Mécanique des Fluides : Examen partiel dynamique des fluides réels.pdf
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E DE CAEN
UFR des Sciences
Examen Partiel :
Date : 18/11/2009
Master Math ́ematiques et Applications,
Ing ́enierie Math ́ematiques et M ́ecanique (M1)
Dynamique des Fluides R ́eels
Examen partiel- Dur ́ee : 3 heurs
Documents et calculatrices non autoris ́es. ́
Eteindre tout appareil de phone mobile.
Chaque candidat doit, en d ́ebut d’ ́epreuve, porter son nom dans le coin de la copie qu’il
cachera par collageapr`esavoir ́et ́e point ́e. Il devra en outre, porter son num ́ero de
place sur chacune de ses copies, intercalaires ou pi`eces annex ́ees.
Exercice 1
On consid`ere un chariot sur lequel est mont ́e un r ́eservoird’eau (de diam`etreD) munie d’une
tuy`ere d’ ́ejection `a travers duquel un jet de section constante est ́eject ́e au milieu ambiant et d ́evi ́e
par un d ́eflecteur comme illustr ́e ci-dessous. Le chariot est maintenu en place par un cˆable comme
sch ́ematis ́e sur la figure.Cˆable αD d
D ́eflecteurh −→g Vj −→x −→y (1) D ́eterminer le d ́ebit du jet.
(2) Calculer la force−→ Fexerc ́ee par le jet sur le d ́eflecteur.
(3) En admettant qu’il n’y a pas de frottement entre le sol et le chariot, d ́eterminer la tension
dans le cˆable.
(4) Qu’st passe-t-il siα >1 2
π? Que faut-il faire alors pour maintenir le chariot en place ? Exercice 2
Un syst`eme de tapis roulants est con ̧cu pour transf ́erer unproduit chimique liquide d’un
r ́eservoir vers un autre destin ́e `a une application industrielle. Le mouvement de tapis entraˆıne alors
un ́ecoulement unidirectionnel, laminaire et permanent sous la forme d’un film liquide d’ ́epaisseur
hcomme illustr ́e dans la figure.1 2U hx yTapis roulant−→ gα R ́eservoir
de produit chimique
L’air ambiant, au reposp atm
= constante
(1) Quel est le syst`eme d’ ́equations et conditions aux limites qui repr ́esente l’ ́ecoulement du
film ? Justifiez votre r ́eponse.
(2) D ́eterminer la distribution de vitesse.
(3) D ́eterminer la r ́epartition de contrainte de cisaillement,τyx , dans la directionx.
(4) Calculer le d ́echarge ainsi obtenu par unit ́e de largeurde tapis,Q, en fonction deU,h,g,ρetμ.
Exercice 3 ́
Ecoulement stratifi ́e de deux liquides visqueux
Deux liquides newtoniens non miscibles et
visqueux s’ ́ecoulent entre deux plaques planes
parall`eles, horizontales de longueurLet de
largeurd, s ́epar ́ees par une distance 2h, petite
par rapport aux autres dimensions des plaques
(h≪L, eth≪d). Les deux massesL 2hU Liquide 1
Liquide 2x y
volumiques et les viscosit ́e de chacun des liquides sont d ́enot ́ees respectivementρ1 ,μ1 pour liquide
1 etρ2 ,μ2 pour liquide 2. Le liquide 1 , plus dense (ρ1 > ρ2 ) est plac ́e au-dessous du liquide 2, et
chacun occupe la moiti ́e de l’espace entre les deux plaques.L’ ́ecoulement est stationnaire et est
produit uniquement par le mouvement de la plaque sup ́erieure `a la vitesseU, la plaque inf ́erieure
reste immobile.
On se place suffisamment loin des bords lat ́eraux des plaques pour que l’ ́ecoulement puisse
ˆetre consid ́er ́e comme ́etabli et unidirectionnel :−→ v=u−→ x.3 (1) ́
Ecrire les ́equations du mouvement dans chaque liquide.
(2) ́
Ecrire les conditions aux limites `a l’interface.
(3) Calculer le champ de vitesse dans chacun des fluides. Qu’obtient-on quandμ1 =μ2 . ?
(4) Les configurations d’ ́ecoulement montr ́ees sur les figures ci-dessous (a), (b), (c) sont-elles
toutes possibles ?` A quelles valeurs relatives des param`etres correspondent-elles ?(b) (a)(c)
Exercice 4
Dans plusieurs processus industriels un courant de liquideest pass ́e sur un film des sph`eres
solides au fond d’un tube comme illustr ́e `a la figure. On peutobserver lors de l’ ́ecoulement d’un
fluide incompressible le long d’un tube qu’`a une certaine vitesse critique les particules se mettent
en mouvement le long du tube. On d ́esire d’ ́etudier la valeurde cette vitesse critiqueVc . On admetqueV c
est une fonction du diam`etre du tubeD, du diam`etre du particuleDp , la masse volumique
du liquideρ, la viscosit ́e dynamique du liquideμ, la densit ́e de particulesρp et l’acc ́el ́eration de
la pesanteurg.V (1) En utilisantρ, Detgcomme grandeurs fondamentales, d ́eterminer les param`etres sans
dimensions de ce probl`eme.
(2) R ́ep ́eter la question (1) en utilisantρ, Detμen tant que grandeurs fondamentales.
(3) Dans une exp ́erience au laboratoire on utilise le mˆeme liquide et particules que pour
le prototype mais en r ́eduisant les dimensions g ́eom ́etriques au moiti ́e. Si les mesures
au laboratoire indiquent une vitesse critique de 1 m/s, calculer la vitesse critique du
prototype pour les deux cas (1) et (2). Que passe-t-il ?
(4) Revenons aux principes de similitudes et les param`etres sans dimensions du probl`eme.
Quels sont ces principes et comment doit-on les appliquer pour r ́esoudre ce probl`eme de
similitude ? Calculer la vitesse critique du prototype pourobtenir une vitesse critique
de 1 m/s pour la maquette. Quelles sont dans ce cas les propri ́et ́es du liquide `a utiliser
au laboratoire ? 4
Exercice 5
Question du cours
On consid`ere l’ ́ecoulement visqueux laminaire et incompressible sur une plaque plane semi-infinie.
On d ́enote dans ce qui suit parLune longueur caract ́eristique le long de la plaque,δl’ ́epaisseur
de la couche limite,Ue la vitesse du courant libre suffisamment loin de la plaque,ρla masse
volumique du fluide etμla viscosit ́e dynamique.U eL δx y−→ V=u−→ x+v−→ yU e
(1) Donner les d ́efinitions de grandeurs suivantes :
(a) L’ ́epaisseur de d ́eplacement,δ1 .
(b) L’ ́epaisseur de la quantit ́e de mouvement,δ2 .
(c) L’ ́epaisseur de l’ ́energie,δ3 .
(2) En commen ̧cant par les ́equations de continuit ́e et Navier-Stokes bi-dimensionnelles,∂u ∂x+ ∂v∂y = 0,ρ (u ∂u∂x +v∂u ∂y) =−∂p ∂x+μ (∂ 2u ∂x2 +∂ 2u ∂y2 ), ρ( u∂v ∂x+v ∂v∂y )=− ∂p∂y +μ( ∂2 v∂x 2+ ∂2 v∂y 2) estimer les ordrer de grandeurs de chaque terme et les utiliser pour simplifier ce syst`eme
d’ ́equations afin de d ́eterminer les ́equations de la couchelimite de Prandtl.