Mécanique des Fluides : T.d. n°3 cinématique des fluides. champ de vitesse
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Télécharger pack2 ème Année Mécanique des Fluide T.D. N°3 Cinématique des Fluides. Champ de vitesse Exercice n°1 : Ecoulements Plans : Description Lagrangienne et Eulérienne On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1 ) et (E2 ), dont les champs de vitesse locale au point M(x,y,z) sont respectivement : V1 (vx =3xy
2 , vy = -3x2 y, vz =0) et V
2 (vx =-3x
2 y , vy = 3xy
2 , vz =0) 1) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun des deux écoulements (E1 ) et (E2 ). 2) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour chacun des deux écoulements, de la particule P du fluide de coordonnées (x0 , y0 , 0) à l’instant t=0 Et que l’on suit dans son mouvement (description Lagrangienne). 3) Exprimer la vitesse instantanée vp (t) de la particule P et l’accélération
a(t) de cette particule dans l’écoulement (E2 ), à l’aide des constantes x
0 et y0 , à partir de la description Lagrangienne de la 2
ème question. 4) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2 ) en utilisant une description Eulérienne : On se place au point d’observateur fixe. Exercice n°2 : Ecoulement plan rotationnel de l’atmosphère : Composition des vitesses. On considère les mouvements plans de l’air atmosphérique : dans ce modèle, toutes les lignes de courant sont des courbes planes situées dans des plans horizontaux parallèles à xOy et sur toute droite normale à cette famille de plans règne en tout point le même état d’écoulement. On désignera V(vx , v
y, 0) le champ local des
vitesses de cet écoulement plan, à l’instant t, au point M de coordonnées (x, y, z) repéré dans la base ux , uy , u
z du
référentiel orthonormé Oxyz. 1) Déterminer le vecteur tourbillon Ω en M à l’instant t 2) Calculer les composantes du champ de vitesse en M (OM = r ) V1 = Ω ˄ r Et en déduire la nature des lignes de courant et des équipotentielles 3) a) Calculer les composantes du champ de vitesse en M : V
2 = ½ r div v
Et en déduire la nature des lignes de courant et des équipotentielle b) Indiquer suivant le signe de div v, le sens du mouvement vertical du fluide atmosphérique Exercice n°3 : Ecoulement potentiel d’une source rectiligne à symétrie cylindrique Une source « rectiligne » de longueur infinie, dirigée suivant l’axe vertical Oz, émet un fluide de façon isotrope dans l’espace. Le champ des vitesses d’écoulement, en tout point M (OM = r) repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) dans la base (ur , uθ , u
z ) est radial/ v = k/r. ur où k est une constante positive, fonction du débit volumique de la source. 1) Montrer que cet écoulement est incompressible et irrotationnel. 2) Calculer le potentiel φ (r) des vitesses. Tracer l’allure des lignes de courant et des surfaces équipotentielles Exercice n°4 : Le cyclone : écoulement rotationnel de l’air atmosphérique :
Un cyclone est modélisé par l’écoulement parfait est rotationnel de l’air (fluide supposé parfait et incompressible) de masse volumique
, en mouvement stationnaire a l’intérieur d’un cylindre
c d’axe Oz (de vecteur unitaire z
u ) et de rayon R ; cet écoulement est caractérisé par le vecteur tourbillon zu Cte .A l’extérieur de ce cyclone, le mouvement de l’air est irrotationnel. On utilisera les coordonnées cylindrique zr,, et la base orthonormée zruuu,, . 1) En admettant que les lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axeOz , déterminer le champ des vitesses v( r ) en tout point M(r, θ, z) du fluide : En distinguer deux cas r ≤ R et r > R. Tracer le graphe v( r ) et noter la vitesse maximale v
max . 2) Déterminer, à l’extérieur de ( c ), le potentiel scalaire φ des vitesses en M (r, θ) ainsi que la nature des surfaces équipotentielles.