Mécanique des Fluides : Examen partiel dynamique des fluides réels.pdf
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Université de Caen
UFR des Sciences
Master Mathématiques et Applications, Ingénierie Mathématiques et Mécanique (M1)
Date : 18/11/2009
Durée : 3 heures
Documents et calculatrices non autorisés. Éteindre tout appareil de téléphone mobile.
Chaque candidat doit, en début d’épreuve, porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage après avoir été et pointé. Il devra en outre, porter son numéro de place sur chacune de ses copies, intercalaires ou pièces annexées.
Exercice 1 : Jet d’eau et déflecteur
On considère un chariot sur lequel est montée une réserve d’eau (de diamètre D) munie d’une tuyère d’éjection à travers laquelle un jet de section constante est éjecté dans le milieu ambiant et dévié par un déflecteur comme illustré. Le chariot est maintenu en place par un câble.
(1) Déterminer le débit du jet.
(2) Calculer la force exercée par le jet sur le déflecteur.
(3) En admettant qu’il n’y a pas de frottement entre le sol et le chariot, déterminer la tension dans le câble.
(4) Que se passe-t-il si α > 1/2π ? Que faut-il faire alors pour maintenir le chariot en place ?
Exercice 2 : Tapis roulants et écoulement laminaire
Un système de tapis roulants est conçu pour transférer un produit chimique liquide d’un réservoir vers un autre destiné à une application industrielle. Le mouvement du tapis entraîne un écoulement unidirectionnel, laminaire et permanent sous la forme d’un film liquide d’épaisseur h.
(1) Quel est le système d’équations et conditions aux limites qui représente l’écoulement du film ? Justifiez votre réponse.
(2) Déterminer la distribution de vitesse.
(3) Déterminer la répartition de contrainte de cisaillement τyx dans la direction x.
(4) Calculer le décharge Q obtenu par unité de largeur du tapis en fonction de U, h, g, ρ et μ.
Exercice 3 : Écoulement stratifié de deux liquides visqueux
Deux liquides newtoniens non miscibles et visqueux s’écoulent entre deux plaques planes parallèles, horizontales de longueur L et de largeur d, séparées par une distance 2h, petite par rapport aux autres dimensions des plaques (h ≪ L et h ≪ d). Les deux masses volumiques et les viscosités de chacun des liquides sont notées respectivement ρ1, μ1 pour le liquide 1 et ρ2, μ2 pour le liquide 2. Le liquide 1, plus dense (ρ1 > ρ2), est placé au-dessous du liquide 2, et chacun occupe la moitié de l’espace entre les deux plaques. L’écoulement est stationnaire et est produit uniquement par le mouvement de la plaque supérieure à la vitesse U, tandis que la plaque inférieure reste immobile.
(1) Écrire les équations du mouvement dans chaque liquide.
(2) Écrire les conditions aux limites à l’interface.
(3) Calculer le champ de vitesse dans chacun des fluides. Que obtient-on quand μ1 = μ2 ?
(4) Les configurations d’écoulement montrées sur les figures ci-dessous (a), (b), (c) sont-elles toutes possibles ? À quelles valeurs relatives des paramètres correspondent-elles ?
Exercice 4 : Vitesse critique de particules dans un tube
Dans plusieurs processus industriels, un courant de liquide passe sur un film de sphères solides au fond d’un tube. On observe lors de l’écoulement d’un fluide incompressible le long d’un tube qu’à une certaine vitesse critique les particules se mettent en mouvement le long du tube. On souhaite étudier la valeur de cette vitesse critique Vc. On admet que Vc est une fonction du diamètre du tube D, du diamètre des particules Dp, de la masse volumique du liquide ρ, de la viscosité dynamique du liquide μ, de la densité des particules ρp et de l’accélération de la pesanteur g.
(1) En utilisant ρ, D et g comme grandeurs fondamentales, déterminer les paramètres sans dimension de ce problème.
(2) Répéter la question (1) en utilisant ρ, D et μ comme grandeurs fondamentales.
(3) Dans une expérience au laboratoire, on utilise le même liquide et les mêmes particules que pour le prototype, mais en réduisant les dimensions géométriques à la moitié. Si les mesures au laboratoire indiquent une vitesse critique de 1 m/s, calculer la vitesse critique du prototype pour les deux cas (1) et (2). Que se passe-t-il ?
(4) Revenons aux principes de similitude et aux paramètres sans dimension du problème. Quels sont ces principes et comment doit-on les appliquer pour résoudre ce problème de similitude ? Calculer la vitesse critique du prototype pour obtenir une vitesse critique de 1 m/s pour la maquette. Quelles sont dans ce cas les propriétés du liquide à utiliser au laboratoire ?
Exercice 5 : Couche limite sur une plaque plane semi-infinie
On considère l’écoulement visqueux laminaire et incompressible sur une plaque plane semi-infinie. On désigne par L une longueur caractéristique le long de la plaque, δ l’épaisseur de la couche limite, Ue la vitesse du courant libre suffisamment loin de la plaque, ρ la masse volumique du fluide et μ la viscosité dynamique.
(1) Donner les définitions des grandeurs suivantes :
(a) L’épaisseur de déplacement δ1.
(b) L’épaisseur de quantité de mouvement δ2.
(c) L’épaisseur d’énergie δ3.
(2) En commençant par les équations de continuité et de Navier-Stokes bidimensionnelles, estimer les ordres de grandeur de chaque terme et les utiliser pour simplifier ce système d’équations afin de déterminer les équations de la couche limite de Prandtl.
FAQ
Q : Qu’est-ce qu’un écoulement laminaire ?
R : Un écoulement laminaire est un mouvement fluide où les particules suivent des trajectoires parallèles et ordonnées, sans turbulence ni mélange entre les couches.
Q : Comment définir l’épaisseur de la couche limite ?
R : L’épaisseur de la couche limite δ est la distance à partir de la surface de la plaque où la vitesse du fluide atteint 99 % de la vitesse du courant libre Ue.
Q : Quels sont les principes de similitude en mécanique des fluides ?
R : Les principes de similitude permettent de comparer des écoulements en utilisant des nombres sans dimension (comme le nombre de Reynolds) pour garantir que les conditions dynamiques sont identiques entre une maquette et un prototype.