire, le débitvolume q
v est relié aux dimensions du tuyau, rayon intérieur r et
longueur l,
à la viscosité cinématique h et aux pressions p
1 et p
2 en début et fin de tuyau parq v= π.r4 8.η.l.(p 1−p 2
) (loi de Poiseuille).
Les viscosités cinématique h et dynamique n sont reliées par η=ρν avec r la masse volumique.
1.Calculer les viscosités cinématique et dynamique de l'huile en supposant un écoulement laminaire.
D'après la loi de Poiseuille qv =.r 48..l .p1 −p2 donc =.r 48.q v.l .p1 −p2 = .2,5.10−2 4 8.1,2.10−3 .300
.20,6.104 =87,8.10
−3 Pa.s
. La viscosité cinématique est donné par =
et ρ = 860 kg.m
3 donc =87,8.10 −3860 =1.10
−4 m2. s−1 Corrigé mécanique des fluidesPage 5/19TS2 ET 20142015
2.Calculer le nombre de Reynolds et justifier l'hypothèse de l'écoulement laminaire.
Nombre de Reynolds : Re=.v.D et v=q v
S et S=.d 2
4 donc Re=4..q v.D .D2. Re= 4..qv .D.= 4.860.1,2.10−3 .5.10−2 .87,8.10−3 =299
, on vérifie que l'écoulement est laminaire.
Exercice IX : étude économique du revêtement d’une galerie
Une galerie de section circulaire dont la longueur L est de 4 km est destinée à amener en charge un débit qV de 50 m3 .s
1 d’eau à une centrale hydroélectrique.
Brute de perforation, elle présente un diamètre moyen égal à D1 = 6 m et des aspérit és dont les dimensions
moyennes sont de k = 0,60 m.
On envisage de la revêtir de béton, ce qui ramènerait son diamètre à D2 = 4,80 m. En éliminant les aspérit és,
le coefficient de perte de charge serait alors égal à λ
2 = 0,02.
1.Calculer les vitesses V
1 et V
2 de l’eau dans la galerie avant et après le bétonnage.On utilisela relationentre ledébit, lavitesse d'écoulementet lasection soitV 1= qv S1 =4.q vπ.D 12 =4×50 π×62 =1,76 m.s
−1 et V2 =q vS 2= 4.qv π.D2 2= 4×50π×4,8 2
=2,76 m.s−1 Les pertes de charge ΔH en mCF en fonction des caractéristiques de la galerie (longueur L et diamètre
D), de la vitesse v et du coefficient λ de perte de charge linéaire sont obtenues par ΔH=λv 22g LD On note ΔH
1 les pertes de charge en mCF et λ
1 le coefficient de perte de charge linéaire avant le
bétonnage de la galerie.
2.Si la rugosité est importante, la formule empirique de KarmanPrandtl permet de déterminer la valeur deλ 1 : 1 =1,742logD 2k avec k la dimension équivalente des rugosités.
Calculer la valeur numérique λ
1 du coefficient de perte de charge linéaire avant le bétonnage.
D'après les données de l'énoncé 1√ λ
=1,74+2logD 2k
=1,74+2log6 2×0,6
=3,138 donc =0,101
3.En déduire la valeur numérique des pertes de charge H
1 en mCF puis en Pa.Pertes decharge avecla conduite
« brute »ΔH 1=0,101 1,762 2×9,814.10 36 =10,6 mCF soitΔp 1=ρgΔH 1
=1000×9,81×10,6=1040 hPa
4.Rappeler la relation entre les pertes de charge, la puissance hydraulique correspondante et le débit
volumique. Calculer la perte de puissance due à ces pertes de charge.
La puissance est notée P
1 ce qui donne .g.H1 =P 1q v soit P1 =ρ.g.ΔH1 .qv =1000×9,81×10,6×50=5,22 MW
5.Dans le cas où la galerie est revêtue de béton, calculer les nouvelles pertes de charge H
2 en mCF
puis en Pa.On utilisele nouveau
coefficientde pertede charge
(voir énoncé)et onobtient ΔH2 =0,022,76 22×9,81 4.103 4,8
=6,47 mCF cequi donneune puissance
équivalenteP 2=ρ.g.ΔH 2.q v
=1000×9,81×6,47×50=3,17 MW
6.Sachant que la durée annuelle de fonctionnement est égale à 3000 heures, en déduire l’énergie qui serait
économisée.
L' énergie économisée est égale à la différence entre les deux puissances multipliée par la durée de
Corrigé mécanique des fluidesPage 6/19TS2 ET 20142015
fonctionnement soit W=P1 −P2 .h=5,22−3,17.3000=6150 MWh
7.Le coût du bétonnage est de 180 euros le m3 , le prix du kWh est de 0,1 euro. En déduire la durée du retour
sur investissement. Conclusions ?
Calcul du volume de béton nécessaire : la section est passée de 6 m à 4,8 m sur 4000 m soit Vbéton = 4.6 2−4,8 2
=40715 m
3 le coût total du bétonnage : 180×40715=7,33 M€
L' énergie économiséependant unan engendre
une économiede 615k€. Ilfaut donc7,33 .106 615.103 ≈12 ans
pour le retour sur investissement.
Exercice X : installation de turbinage
Une installation hydroélectrique est constituée d'une retenue amont, d'une conduite forcée de section 0,5 m2 et d'une turbine située 500 m plus bas que le niveau de la retenue. Le débit dans la conduite forcée est de
500 L/s. Toutes les pertes de charge sont négligées.
1.Vitesses
a.Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite forcée.
D'après la relation de continuité v1 S1 =v2 S2 =q
v avec v
1 la vitesse dans le réservoir et v
2 celle
dans la canalisation.v 2= qv S2 =500.10 −35.10 −1
=1 m/s
b.Rappeler l'équation reliant les sections du réservoir, notée S1 , et de la conduite forcée, notée S2 , et les
vitesses de l'eau dans la retenue, notée v1 , et dans la conduite, notée v
2 ( équation de continuité). La
section du réservoir étant très grande devant celle de la conduite, en déduire que la vitesse de l'eau dans
le réservoir est négligeable.
Puisque v1 S1 =v2 S2 =q
v et que S
1 est très grande devant S
2 alors v
1 est très faible devantv 2. 2.Puissance échangée
La relation de Bernoulli pour l'écoulement de l'eau du réservoir (repéré par l'indice 1) vers la turbine (repéré
par l'indice 2) s'écrit : p1 +1 2ρv 12 +ρ.g.z1 +P qv =p2 +1 2ρv 22 +ρ.g.z2 ρ est la masse volumique de l'eau : ρ = 1000 kg.m2 ,z 1 et z
2 représentent les cotes de la retenue et de la turbine,v 1 et v
2 sont les vitesses de l'eau au niveau de la retenue et de la turbine,p 1 et p
2 sont les pressions statiques au niveau de la retenue et de la turbine. Elles sont égales à la pression
atmosphérique.
P est la puissance échangée par l'eau entre le réservoir et la turbine.q v est le débit volumique.
Pour les calculs, l'accélération de la pesanteur g est égale à 10 m.s2 .
a.Récrire l'équation de Bernoulli en supprimant les termes nuls ou négligeables.
D'aprèsce qui
précède v1 ≈0 et p1 =p
2 ,
l'équationde Bernoullidevient ρ.g.z1 +P qv =1 2ρv 22 +ρ.g.z2 b.Exprimer la puissance P en fonction de g, ρ, qv , S2 , z
1 et z2 .
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D'après la question précédenteρ.g.z 1+ Pq v= 12 ρv2 2+ρ.g.z 2donc P=qv [1 2ρv 22 +ρ.g.(z2 −z1 )]et comme v2 =q vS 2 alors P=qv [1 2ρ( qv S2 )2 +ρ.g.(z2 −z1 )]
c.Calculer P.
P=500.10−3 [1 21000( 500.10−3 0,5) 2
+1000.10.(0−500)]=−2500 kW cette puissance est négative car l'eau
cède de l'énergie à la turbine.
3.Puissance et énergie potentielle
a.Rappeler la relation donnant l'énergie potentielle d'une masse m placée à une altitude h.
L' énergie potentielle est donnée par Ep =mgh
b.Calculer l'énergie potentiell