Mécanique des Fluides : T.d. n°3 cinématique des fluides. champ de vitesse
Télécharger PDFExercice n°1 : Écoulements Plans – Description Lagrangienne et Eulérienne
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2), dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
V1 (vx = 3xy2, vy = -3x2y, vz = 0) et V2 (vx = -3x2y, vy = 3xy2, vz = 0).
1) Équation cartésienne et forme des lignes de courant
Pour chaque écoulement, déterminer l’équation cartésienne des lignes de courant en utilisant la relation :
$\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x}$.
2) Équations paramétriques Lagrangiennes
Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t) pour la particule P(x0, y0, 0) à l’instant t = 0, en résolvant le système :
$\frac{dx}{dt} = v_x$ et $\frac{dy}{dt} = v_y$.
3) Vitesse et accélération instantanées en (E2)
Exprimer la vitesse instantanée vP(t) et l’accélération a(t) de la particule P en utilisant les solutions de la question 2.
4) Accélération Eulérienne en (E2)
Retrouver l’accélération a(t) de la particule P en utilisant la description Eulérienne, où l’on se place au point d’observation fixe.
Exercice n°2 : Écoulement Plan Rotationnel de l’Atmosphère
On considère les mouvements plans de l’air atmosphérique. Le champ des vitesses est noté V(vx, vy, 0) au point M(x, y, z) dans la base orthonormée Oxyz.
1) Vecteur tourbillon Ω
Déterminer le vecteur tourbillon Ω en M à l’instant t, défini par :
$\Omega = \nabla \times V$.
2) Champ de vitesse V1 = Ω ∧ r
Calculer les composantes du champ de vitesse V1 = Ω ∧ r et en déduire la nature des lignes de courant et des équipotentielles.
3) Champ de vitesse V2 = ½ r div v
a) Calculer les composantes du champ de vitesse V2 = ½ r div v et en déduire la nature des lignes de courant et des équipotentielles.
b) Indiquer, suivant le signe de div v, le sens du mouvement vertical du fluide atmosphérique.
Exercice n°3 : Écoulement Potentiel d’une Source Rectiligne à Symétrie Cylindrique
Une source rectiligne de longueur infinie, dirigée suivant l’axe Oz, émet un fluide de façon isotrope. Le champ des vitesses en M(OM = r), repéré en coordonnées cylindriques (r, θ, z), est donné par :
v = (k/r)·ur, où k est une constante positive liée au débit volumique.
1) Incompressibilité et irrotationnalité
Montrer que cet écoulement est incompressible (div v = 0) et irrotationnel (rot v = 0).
2) Potentiel des vitesses φ(r)
Calculer le potentiel des vitesses φ(r) et tracer l’allure des lignes de courant ainsi que des surfaces équipotentielles.
Exercice n°4 : Le Cyclone – Écoulement Rotationnel de l’Air Atmosphérique
Un cyclone est modélisé par un écoulement parfait et rotationnel de l’air (fluide incompressible) de masse volumique µ, en mouvement stationnaire à l’intérieur d’un cylindre d’axe Oz et de rayon R. Le tourbillon est constant : Ω = Ω0·uz. À l’extérieur du cyclone, le mouvement est irrotationnel.
1) Champ des vitesses v(r)
En admettant que les lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axe Oz, déterminer le champ des vitesses v(r) en tout point M(r, θ, z) pour deux cas : r ≤ R et r > R. Tracer le graphe v(r) et noter la vitesse maximale vmax.
2) Potentiel scalaire φ et surfaces équipotentielles
À l’extérieur du cyclone, déterminer le potentiel scalaire φ des vitesses en M(r, θ) ainsi que la nature des surfaces équipotentielles.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un écoulement plan stationnaire ?
Un écoulement plan stationnaire est un mouvement de fluide où les vitesses ne varient pas avec le temps et sont confinées dans un plan (par exemple, xy), ce qui signifie que vz = 0.
2. Quelle est la différence entre les descriptions Lagrangienne et Eulérienne ?
La description Lagrangienne suit le mouvement d’une particule de fluide dans le temps, tandis que la description Eulérienne observe les vitesses en des points fixes de l’espace.
3. Comment calculer le potentiel des vitesses dans un écoulement irrotationnel ?
Le potentiel des vitesses φ est déterminé en résolvant l’équation ∇φ = v, où v est le champ de vitesses. Pour un écoulement irrotationnel, rot v = 0 garantit l’existence de φ.