Mécanique des Fluides : Exercices de mécanique des fluides avec solutions pdf
Télécharger PDFExercice sur l'application des principes de l'hydraulique et de la dynamique des fluides
1. Tube horizontal de section circulaire variable
Considérons un tube horizontal de section circulaire dont le rayon est variable. Dans la première partie du tube, le diamètre D1 est de 20 cm, la vitesse de l'eau y est de 0,1 m·s-1 et la pression de 1000 N·m-2. On donne ρeau = 1000 kg·m-3. L'eau est considérée comme un fluide parfait.
1. Calcul du rayon de la deuxième partie du tube
La vitesse du fluide dans la deuxième partie est de 0,4 m·s-1. En appliquant l'équation de continuité (conservation de la masse), on obtient :
Q = S1·v1 = S2·v2 = constante
avec S = π·r2, donc r2·v2 = r1·v1.
On en déduit :
(r2)2 = (r1)2 · (v1/v2)2
r1 = D1/2 = 10 cm
v1 = 0,1 m·s-1, v2 = 0,4 m·s-1
Donc : (r2)2 = (10 cm)2 · (0,1/0,4)2 = 100/16 = 6,25 cm2
Le rayon r2 est donc égal à 5 cm.
2. Pression hydrostatique dans la deuxième partie du tube
En appliquant l'équation de Bernoulli pour un tube horizontal (z1 = z2), on obtient :
P1 + ½·ρ·v12 = P2 + ½·ρ·v22
Donc : P2 = P1 + ½·ρ·(v12 - v22)
P2 = 1000 N·m-2 + ½·1000 kg·m-3·(0,01 m2·s-2 - 0,16 m2·s-2)
P2 = 1000 N·m-2 + ½·1000·(-0,15) = 1000 - 75 = 925 N·m-2 = 925 Pa.
Exercice 2 : Perfusion intraveineuse
Un patient est perfusé par voie intraveineuse avec un soluté isotonique au sang et de masse volumique ρ = 103 kg·m-3. La différence entre le niveau initial du liquide dans le flacon et celui de la veine (au point d'injection) est de 30 cm. La hauteur initiale du volume à perfuser est de 20 cm. Quand la perfusion s'arrête, il reste la moitié du liquide dans le flacon.
Calcul de la pression veineuse du patient en millimètres de mercure
On prendra 1 mmHg = 130 Pa, g = 10 m·s-2.
La pression hydrostatique est donnée par P = ρ·g·h.
Pour le soluté : h = 10 cm = 0,1 m (car la moitié du liquide reste dans le flacon).
Donc : P = 103 kg·m-3 · 10 m·s-2 · 0,1 m = 103 Pa.
En millimètres de mercure : P = 103 Pa / 130 Pa·mm-1 ≈ 15,4 mmHg.
Exercice 3 : Application de l'équation de Bernoulli
Pour un débit de 6 L·min-1 dans l'aorte de section égale à 5 cm2, la vitesse moyenne d'écoulement du sang est de 20 cm·s-1.
La pression statique au niveau du rétrécissement d'un vaisseau horizontal est inférieure à celle existant en amont de ce rétrécissement.
Vrai ou Faux ?
Vérification de la vitesse moyenne :
Q = S·v ⇒ v = Q/S
Q = 6 L·min-1 = 6000 cm3·min-1 = 100 cm3·s-1
S = 5 cm2 ⇒ v = 100/5 = 20 cm·s-1 ⇒ A est juste.
B est juste, car selon l'équation de Bernoulli, si v2 > v1, alors P2 1.
Exercice 4 : Sonde de Pitot
Dans le cadre des conditions du théorème de Bernoulli, on considère un tube manométrique face au flux et un autre perpendiculaire au flux. La différence de hauteur des liquides dans les tubes est de 10 cm. On donne ρHg = 13 g·cm-3, ρeau = 1 g·cm-3.
Calcul de la vitesse du fluide
L'équation de Bernoulli appliquée à la sonde de Pitot donne :
P1 + ½·ρ·v12 = P2 + ½·ρ·v22
avec v2 = 0 (pression statique) et P1 - P2 = ρHg·g·Δh.
Donc : v1 = √(2·Δh·g·(ρHg/ρeau))
v1 = √(2·0,1 m·10 m·s-2·13) = √(26) ≈ 1,4 m·s-1.
Exercice 5 : Mesure de la viscosité d'une huile
Un tube horizontal de 8,0 mm de diamètre comporte deux tubes manométriques verticaux situés à L = 600 mm l'un de l'autre. Le débit dans le tube est égal à 4,0 × 10-6 m3·s-1. La différence de niveau de l'huile dans les deux tubes verticaux est Δh = 300 mm. La masse volumique de l'huile est de 900 kg·m-3.
Calcul de la viscosité de l'huile
La perte de charge ΔP est donnée par ΔP = ρ·g·Δh.
La loi de Poiseuille pour un écoulement laminaire donne :
Q = (π·r4·ΔP)/(8·η·L)
Donc : η = (π·r4·ΔP)/(8·Q·L)
ΔP = 900 kg·m-3 · 10 m·s-2 · 0,3 m = 2700 Pa
r = 0,004 m ⇒ η = (π·(0,004 m)4·2700 Pa)/(8·4,0 × 10-6 m3·s-1·600 mm)
η ≈ 108 × 10-3 Pa·s.
Exercice 6 : Vaisseaux sanguins
Un vaisseau sanguin a les diamètres suivants : en 1 = 4,5 mm, en 2 = 3,0 mm, en 3 = 1,5 mm, en 4 = 2,25 mm. La vitesse du fluide en 1 est de v1 = 2 cm·s-1 et en 4 est de v4 = 4 cm·s-1.
Calcul des vitesses en 2 et 3
En appliquant l'équation de continuité (Q = constante), on obtient :
S1·v1 = S2·v2 ⇒ v2 = v1 · (D1/D2)2
v2 = 2 cm·s-1 · (4,5/3,0)2 = 2 · (2,25) = 4,5 cm·s-1.
Pour la vitesse en 3, on utilise : S1·v1 = S3·v3 + S4·v4
v3 = v1 · (D1/D3)2 - v4 · (D4/D3)2
v3 = 2 cm·s-1 · (4,5/1,5)2 - 4 cm·s-1 · (2,25/1,5)2
v3 = 2 · 9 - 4 · 2,25 ≈ 9 cm·s-1.
Exercice 7 : Artères en parallèle
Soient deux artères de même longueur en parallèle. Le diamètre D2 est deux fois plus grand que le diamètre D1. On considère le sang comme un fluide réel en écoulement laminaire.
Question 1 : Vrai ou Faux ?
Qentrée = Qsortie ⇒ A est juste.
Qsortie = Q1 + Q2 ⇒ B est juste.
Q2 = 16·Q1 ⇒ D est juste.
Question 2 : Vrai ou Faux ?
v2 = 4·v1 ⇒ C est juste.
Pentrée > Psortie ⇒ E est juste.
Exercice 8 : Artère avec rétrécissement
On considère une artère présentant un rétrécissement. Les trois portions 1, 2 et 3 ont une longueur identique égale à 10 cm. Les rayons des portions 1 et 3 sont égaux, et le rayon de la portion 2 est la moitié de celui des portions 1 et 3.
1. Chute de pression entre l'entrée de la portion 1 et la sortie de la portion 3
La chute de pression totale est la somme des chutes de pression dans chaque portion. Pour un écoulement laminaire, la loi de Poiseuille donne :
ΔP = 8·η·L·Q/(π·r4)
La chute de pression dans la portion 1 est de 20 Pa·m-1.
ΔP1 = ΔP3 = 20 Pa·m-1 · 0,1 m = 2 Pa
ΔP2 = 16·ΔP1 = 16 · 2 = 32 Pa
Donc ΔP = ΔP1 + ΔP2 + ΔP3 = 2 + 32 + 2 = 36 Pa.
2. Vitesse critique pour un écoulement turbulent
Pour un écoulement turbulent, le nombre de Reynolds doit être supérieur à 2400.
Re = ρ·v·d/η
Pour la portion rétrécie (r2 = 1 cm), on obtient :
v = 2400·η/(ρ·d) = 2400·2·10-3/(103·2·10-2) ≈ 24·10-2 m·s-1 = 24 cm·s-1.
Exercice 9 : Loi de Poiseuille et artères en parallèle
On considère deux artères en parallèle. Le sang s’écoule en régime laminaire. La section de l’artère 1 est 2 fois plus grande que celle de l’artère 2, et les débits dans chacune des artères sont identiques.
Calcul de la longueur équivalente
La loi de Poiseuille donne ΔP = 8·η·L·Q/(π·r4).
Pour des artères en parallèle, la perte de charge est identique, donc :