Mécanique des Fluides : Examen mécanique des fluides
Télécharger PDFObtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique des Fluides!
Vous souhaitez maîtriser Mécanique des Fluides ? Ne cherchez plus, nous avons le pack parfait pour vous.
Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...
Télécharger packLicence de Physique2014-15
L3 Mécanique
L3 Physique et ApplicationsMécanique des fluidesExamen Mardi 6 Janvier 2015
Durée: 3h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 7, II= 7 et III= 6 points/20.Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.:Lorsqu’il est demandé d’exprimerfen fonction deaetbil faut comprendreexprimer
fen fonction notamment deaetb. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression def.
On donne:p0 = 105 Pa (pression atmosphérique),ρ= 103 kg/m3 (masse volumique de l’eau),ρ a
'ρ/800(masse volumique de l’air),g= 9,8m/s2 (accélération de la pesanteur) etR= 8,3
J/K (constante des gaz parfaits).
En coordonnées cylindriques on rappelle le gradient d’une fonction scalaireU:−→ ∇U=( ∂U∂r ,1 r∂U ∂φ, ∂U∂z ). I- Oscillations dans l’atmosphère
On s’intéresse aux perturbations générées par les écoulements ou le relief dans la basse atmosphère
terrestre (altitude inférieure à 10 km). Pour simplifier, on supposera que l’atmosphère est un gaz
parfait hydrostatique, isotherme de températureTet de masse molaireM= 29g. On néglige les
effets de la viscosité dans l’air. Pour décrire l’atmosphère on se place dans le référentiel terrestre
supposé galiléen muni d’un repère cartésienOxyzoùOzest l’axe vertical orienté vers le haut de
l’atmosphère. Au niveau du sol (z= 0) la pression et la masse volumique sont notéespa etρa respectivement (àT= 300K).
1)a) Rappeler la loi de l’hydrostatique des fluides. Montrer que la pressionpne dépend que dez. b) Soient deux altitudesz1 etz2 de pressionsp1 etp2 : sachant quez2 > z1 , la pressionp1 est-elle inférieure ou supérieure àp2 ? (on raisonnera simplement à partir dedp)
Dans l’atmosphère pression et masse volumique sont reliées par la relationp=ρc2 soùc s
est la
vitesse du son qui est constante dans le cas isotherme.La masse volumiqueρdépend doncdez. 2)En utilisant la loi des gaz parfaits, exprimercs en fonction deR,TetM. Calculer alorscs pourT= 300K.
3)A partir de la loi hydrostatique, déterminer le profil vertical de pressionp(z)en fonction dep aetH=c 2s /g. En déduire le profil de masse volumiqueρ(z)en fonction deρa etH. Quelle est
la signification deH? CalculerH.
On s’intéresse à présent au comportement d’une particule de fluide de volumedτ=dxdy dz(voir
figure). A l’équilibre, l’altitude du centre de masse de la particule estz0 et sa massedm=ρ0 dτ.
On noteraρ0 etp0 les pression et masse volumique de l’atmosphère enz=z0 .
4)Quelles sont les forces agissant sur la particule fluidedm? Représentez les vecteurs corre-
spondants sur un schéma.
Sans perturber l’équilibre de l’atmosphère ni la particule fluide (sa masse et son volume sont
donc conservés), on déplace la particule verticalement dez0 versz0 +(voir figure) puis on lalâche. 5)a) En raisonnant sur les forces expliquer qualitativement ce qui va se passer.
b) Exprimer la résultante des forces en fonction deρ(z0 +)−ρ0 . Dans la suite on supposera
que→0et que[ρ(z0 +)−ρ0 ]→(dρ/dz)z 0=−ρ 0/H. c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule fluide, écrire l’équation
différentielle donnant l’évolution deen fonction det.
d) Définir alors la pulsationωdes oscillations de la particule. Calculer la fréquence associéeν.
II- Vidange d’un réservoir
On considère un réservoir cylindrique de diamètreDrempli d’un liquide jusqu’à une hauteur
maintenue constanteh= 10m. Ce réservoir comporte à sa base une ouverture de diamètre
d= 10cm très petit devantD. On s’intéresse au régime permanent où le liquide s’écoule par
cette ouverture. On considérera que le liquide est un fluide incompressible et parfait dont la
masse volumiqueρest celle de l’eau. On supposera que la pression de l’air est constante, égaleàp 0. Vidange d’un réservoir, libre (a) et guidée (b). Les traits fins représentent des morceaux de lignes de
courant en sortie du réservoir.
1)Enoncer le théorème de Bernoulli.
2)On s’intéresse tout d’abord au cas de la vidange libre où le liquide débouche directement dans l’air
(figure a) sous forme d’un jet.
a) Que peut-on dire des pressionspA etpB enAetB?
b) Exprimer la vitesse du liquidevA au pointA. Même question pour le pointB.
c) En supposant que le jet de sortie est à symétrie cylindrique, on noterson rayon enB. Exprimer
alors2r/den fonction deL/het tracer sa courbe.
3)On considère maintenant le cas où la vidange est guidée par l’intermédiaire d’un tube cylindrique de
diamètredet de longueurL. A la sortie de ce tube le liquide débouche à l’air libre (figure b).
a) Exprimerp′ A
la nouvelle pression enA.
b) Exprimer alorsv′ A
la vitesse enAainsi quev′ B
la vitesse enB. Comparez-les àvA etvB obtenues
au 2): qu’en concluez-vous ? Quel est l’intérêt du tube de longueurLpour la vidange du réservoir ?
c) PourL= 3m et sachant que la viscosité du liquide estη= 1Pa.s (cas d’une huile lourde), calculer
le nombre de Reynolds de l’écoulement au pointB: commenter ce résultat.
d) Exprimer la longueur maximale possible du tubeLM . CalculerLM .
4)Le tube cylindrique est remplacé par un tube convergent de section circulaire. Le diamètre du tube
au pointAest toujoursdet celui au pointBest maintenantα×d(α= 1/√ 2).
a) Exprimer alorsp′′ A
la pression au pointA.
b) En déduire la nouvelle longueur maximaleLc M
en fonction deLM ,hetα. CalculerLc M
. Quelle
conclusion peut-on en tirer ?
III- Ecoulement de Poiseuille
On considère l’écoulement permanent d’un fluide incompressible et visqueux dans un segment de conduite
cylindrique horizontale d’axeOz, de rayonRet de grande longueurL. La conduite est maintenue fixe
et on néglige les effets de la pesanteur. On noteraηle coefficient de viscosité dynamique du fluide. On
utilisera un système de coordonnées cylindriques(r,φ,z). L’écoulement est supposé laminaire et en vertu
de ses propriétés de symétries la vitesse en tout pointMest donnée par:−→ v(M) =v(r)−→ ez .
1)a) Rappeler l’expression générale de la dérivée particulaire (ou lagrangienne)D −→v Dt
. Que vaut cette
dérivée dans le cas de cet écoulement ?
b) En déduire que l’écoulement est régi par l’équation de Stokes−→ ∇p=η∆−→ v. Que traduit alors cette
équation ?
c) Que vaut la vitesse de l’écoulement enr=R?
2)On va maintenant déterminerv(r)grâce à l’équation de Stokes. Dans le cas de cet écoulement on a:∆ −→
v= ∆v−→ ez =1 rd dr( rdv dr) −→e z. a) En projetant l’équation de Stokes, montrer que la pressionpdans l’écoulement ne dépend que de
z. Lorsquezaugmente,paugmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Dans la suite on noteraGla valeur absolue dedp dz. b) A partir de la projection de l’équation de Stokes suivantOz, montrer queGest une constante.
En intégrant cette équation montrer quev(r) =v0 (1− r2 R2 )
et donner l’expression dev0 .
c) Tracer la courbe dev(r). Comment définit-on la vitesse moyennevm de l’écoulement ? Etablir la
relation entrevm etv0 puis exprimerv0 en fonction du débit volumiqueQV .
d) Etablir alors la relation entreGetQV et en déduire la loi de Poiseuille.
3)On s’intéresse maintenant aux forces qui s’exercent sur le fluide contenu à l’intérieur du volumeD
(voir figure).
a) Rappeler l’expression de la force de viscosité sur une surfaceSen fonction du gradient de vitesse.
On note−→ Fc la force visqueuse exercée par la conduite sur le fluide contenu dans le volumeD(voir figure)et −→F p
la force de pression résultante s’appliquant sur le fluide dansD.
b) Représenter−→ Fc sur un schéma. Déduire de la question précédente l’expression de−→ Fc en fonction
deG,RetL.
c) Exprimer−→ Fp en fonction deG,RetLet comparez-la à−→ Fc : quelle conclusion peut-on en tirer ?
Ce résultat dépend-il du rayon deD?