Mécanique des Fluides : Examen mécanique des fluides
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Examen du 6 janvier 2015
Durée : 3 heures. Sans documents. Calculatrices autorisées.
Barème indicatif : I = 7, II = 7 et III = 6 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés par un raisonnement.
Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat numérique devra être donné avec une unité.
Données
On donne :
- p0 = 105 Pa (pression atmosphérique),
- ρ = 103 kg/m3 (masse volumique de l’eau),
- ρa = ρ/800 (masse volumique de l’air),
- g = 9,8 m/s2 (accélération de la pesanteur),
- R = 8,3 J/K (constante des gaz parfaits).
En coordonnées cylindriques, le gradient d’une fonction scalaire U est donné par : −→∇U = (∂U/∂r, (1/r)∂U/∂φ, ∂U/∂z).
I – Oscillations dans l’atmosphère
On étudie les perturbations générées par les écoulements ou le relief dans la basse atmosphère terrestre (altitude inférieure à 10 km). Pour simplifier, on suppose que l’atmosphère est un gaz parfait hydrostatique, isotherme de température T et de masse molaire M = 29 g/mol. On néglige les effets de la viscosité dans l’air.
Pour décrire l’atmosphère, on utilise le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz, où Oz est l’axe vertical orienté vers le haut. Au niveau du sol (z = 0), la pression et la masse volumique sont respectivement pa et ρa (à T = 300 K).
1) a)
Rappeler la loi de l’hydrostatique des fluides :
dp/dz = −ρg.
Montrer que la pression p ne dépend que de z.
b)
Soient deux altitudes z1 et z2 avec des pressions p1 et p2. Sachant que z2 > z1, la pression p1 est-elle inférieure ou supérieure à p2 ?
En utilisant dp = −ρg dz, on montre que p1 > p2 car z2 > z1.
2)
En utilisant la loi des gaz parfaits, exprimer cs en fonction de R, T et M.
cs = √(R T / M).
Calculer cs pour T = 300 K.
cs = √(8,3 × 300 / 0,029) ≈ 347 m/s.
3)
À partir de la loi hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z) en fonction de pa et H = cs2/g.
p(z) = pa exp(−z/H).
En déduire le profil de masse volumique ρ(z) en fonction de ρa et H.
ρ(z) = ρa exp(−z/H).
La signification de H : hauteur caractéristique de décroissance de la pression et de la masse volumique.
Calculer H.
H = cs2/g ≈ (347)2/9,8 ≈ 12 000 m.
4)
Quelles sont les forces agissant sur la particule fluide de masse dm ? Représenter les vecteurs correspondants sur un schéma.
Les forces agissant sur la particule sont :
- La force de pesanteur : dm g.
- La force de pression : −∇p dm.
5) a)
Expliquer qualitativement ce qui se passe lorsque la particule est déplacée verticalement de z0 vers z0 + δ et lâchée.
La particule subit une force de rappel due à la différence de pression et de masse volumique entre z0 et z0 + δ. Elle oscille autour de z0.
b)
Exprimer la résultante des forces en fonction de ρ(z0 + δ) − ρ0.
La résultante des forces est : F = −(ρ(z0 + δ) − ρ0) g dτ.
Dans la suite, on suppose que δ → 0 et que [ρ(z0 + δ) − ρ0]/δ = (dρ/dz)z0 = −ρ0/H.
c)
Écrire l’équation différentielle donnant l’évolution de δ en fonction de t.
d2δ/dt2 = −(g/H) δ.
d)
Définir la pulsation ω des oscillations de la particule. Calculer la fréquence associée ν.
ω = √(g/H).
ν = ω/(2π) = √(g/H)/(2π).
Calculer ν.
ν ≈ √(9,8/12 000)/(2π) ≈ 0,0045 Hz.
II – Vidange d’un réservoir
On considère un réservoir cylindrique de diamètre D rempli d’un liquide jusqu’à une hauteur maintenue constante h = 10 m. Ce réservoir comporte à sa base une ouverture de diamètre d = 10 cm, très petit devant D. On s’intéresse au régime permanent où le liquide s’écoule par cette ouverture.
Le liquide est un fluide incompressible et parfait de masse volumique ρ (eau). La pression de l’air est constante et égale à p0.
1)
Énoncer le théorème de Bernoulli.
Le théorème de Bernoulli stipule que pour un fluide incompressible et parfait en régime permanent :
p + (1/2) ρ v2 + ρ g z = constante.
2) a)
Que peut-on dire des pressions pA et pB en A et B ?
En A et B, les pressions sont égales à la pression atmosphérique p0.
b)
Exprimer la vitesse du liquide vA au point A.
vA ≈ 0 (car la surface est grande et la vitesse négligeable).
Exprimer la vitesse du liquide vB au point B.
vB = √(2 g h).
c)
En supposant que le jet de sortie est à symétrie cylindrique, exprimer 2r/d en fonction de L/h.
2r/d = √(L/h).
3) a)
Exprimer p'A, la nouvelle pression en A.
p'A = p0 + ρ g L.
b)
Exprimer v'A et v'B en fonction de h et L.
v'A = √(2 g (h + L)).
v'B = √(2 g h).
Comparaison avec vA et vB : v'A > vA et v'B = vB.
Intérêt du tube de longueur L : augmentation de la vitesse d’écoulement en A.
c)
Pour L = 3 m et η = 1 Pa.s, calculer le nombre de Reynolds en B.
Re = ρ v'B d / η ≈ 103 × √(2 × 9,8 × 10) × 0,1 / 1 ≈ 626.
Commentaire : écoulement laminaire (Re < 2000).
d)
Exprimer la longueur maximale possible du tube LM.
LM = (ρ g d2)/(16 η2) √(2 g h).
Calculer LM.
LM ≈ 120 m.
4) a)
Exprimer p''A, la pression au point A.
p''A = p0 + ρ g L + (1/2) ρ v'A2.
b)
En déduire la nouvelle longueur maximale LcM en fonction de LM, h et α.
LcM = LM / α2.
Calculer LcM.
LcM ≈ 170 m.
III – Écoulement de Poiseuille
On considère l’écoulement permanent d’un fluide incompressible et visqueux dans un segment de conduite cylindrique horizontale d’axe Oz, de rayon R et de grande longueur L. La conduite est fixe et on néglige les effets de la pesanteur.
L’écoulement est laminaire et la vitesse en tout point M est donnée par : −→v(M) = v(r) −→ez.
1) a)
Rappeler l’expression générale de la dérivée particulaire D −→v/Dt.
D −→v/Dt = ∂ −→v/∂t + (−→v · ∇) −→v.
Dans cet écoulement, D −→v/Dt = 0.
b)
En déduire que l’écoulement est régi par l’équation de Stokes : −→∇p = η ∆ −→v.
Que traduit cette équation ?
L’équation de Stokes exprime l’équilibre entre les forces de pression et les forces visqueuses.
c)
Que vaut la vitesse de l’écoulement en r = R ?
v(R) = 0.
2) a)
Montrer que la pression p ne dépend que de z.
dp/dz = −G (constante).
Lorsque z augmente, p diminue.
b)
Montrer que G est une constante.
G = |dp/dz|.
En intégrant, montrer que v(r) = v0 (1 − r2/R2) et donner l’expression de v0.
v0 = G R / (2 η).
c)
Tracer la courbe de v(r).
Définir la vitesse moyenne vm de l’écoulement.
vm = v0/2.
Exprimer v0 en fonction du débit volumique QV.
QV = (π R4 G)/(8 η).
d)
Établir la relation entre G et QV et en déduire la loi de Poiseuille.
G = (8 η QV)/(π R4).
La loi de Poiseuille : QV = (π R4)/(8 η L) (p1 − p2).
3) a)
Rappeler l’expression de la force de viscosité sur une surface S en fonction du gradient de vitesse.
d −→Fvisc = −η ∫S ∇ −→v · d −→S.
b)
Représenter −→Fc sur un schéma.
−→Fc = −π R2 L G −→ez.
c)
Exprimer −→Fp en fonction de G, R et L.
−→Fp = π R2 L G −→ez.
Comparaison : −→Fp = −−→Fc.
Ce résultat ne dépend pas du rayon de D.
FAQ
Qu’est-ce que la loi hydrostatique ?
La loi hydrostatique exprime l’équilibre des forces dans un fluide au repos sous l’effet de la gravité : dp/dz = −ρg.
Comment calculer la vitesse du son dans un gaz parfait ?
La vitesse du son cs est donnée par cs = √(R T / M), où R est la constante des gaz parfaits, T la température et M la masse molaire.
Quelle est la différence entre un écoulement libre et guidé ?
Un écoulement libre débouche directement dans l’air, tandis qu’un écoulement guidé utilise un tube pour augmenter la vitesse de sortie.